第三章 時域響應(yīng)

1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法 本章主要內(nèi)容： 時域分析的提法（概念，時域性能指標(biāo)） 一階系統(tǒng)的分析（穩(wěn)定性分析 穩(wěn)態(tài)分析 動態(tài)分析） 二階系統(tǒng)的分析（穩(wěn)定性分析 穩(wěn)態(tài)分析 動態(tài)分析） 控制系統(tǒng)的一般分析（穩(wěn)定性分析 穩(wěn)態(tài)分析 動態(tài)分析） 3.1 時域分析的提法 3.1.1 時域分析的基本思想 時域分析法是控制系統(tǒng)常用的一種分析方法。該方法直觀，容易理解。 3.1.2 時域分析問題的提法 時域分析問題是指在時間域內(nèi)對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析，是通過系統(tǒng)在典型信號作用下的時域響應(yīng)，來建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的性能的定量關(guān)系。 穩(wěn)定 穩(wěn)定性能系統(tǒng)的分析包括三個方面： 穩(wěn)態(tài) 穩(wěn)態(tài)性能

2、動態(tài) 動態(tài)性能線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義： 若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。在時域分析法中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是指：時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出的狀態(tài)，稱為系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。反映系統(tǒng)動態(tài)過程的性能稱為系統(tǒng)的動態(tài)性能。描述系統(tǒng)動態(tài)性能的指標(biāo)稱為動態(tài)指標(biāo)。3.1.3 系統(tǒng)的時域響應(yīng) 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程描述時 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是傳遞函數(shù)描 當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是別的形式是，可轉(zhuǎn)化為上面兩種形式求解。上面的兩種形式是時域分析中常用的形式。 3.1

3、.4性能指標(biāo)的時域描述 （性能指標(biāo)，性能指標(biāo)的定量化）3.1.4.1 穩(wěn)定性描述 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是控制系統(tǒng)能正常工作的必要條件 控制系統(tǒng)在實際工況中，總會受到內(nèi)部和外界一部分因素的擾動。例如負(fù)載或能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的的變化、環(huán)境條件的改變等。對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)其受到這些擾動，即使這些擾動很弱，持續(xù)時間很短，照樣會使系統(tǒng)中的各物理量偏離其原來的平衡點，并隨時間的增加而發(fā)散，以至在擾動消失后，系統(tǒng)也不會再恢復(fù)到原來的工作點，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)是無法工作的。 為了使控制系統(tǒng)受到擾動后仍能穩(wěn)定工作，需要分析并找出保證系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件。（這本身是系統(tǒng)分析的一個重要穩(wěn)態(tài)） 例子： 擺的平衡點（穩(wěn)定的

4、平衡點、不穩(wěn)定的平衡點、穩(wěn)定區(qū)域） 單擺和小球運動的這種穩(wěn)定概念，可以推廣于控制系統(tǒng)。假如系統(tǒng)具有一個平衡的穩(wěn)定工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)受到有界擾動偏離了原平衡狀態(tài)，無論擾動引起的偏差有多大，當(dāng)擾動消除后，看系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)，若能，則認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 在分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，我們關(guān)心的是系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入下，方程的解在時的漸近行為?；蛘呦到y(tǒng)在某一給定輸入下，按一種方式運動，不受干擾的影響，既便有些偏離運動狀態(tài)，當(dāng)干擾消除后，終能回到原運動狀態(tài)。在數(shù)學(xué)上，這種性質(zhì)表現(xiàn)為系統(tǒng)微分方程的齊次解，其通解稱為微分方程的一個運動。 平衡點的穩(wěn)定與運動

5、狀態(tài)的穩(wěn)定嚴(yán)格的的說是有區(qū)別的，但可以證明，在線性系統(tǒng)中，它們是等價的。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，常采用俄國學(xué)者李亞普諾夫在1892年給的定義。線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義： 若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 注：的物理概念是指加了擾動并消除（與前面擺的運動平衡點結(jié)合起來講。采用脈沖函數(shù)來模擬干擾主要是取其下沿。也可以是方波，即加一段時間后又放掉）。在數(shù)學(xué)上，上述對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義的描述可轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式：若 系統(tǒng)穩(wěn)定若 系統(tǒng)不穩(wěn)定

6、 即 ：這也給出了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法 事實上，對于線性定常系統(tǒng) 正常工作輸入 干擾 在正常輸入上 迭加干擾信號 系統(tǒng)穩(wěn)定時 即 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的深入分析后面專門介紹。 3.1.4.2穩(wěn)態(tài)性描述 概念及定義： 在時域分析法中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是指：時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出的狀態(tài)，稱為系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的優(yōu)劣程度，主要是看系統(tǒng)實際輸出狀態(tài)與希望輸出狀態(tài)之間的差距，及穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差輸出量的期望值輸出量的實際穩(wěn)態(tài)值 數(shù)學(xué)描述 控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu): 常用的有兩種定義穩(wěn)態(tài)誤差的方法:1. 從輸入端定義的方法 C(s)= 特殊地H(s)

7、=1為單位反饋系統(tǒng)有 E(s)=R(s)- R(s) 稱為系數(shù)誤差傳遞函數(shù)，反應(yīng)了在輸入作用下，系統(tǒng)誤差的變化情況（與系統(tǒng)的開環(huán)傳函有關(guān)）. 2.從輸出端的定義方法 E(s)-C(s)=R(s)-C(s)希望輸出的拉氏變換 穩(wěn)態(tài)誤差 的求取設(shè)系統(tǒng)的誤差 = + 誤差的暫態(tài)分量 誤差的穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差的求?。?(2) 拉氏變換的終值定理使用終值定理時注意條件。 擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 如圖分析擾動N(s)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的影響。利用線性系統(tǒng)的迭加原理設(shè)R(s)0（特別注意：無論R(s)是否為零，誤差的定義仍然是E(s)=R(s)-B(s)）R(s)=0時E(s)=-B(s)=-H(s)C(s)由第二章的

8、概念可得，由擾動引起的誤差傳遞函數(shù)：即E(s)=- N(s)注意：當(dāng)擾動在不同處加入是，E(s)的表達(dá)式略有不同，但分析思路完全相同的。同時考慮輸入和擾動對系統(tǒng)的誤差，由線性系統(tǒng)可迭加性有：E(s)=R(s)+N(s)=-3.1.4.3 動態(tài)性描述反映系統(tǒng)動態(tài)過程的性能稱為系統(tǒng)的動態(tài)性能。描述系統(tǒng)動態(tài)性能的指標(biāo)稱為動態(tài)指標(biāo)。通常，對系統(tǒng)動態(tài)性能的描述約定為：以系統(tǒng)對單位階躍信號的響應(yīng)為準(zhǔn)，定義具體的指標(biāo)，由于系統(tǒng)的響應(yīng)與初始條件有關(guān)，為了便于比較，通常采樣標(biāo)準(zhǔn)初始條件（即零初始條件，亦在輸入加入以前，系統(tǒng)的輸出及輸出的各階導(dǎo)數(shù)均為零）不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖：（1） 延遲時間 階躍

9、響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值50所需的時間。指輸入的穩(wěn)態(tài)值，對單位階躍為1。(2) 上升時間 響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10上升到穩(wěn)態(tài)值的90所需的時間。（對過阻尼系統(tǒng)）或響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的5上升到穩(wěn)態(tài)值的95所需的時間。（對過阻尼系統(tǒng)）或響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的0上升到穩(wěn)態(tài)值的100所需的時間。（對欠阻尼系統(tǒng)）(3) 峰值時間響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值，達(dá)到第一個峰值所需要的時間。(4) 調(diào)節(jié)時間 響應(yīng)達(dá)到并停留在穩(wěn)態(tài)值的5或2%誤差范圍內(nèi)所需的最小時間。(5) 超調(diào)量 設(shè)c()是在處的值，則(6) 震蕩次數(shù) n 響應(yīng)曲線在時刻之前震蕩的次數(shù)，曲線與輸入穩(wěn)態(tài)值相交次數(shù)的一半。注意： 性能指標(biāo)按特征分為兩類： 快速性指標(biāo) , , , 振蕩

10、性指標(biāo)； , n 若響應(yīng)曲線無過調(diào)現(xiàn)象，則不定義。這時， c(t)1 （t），記=0(超調(diào)量為零) 最常用的的指標(biāo)是 ， 理論上，及指標(biāo)指標(biāo)是越小越好，但實際中是做不到的。3.2 一階系統(tǒng)的分析 分析的思路：一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 穩(wěn)定性 動態(tài)性 穩(wěn)態(tài)性 線性系統(tǒng)的重要結(jié)論： 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析 () 由穩(wěn)定性的分析有：時控制系統(tǒng)穩(wěn) 定, ，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。本系統(tǒng)= 即 時系統(tǒng)穩(wěn)定3.2.2 動態(tài)性分析 容易求得： 0.69T=2.20T=不存在=4T (=2%)3T (=5%)%=0n=0特點：o 一階系統(tǒng)可以用時間常數(shù)T來度量系統(tǒng)的輸出值 t0T2T3T4Tc(t)00.6320.8

11、650.950.9821o 響應(yīng)曲線的初始斜率為1/T T: 一階系統(tǒng)的時間常數(shù) T小，1/T大，初始陡，上升快，小 T大，1/T小，初始平，上升慢，大o 根據(jù)一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線可以求T 常用的方法 0.632 c()處， tT t0處曲線斜率 k1/T 3.2.3 穩(wěn)態(tài)性分析00無差跟蹤10無差跟蹤有差跟蹤不能跟蹤3.2.4 線性系統(tǒng)的重要結(jié)論(適合：線性定常)=有 (t)=結(jié)論：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)同理：系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的積分3.3 二階系統(tǒng)的分析 分析思路：二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型穩(wěn)定性分析動態(tài)性分析穩(wěn)態(tài)性分析3.3.1 二階系統(tǒng)的

12、數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)式 其中阻尼比：自然振蕩頻率（不失一般性設(shè)0）方框圖形式：閉環(huán)形式開環(huán)形式特征方程 =0 有解 可見二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)與二個參數(shù)有關(guān)對于不同的 ，有七種情況，這七種情況在s平面上分別為：3.3.2 穩(wěn)定性分析有了二階系統(tǒng)模型后，對二階系統(tǒng)的分析歸結(jié)為穩(wěn)定性動態(tài)性1(t)穩(wěn)態(tài)性,1(t),t, 由微分方程解的知； 當(dāng) 時特征方程的解具有正的實部。這時：(,為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性) （由于 所以）可見當(dāng)時系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是發(fā)散的，即系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析其動態(tài)特性無意義。（對應(yīng)圖中第1，2，3共三種情況） 當(dāng) 時（稱為無阻尼系統(tǒng)） , C(t)其響應(yīng)是等幅振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由于不發(fā)散，稱為

13、臨界穩(wěn)定。 當(dāng) 時（欠阻尼系統(tǒng)）系統(tǒng)穩(wěn)定 為包絡(luò) 當(dāng) 時（臨界阻尼系統(tǒng)） c(t) 系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng) 時（過阻尼系統(tǒng)）系統(tǒng)穩(wěn)定。 小結(jié)上面各種情況有如下結(jié)論：二階系統(tǒng)當(dāng)時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定?；?二階系統(tǒng)特征多項式的系數(shù)均大于零（不能等于零，即不能缺項。），系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。（這一點從數(shù)學(xué)上十分容易看出）如 下面僅對的情況分析二階系統(tǒng)的動態(tài)性及穩(wěn)定性。3.3.2.臨界阻尼系統(tǒng)(=1) 由c(t)可得，有（t=0）(這一點與一階系統(tǒng)有別) (t)0（t0）(c(t)單調(diào)上升)()=0（t） e(t)=r(t)-c(t)= e=二階臨界系統(tǒng)能夠無差地跟蹤階躍信號。計算動態(tài)指標(biāo)：由c(t)曲線

14、可知，這里只需計算，td,t,t，%=0,t不定義，n=0 延遲時間的計算由定義即設(shè)， 有e(1+x)=0.5x1.68, td= 上升時間的計算由定義，設(shè)，解：由得：,由得： , 過渡過程時間的計算由于單調(diào)，由定義， 由上: 3.3.3. (過阻尼情況) =1-+=1-+ (=)=1- (=)=1-=1+ （ C(t)1 二階過阻尼系統(tǒng)能無差地跟蹤階躍信號性能指標(biāo)的計算由的曲線知， 不定義， 的計算由定義 可有： 3.3.3動態(tài)性分析 分析思路： 由性能指標(biāo)的定義求 % 有三中方法求 (1)求解微分方程 (2)利用拉氏反變換 (3)由的響應(yīng)的積分（利用線性系統(tǒng)的結(jié)論） 由前面穩(wěn)定性的分析結(jié)論

15、， 對二階系統(tǒng)動態(tài)性能的分析只需分析的情況。 3.3.1. （欠阻尼系統(tǒng)）() () ()誤差：有即：二階系統(tǒng)（欠阻尼）能夠無差地跟蹤階躍信號。計算%.（性能指標(biāo)的求?。?延遲時間 的計算：由的定義知：，代入的表達(dá)式有：(即)這是一個含有的隱函數(shù)的表達(dá)式，整理有：利用數(shù)值解釋與的關(guān)系曲線如圖：在內(nèi)近似地有=有的書上介紹=也是近似值。 上升時間 的計算這里討論的是欠阻尼情況，按的定義是由01的所用的時間即由定義時有即因為，e0，即有: ，(,), ( 峰值時間 的計算根據(jù)的定義知：由 有注意到，有，即有=0, 2,3因為: 出現(xiàn)在的第一個t值上.故, 取=, 即= 調(diào)節(jié)時間 的計算由的定義有：,

16、 (t ,誤差帶=(0.020.05)所以, t時因為：所以, 取,物理意義是指,取其包絡(luò)可求得,tln=0.02時，t，=0.05時，t ，,(有時取) 最大超調(diào)量 %的取值定義：%=% 注意:%僅與有關(guān), 與無關(guān). 大%小.一般地，取=0.40.8, 這時%=25%2.5%3.3.4穩(wěn)態(tài)分析 分析方法及思路 由前面的分析對于穩(wěn)定的二階系統(tǒng)均能無差地跟蹤階躍響應(yīng)信號 時 時有 = 表明：二階大阻尼系統(tǒng)跟蹤斜坡信號（速度信號）時，穩(wěn)態(tài)誤差是一個常數(shù)，即，其數(shù)值與成正比，與成反比 小的阻尼比可得到小的，但又大了，工程中綜合考慮，采用控制。 時 同上 時同前 小結(jié)：二階系統(tǒng)對速度信號的響應(yīng)存在一個

17、恒定的穩(wěn)態(tài)誤差。 D.E：為,的函數(shù)表達(dá)式 小結(jié)：二階系統(tǒng)對加速度信號的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮。即：不能跟蹤加速度信號。注：不等于不穩(wěn)定 完全是兩個不同的概念。 總：二階系統(tǒng)的分析結(jié)果 控制系統(tǒng)的一般分析：指穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)，動態(tài)三方面的分析，分三節(jié)講3.4.1 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對于線性定常系統(tǒng)，階數(shù)越高系統(tǒng)越復(fù)雜。由于數(shù)學(xué)表達(dá)式上的復(fù)雜，分析和計算都十分不方便，以前通常將三階以上的系統(tǒng)稱為高階（含或不含三階）系統(tǒng)，現(xiàn)在隨著計算技術(shù)的發(fā)展，計算機(jī)的普及，高階系統(tǒng)的計算不再是一個十分困難的事。但工程中為了抓住系統(tǒng)的主要因素，有時也采用一些近似的處理方法。 控制系統(tǒng)的一般模型 = (物理可實現(xiàn))其中：

18、分別為零，極點可以是實數(shù)，可以是零，也可以是虛數(shù)。3.4.2 控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點各不相同，且均系不為零的實數(shù)。這時， 當(dāng)時，具有這樣的形式 其中，是實數(shù)，可由留數(shù)求得取其反變換如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點各不相同，具有不為零的實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點這時 其中，q+2r = n m n當(dāng) 時，具有這樣的形式取其拉氏反變換有如系統(tǒng)含有相同的極點，其階躍響應(yīng)更復(fù)雜一些，求取的方法是相同的，實際系統(tǒng)中大多數(shù)是互不相同的極點上述的階躍響應(yīng)表達(dá)式表明，系統(tǒng)（高階系統(tǒng)）的階躍響應(yīng)含有指數(shù)函數(shù)分量和含有指數(shù)函數(shù)包絡(luò)的正余弦分量。利用計算機(jī)技術(shù)和好的仿真軟件，計算的數(shù)字解是十分容易的。3.4.3 動態(tài)性能

19、指標(biāo)的計算 當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式復(fù)雜時，利用定義求動態(tài)指標(biāo)是十分困難的。對于三階系統(tǒng)有這樣的結(jié)論（過程略）振蕩的三階系統(tǒng)（具有一對共軛復(fù)數(shù)極點）不含零點的情況 （ ）（） （當(dāng)較更靠近虛軸時會出現(xiàn)此種情況）含零點的情況 （ c）非振蕩三階系統(tǒng)（均系實數(shù)極點，且穩(wěn)定） 無零點的情況 有零點的情況 ( )的作用大于的作用還有若干情況不一一列舉在實際工程設(shè)計中，對于高階系統(tǒng)采用數(shù)字仿真的方法十分有效，在程序中按照指標(biāo)的定義判斷計算即可。3.4.4 控制系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，偶極子對消 對于實際的系統(tǒng)，其極點，零點的分布具有多種的形式，這由具體系統(tǒng)的參數(shù)，結(jié)構(gòu)確定。有的距實軸遠(yuǎn)，有的距實軸近，有的距虛軸遠(yuǎn)，有的距虛軸

20、近，極點的位置反映了系統(tǒng)相應(yīng)的狀態(tài)，動態(tài)性能的好壞。先看幾個例：現(xiàn)象：T 大小極點靠近虛軸大響應(yīng)慢T 小，有相反的情況二階系統(tǒng) 響應(yīng)速度取決于包絡(luò)：大極點離虛軸遠(yuǎn)振蕩的頻率（振蕩性能）：高階系統(tǒng)極點互不相同的事實上，它是由若干一階系統(tǒng)的響應(yīng)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)線性迭加而成。 當(dāng)系統(tǒng)的極點遠(yuǎn)離虛軸時，其對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減很快，對系統(tǒng)的響應(yīng)速度影響很小。 由上，零點的位置（的大小）影響的是這些幅值，與響應(yīng)形態(tài)關(guān)系不大。 由上面的分析可見，影響系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)鍵是系統(tǒng)的極點，在系統(tǒng)的各個極點中，又以距虛軸近，和距實軸遠(yuǎn)的極點為重中之重。 在高階系統(tǒng)的分析中，將由于不同極點引起系統(tǒng)響應(yīng)的不同分量中的主

21、要分量對應(yīng)的極點稱為主導(dǎo)極點，在高階系統(tǒng)中抓住了主導(dǎo)極點也就抓住了主要矛盾。 在上面的分析中又知道，距離虛軸近的極點是系統(tǒng)的關(guān)鍵點，因此在控制系統(tǒng)的分析中，將距離虛軸近的極點（且其它極點相對較遠(yuǎn)，同時近的這些極點附近沒有零點），稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。 在判斷系統(tǒng)主導(dǎo)極點時要注意的三點很重要：1. 其它極點相對較近，若距離較近，對系統(tǒng)的影響相差不大，無法區(qū)分主次。 2. 極點附近應(yīng)沒有零點，從數(shù)學(xué)表達(dá)式看極點在分母，零點在分子，正好是相反的作用，相距較近時數(shù)學(xué)上可抵消，工程中作用也相反。 3. 一個實際系統(tǒng)的主導(dǎo)極點可以是一個，兩個或數(shù)個。這要視具體系統(tǒng)的具體情況。主導(dǎo)極點也可以是實數(shù)復(fù)數(shù)。 偶極

22、子對：是指若在某一極點的附近同時存在一個零點，而在該零點，極點的附近又無其它的零點或極點。就稱這個極點和這個零點為一個偶極子對。由于零極點在數(shù)學(xué)上位置分別是傳函的分子分母，工程實際中作用又相反，因此在近似的處理上可相消，近似地認(rèn)識其對系統(tǒng)的作用相互抵消了。 有了主導(dǎo)極點和偶極子對的概念后，對于高階系統(tǒng)的分析，在誤差精度允許的情況下，可將高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點分析出來，利用主導(dǎo)極點來分析系統(tǒng)，相當(dāng)于降低了系統(tǒng)的階數(shù)，給分析帶來方便。設(shè)某系統(tǒng)（高階）的輸出的拉氏變換為其中，均是S的多項式，設(shè)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)的主導(dǎo)極點，此時,其中有其它零極點的綜合影響主導(dǎo)極點的結(jié)果其它零極點的綜合影響若是實數(shù)不是復(fù)數(shù)

23、，可相應(yīng)地求的拉氏反變換。經(jīng)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，偶極子對的分析后，高階系統(tǒng)可化減，一般地當(dāng)作為主導(dǎo)極點的極點與非主導(dǎo)極點在與虛軸的距離3倍以上時，這樣簡化就能保證一定的精度，有的這個倍數(shù)還要小。簡化后系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)求取的方法仍然按動態(tài)指標(biāo)的定義求，即先求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，然后在進(jìn)行指標(biāo)的計算。補(bǔ)充：在分析系統(tǒng)的偶極子對時要注意相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系，如 (100倍的關(guān)系)例：對上面高階系統(tǒng)具有二個共軛復(fù)數(shù)的主導(dǎo)極點時性能指標(biāo)求取如下：1. 峰值時間 的計算 對求導(dǎo)并令其為零，有 =arctg(-) (*)其中 = （*）式有得零點對的影響 非主導(dǎo)極點的影響 “+”號， 大 減慢 小，加速，越小，越明顯若

24、m=0(無零點)，n=2(無其它極點)與前面的二階欠阻尼一致（2）超調(diào)量的計算由由的表達(dá)式及c()=1有由（*）式可推得：又由前設(shè)，在系統(tǒng)穩(wěn)定且無差（對階躍響應(yīng)）的條件下有 ，即 ， 注意到，(共軛)最后整理有：，該式第一部分是由非主導(dǎo)極點的影響，,使減小，可增大阻尼系數(shù)；第二部分是零點的影響，使增大，可減小阻尼系數(shù)。（3）調(diào)節(jié)時間的計算 ，()由定義：，包絡(luò) ，整理有，第一部分是非主導(dǎo)極點的影響，第二部分是零點的影響，影響大，對任何系統(tǒng)（高階）均可采用上面的方法去分析其動態(tài)性能。第三章小結(jié)時域分析法的特點：o 根據(jù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型或微分方程模型 o 系統(tǒng)輸出的表達(dá)式 o 根據(jù)時域響應(yīng)分

25、析其系統(tǒng)的性能 。 （以下內(nèi)容為教材第五章內(nèi)容，安排到后面第五章）3.3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 穩(wěn)定性的概念 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 代數(shù)判據(jù)（一般情況，特殊情況，勞斯，赫爾維茨） 勞斯判據(jù)的應(yīng)用（確定穩(wěn)定域判斷穩(wěn)定性，求系統(tǒng)的極點，設(shè)計系統(tǒng)中的參數(shù) 3.3.5.1 穩(wěn)定性的概念分析小球平衡點的穩(wěn)定性 定義：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。理解：3.3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件設(shè)系統(tǒng)的微分方程模型為：分析

26、系統(tǒng)的穩(wěn)定性是分析在擾動的作用下，當(dāng)擾動消失后系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)的性能，亦系統(tǒng)在作用下的性能，亦與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)。對上述微分方程描述的系統(tǒng)亦只與等式的左端有關(guān)，而與右端無關(guān)，亦：系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由下列齊次方程所決定：其穩(wěn)定性可轉(zhuǎn)化為上述齊次方程的解c(t)若則系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析齊次方程的解的特征。由微分方程解的知識，上述方程對應(yīng)的特征多項式為：設(shè)該方程有k個實根 （i1，2，k）r對復(fù)根 （i1，2，r）k2rn 且各根互異 （具有相同的根時分析方法相同，推導(dǎo)稍繁瑣）則上述齊次方程的一般解為：其中為常數(shù)，由式中的決定，分析可見：只有當(dāng)時，否則。注：

27、只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情況為臨界穩(wěn)定，屬不穩(wěn)定。綜:線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（iff）是：其特征方程式的所有根均為負(fù)實數(shù)或具有負(fù)的實部。亦：特征方程的根均在根平面（復(fù)平面、s平面）的左半部。亦：系統(tǒng)的極點位于根平面（復(fù)平面、s平面）的左半部。從上面的充要條件可以看出：系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷只需計算上系統(tǒng)的極點，看其在s平面上的位置，勿需去計算齊次方程的解（當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜時的計算可能很繁），勿需去計算系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。3.3.5.3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程 式中所有系數(shù)均為實數(shù)，并設(shè)（若，對特征方程兩端乘（1），可以證明上述特征方程中所有系數(shù)均大于零（即 ）是該特征方程所有根在

28、s平面的左半平面的必要條件。也就是說，（）特征根有可能在左半s平面，否則（）特征根中有在虛軸上或右半平面的。證明：設(shè)有n個根 k個實根 （i1，2，k）r對復(fù)根 （i1，2，r）k2rn則 逐一展開看系數(shù)即可。例：F(s)= a0(s-1)(s-2) 10 =a0s2-a0(1+2)s+a012 21 a21 -(1+2)0 120 F(s)=a0(s-1)（s-1）2+12 =a0s3-(21+1)s2+(12+12+211)s-1(12+12) =a0s3-a0(21+1)s2+a0(12+12+211)s-a01(12+12) a11 a21 a31以此類推。根據(jù)這條原則，在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定

29、時，可事先檢查一下系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否均為正。注意：此條件僅為必要條件，非充分條件一定要均大于零，不能等于（缺項）或小于零。3.5.4 代數(shù)判據(jù)3.5.4.1 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)是1877年Roth提出來的一種代數(shù)判據(jù)，只介紹方法不證明，證明涉及到高等代數(shù)的理論。勞斯判據(jù)的三個步驟： 列寫系統(tǒng)的特征方程式； 列寫勞斯表； 根據(jù)勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的特征方程 勞斯表 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b1 b2 b3 c1 c2 c3 表中 勞斯表中，可以證明：將某一行中所有元素同時乘以某一正數(shù)，不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷。（這樣處理往往可以簡化計算）3. 定性的判斷 若勞斯表中第一列

30、的各元素的符號均為正，則特征方程的所有根位于左半s平面，即系統(tǒng)穩(wěn)定。若勞斯表中第一列中存在著零元素或小于零的元素，系統(tǒng)則不穩(wěn)定，勞斯表中第一列符號變化的次數(shù)即是系統(tǒng)在右半平面的極點個數(shù)。3.5.4.2 遞推的勞斯判據(jù)與勞斯判據(jù)的思路和方法完全相同，僅只是在總結(jié)勞斯表的列寫上，歸納出下面的遞推形式，便于計算機(jī)處理或計算。 通項 =- i=1,2,n-1;j=2,4,6偶數(shù) 判斷：表中若第一列的數(shù)，即（I=0，1，2，3，n-1）均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列變符號的次數(shù)表明了系統(tǒng)在右半平面的極點個數(shù)3.5.4.3 赫爾維茨判據(jù)（勞斯赫爾維茨判據(jù)） 設(shè) 系統(tǒng)的特征方程 F（s）=+=0

31、;構(gòu)造赫爾維茨行列式：= 判斷：若的順序主子式（i=1，2，n）全部為正，系統(tǒng)穩(wěn)定即 =0 =0 = 對于低階系統(tǒng)該方法是極其方便的。n=2（二階）時 各項系數(shù)均為正時系統(tǒng)穩(wěn)定n=3（三階）時 各項系數(shù)均為正且0即例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 +6+12+11+6=01. 滿足穩(wěn)定的必要條件 2. 勞斯表 1 12 6 6 11 61/6 6 （取61 36） 455/61 （取455） 363. 判斷第一列均0，系統(tǒng)穩(wěn)定 事實上該方程F（s）=+6+12+11+6=(s+2)(s+3)(+s+1)極點，例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 +3+2+5+6=0勞斯表 1 2 5 3 1 6 5/3 3 （取5

32、9） -22/5 6 （取-11 15） 174/11 （取1） 15由第一列的符號可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有二個在右半平面的極點。因為第一列中1315，有兩次變號。3.5.4.4 勞斯判據(jù)中的兩種特殊情況(1) 勞斯表中某一行的第一個數(shù)出現(xiàn)0，其余不為0或沒有（這是因為虛軸上的極點所致）法一：這時系統(tǒng)不穩(wěn)定，若要繼續(xù)分析根的分布，可以用一個小的整數(shù)代替零。例：特征多項式F（s）=+3+3+1勞斯表 1 1 1 3 3 0(+) 1 3-3/（取-1） 1系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號變化二次，系統(tǒng)有二個右半平面的根。法二：在已有的特征式上乘以一個（s+a）其中a0任意，這是一個穩(wěn)定的極點，乘上去不改變原系統(tǒng)的穩(wěn)

33、定性，但改變了原特征式的系數(shù)，使勞斯表中不出現(xiàn)零。例：同上 F（s）（s+a）=（+6+12+11+6）（s+a）=+(3+a)+(3a+1)+(3+a)+(3a+1)+a(取a=1) =+4+4+4+4+1勞斯表： 1 4 4 4 4 1 3 +15/4 (取12 15) 1/4 1 (取1 4) s -33 (取-1) 4系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號變化兩次。(2) 勞斯表中出現(xiàn)全為0的行這種情況表明在s平面內(nèi)存在大小相等，但是位置徑向相反的極點，即存在大小相等符合相反的實根或一對共軛虛根，或者是對稱實軸的兩對共軛復(fù)根。處理的方法是利用出現(xiàn)全零行的上一行的元素構(gòu)成輔助方程，利用輔助方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替

34、原來全零行的系數(shù)。繼續(xù)計算勞斯表輔助方程中含有系統(tǒng)徑向極點的信息。例：+2+24+48-25-50=0勞斯表： 1 24 -25 2 48 -50 構(gòu)造輔助方程2+48-50=0 0 0 求導(dǎo) 8 96 構(gòu)成新的行8+96=0 24 -50 112.7 -50系統(tǒng)不穩(wěn)定（出現(xiàn)全0行，變號一次）。由輔助方程式有：2+48-50=0 （-1）（+25）=0得到 =，=事實上原方程 +2+24+48-25-50=0有：（+25）(-1)( +2)=0其根：=，=，=-2 3.5.5勞斯判據(jù)的應(yīng)用3.5.5.1.判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（略）3.5.5.2.分析系統(tǒng)的穩(wěn)定域（穩(wěn)定裕）解釋穩(wěn)定裕的概念。系統(tǒng)穩(wěn)定

35、與否是由系統(tǒng)的極點是不是任在S平面的左半平面決定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的裕量（程度）是看系統(tǒng)的極點與虛軸的關(guān)系。例如二階系統(tǒng)（欠阻尼）其極點距虛軸越近，振蕩性能就越差，振蕩越劇烈。 ,系統(tǒng)等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）。因此，對控制系統(tǒng)的分析一方面要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，往往還要分析它的穩(wěn)定的裕度（程度，深度）。分析穩(wěn)定裕度可采用平移S平面上的縱坐標(biāo)的方法。如圖令S=-，即將虛軸平移了。將S=-代入原系統(tǒng)的特征方程。得到以為變量的新的特征方程。檢驗在平面上系統(tǒng)極點與虛軸的關(guān)系，若仍然全部在平面的左邊，表明系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。利用這種方法，可求得系統(tǒng)最大的。例：特征方程2s+10s+13s+4=0判斷其穩(wěn)定性，并檢驗

36、系統(tǒng)是否具有1的穩(wěn)定裕度解： 該系統(tǒng)是三階系統(tǒng) 1013=13024=8由赫爾維茨判據(jù)知該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 令S=-1代入原特征方程2(-1)+10(-1)+13(-1)+4=02+4- -1=0存在著一的系數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故原系統(tǒng)不存在1的穩(wěn)定裕度。 設(shè)代S=-入原特征方程2(-)+10(-)+13(-)+4=0有2+（10-6）+（6-20-13）+（10-2-13+4）=0由穩(wěn)定判據(jù)有（10-6）（6-20-13）（10-2-13+4）時系統(tǒng)穩(wěn)定。解此不等式的，可求出系統(tǒng)穩(wěn)定的裕度。3.5.5.3.求系統(tǒng)的極點同求穩(wěn)定裕度的思路，通過移S平面的縱坐標(biāo)，可逐一求出系統(tǒng)的極點。（略）3.5.5

37、.4.設(shè)計系統(tǒng)的參數(shù)（按照穩(wěn)定性的要求設(shè)計）例.如圖所式系統(tǒng)，確定K的穩(wěn)定范圍由圖：=特征方程s+3s+3s+2s+k=0 =勞斯表 s 1 3 k s 3 2 s 7/3 k s 2 - s k為了使系統(tǒng)穩(wěn)定2-0,k0。綜：14/9k0除K值外，其它參數(shù)的設(shè)計相同。3.6：控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性分析穩(wěn)態(tài)誤差的概念系統(tǒng)類型靜態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差3.6.1.誤差和穩(wěn)定誤差 控制系統(tǒng)準(zhǔn)確度（精度）的描述，即靜態(tài)性能的描述稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（前面已有定義和解釋）如圖示系統(tǒng)=由輸入產(chǎn)生的誤差傳函 由干擾產(chǎn)生的誤差傳函= ett + ess誤差的暫態(tài)分量 誤差的穩(wěn)態(tài)分量（穩(wěn)態(tài)誤差）es

38、s的求?。海?）由定義; ess=ess=（2）拉氏變換的終值定理: ess= 注意條件：在虛軸和右半平面解析。3.6.2.系統(tǒng)的類型簡單地，不考慮干擾的情況e=可見：影響e的因素:1.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，2.輸入信號R(S)看下面幾個例子(1)r(t)=t R(s)= b (2) r(t)=t (3)r(t)=tC(S)= C(S)=c(t)= c(t)=t-1+ 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不同，相同的輸入有不同的r(t)=1 R(s)= r(t)=1 r(t)=1 下面來分析這些關(guān)系設(shè)系統(tǒng)具有如圖的結(jié)構(gòu)不失一般性 可描述為其中： ：開環(huán)增益： (i =1,2,3,m; j = 1,2,3,., ) 為時間常數(shù) (指

39、廣義的，可以是復(fù)數(shù))：開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)系原點上極點的個數(shù)稱：系統(tǒng)為0 型系統(tǒng)系統(tǒng)為型系統(tǒng) 對系統(tǒng)的一種分類方法(按開環(huán)具有節(jié)點為零的個數(shù))(注意：階次的分法是不同的)系統(tǒng)為 型系統(tǒng)記 其中 這時(設(shè)終值條件滿足) = 可見影響的因素 系統(tǒng)的類型 開環(huán)放大系數(shù) 與 有關(guān) 輸入信號 在定義的系統(tǒng)的分類下，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的分析歸結(jié)為典型輸入信號3.6.3 靜態(tài)誤差系數(shù) 靜態(tài)誤差系數(shù)是反映系統(tǒng)靜態(tài)品質(zhì)的一種描述，也是反映系數(shù)靜態(tài)誤差。它是在一定的條件下反映了穩(wěn)態(tài)誤差與結(jié)構(gòu)的關(guān)系（與開環(huán)放大系數(shù)、類型的關(guān)系）靜態(tài)位置誤差系數(shù) ()= (,)=拉氏終值定理定義： 靜態(tài)位置誤差系數(shù) 于是 ()討論：0型系

40、統(tǒng)(開環(huán)放大倍數(shù))型系統(tǒng)型系統(tǒng)同理可推其他 對應(yīng)有：對于單位階越輸入信號，其穩(wěn)態(tài)誤差可以概括為0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)能跟蹤單位階躍信號，只是有一恒定的誤差，于的大小有關(guān)型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 可見：I 、II型系統(tǒng)可以無差地跟蹤單位階躍系統(tǒng)小結(jié)：單位反饋系統(tǒng)中，如前向通道沒有積分環(huán)節(jié)，那么它對階越輸入的響應(yīng)包含穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與開環(huán)放大倍數(shù)有關(guān)。要注意的是的大小還與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有關(guān)，一般地越大，穩(wěn)定性越差，這是一對矛盾，設(shè)計時要綜合考慮。若要求系統(tǒng)對階躍響應(yīng)時無靜差的，則系統(tǒng)要設(shè)計成I型或II型。靜態(tài)速度誤差系數(shù) ()= (,)=終值定理定義：靜態(tài)速度誤差系數(shù) 于是 ( )注意：這里“速度”的意思是表示對

41、速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差，速度誤差并不是速度上的誤差，是由于速度輸入（斜坡輸入）而產(chǎn)生的位置誤差討論：0型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 對應(yīng)有，對單位斜坡輸入信號，其穩(wěn)態(tài)誤差可以概括為0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入型系統(tǒng) I型系統(tǒng)可以跟蹤，但有一定的誤差，誤差值與開環(huán)放大倍數(shù)有關(guān)型系統(tǒng) II型系統(tǒng)可以無差地跟蹤斜坡輸入小結(jié)：靜態(tài)加速度誤差系數(shù) = (,)=定義：靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 于是： （ 時的位置誤差 ）討論：0型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 型系統(tǒng) 對應(yīng)有，對于單位加速度輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以概括為：0型系統(tǒng) 表明：0型和I型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時都不能跟蹤加速度信號型系統(tǒng) 型系統(tǒng) II型系統(tǒng)能跟蹤加速度信號但有一定的誤

42、差以此類推。綜合上面的分析可以得出下表：（回答了前面提出的問題）注意3點：（1）有的參考書上提“位置誤差、速度誤差、加速度誤差”，并不是速度上的誤差和加速度上的誤差，指的是速度輸入和加速度輸入時系統(tǒng)位置上的偏差。（2）“有限的速度誤差”指的是在瞬態(tài)過程結(jié)束后，輸入和輸出以同樣的速度變化，但存在一個有限的位置上的偏差；“有限的加速度誤差”同樣解釋。（3）上表中某些類型對一些輸入信號的跟蹤誤差為，注意在概念上不是不穩(wěn)定，（許多同學(xué)犯這樣的概念錯誤），事實上，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性于輸入信號無關(guān)小結(jié)：靜態(tài)誤差系數(shù),定量地描述了系統(tǒng)跟蹤不同的輸入信號的能力，描述了系統(tǒng)對減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力。因此，它們是

43、系統(tǒng)穩(wěn)定特性的一種表示方法。當(dāng)保持瞬態(tài)響應(yīng)在一個允許的范圍內(nèi)，一般希望增加誤差系數(shù)。在實際系統(tǒng)的控制中，為了改善其穩(wěn)態(tài)性能，可以在前向通道中增加一個或更多的積分環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)的型號增加。這將帶來系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，一般的，前向通道中的積分環(huán)節(jié)超過2 時，設(shè)計便有些困難。 例：設(shè)具有測速發(fā)電機(jī)反饋的位置隨動系統(tǒng)如圖，要求計算當(dāng)分別為,時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解這時 I型系統(tǒng) =1故 = 時 時 時 比較：的具體值不同，形式是相同的，這是因為的定義不同。3.6.4 動態(tài)誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)又稱廣義誤差系數(shù)。 靜態(tài)誤差系數(shù)的一個明顯特點是，輸入是典型信號，誤差也表現(xiàn)為常值（含0）或無窮大。該方法簡單實用，但對其他情況也存在局限。如輸入信號是任意信號，或誤差不是常數(shù)是隨時間變化的函數(shù)。或有的誤差函數(shù)不符合終值定理的條件，或有的特殊系統(tǒng)有效工作時間很短，