20082009秋季學(xué)工科數(shù)學(xué)分析試卷班卷答案

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué) 2008/2009 學(xué)年 秋季學(xué)期 工科數(shù)學(xué)分析 （A 班） 試題卷（A）（）形式（閉卷）：閉 答題時間：150 （分鐘） 本卷面成績占課程成績 70 %一、填空題（每題 2 分，共 20 分）（不填題首按處理）13e12-11,：123et (t - 1)33x + 2 y - 3z = 64562t 27 - 1 tan-33f ¢ + 3 f ¢ + 2 f ¢+ C81112221169 -110en + n3 + ln(1 + n)= 1 limn®¥ 3en+1 + n 32 + 2n3x-12 y = 5 x+1

2、的間斷點是 x =，且是類間斷點。- b = 0 ，則a =， b = 3已知 lim x®+¥ìx = t 2 + 1d 2 y，則= dx 24已知： íy = etî5 曲 面 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = 6 在點 M (1,1,-1) 處 的 切 平 面 方 程 為教研室簽字：第 1 頁（共 12 頁）班級：學(xué)號：:題號一二三四五六七八卷 面總 分成 績課 程總 成 績分數(shù)v¶u6函數(shù) u = z (z > 0) 沿 l = P1 P2 的方向?qū)?shù)xy=，其中v¶lP1P1 , P2 分別為(1,

3、1,1) 與(2,2,2) 。7 ò sin 4 x cos2 x = dx¶ 2 z8設(shè) z = f (x + y, x + 2 y), f (u, v) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= ¶x¶y1ò=x ln xdx = 39 I010設(shè) y = xe1-x , x Î R ，則max y =xÎR 二、選擇題：（每題 2 分，共 20 分）（不填題首：按處理）1 + x1設(shè) f (x) = lim，則（）成立。遵守考試紀律n®¥ 1 + x2n（A）有間斷點 x = 1；（C）有間斷點 x = 0 ；（B）有間

4、斷點 x = -1；（D）無間斷點ìx 2e-x2 , x³ 1< 12關(guān)于函數(shù) f (x) = ï在 x = ±1兩點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性為（í1 ,）xïî e注意行為規(guī)范（A） 在 x = ±1處連續(xù)但不可導(dǎo)；（B） 在 x = ±1處可導(dǎo) ；（C） 在 x = 1可導(dǎo)，在 x = -1處不可導(dǎo) ；（D） 在 x = 1不可導(dǎo)，在 x = -1處可導(dǎo)。3設(shè) f () ，則（）（A） x = 0 是 f (x) 的極值點，但(0,0) 不是曲線 y = f (x) 的拐點；第 3 頁（共 12 頁

5、）（1）（A）（2）（B）（3）（A）（4）（C）（5）（D）（6）（D）（7）（C）（8）（B）（9）（C）（10）（A）（B） x = 0 不是 f (x) 的極值點，但(0,0) 是曲線 y = f (x) 的拐點；（C） x = 0 是 f (x) 的極值點， (0,0) 也是曲線 y = f (x) 的拐點；（D） x = 0 不是 f (x) 的極值點， (0,0) 也不是曲線 y = f (x) 的拐點。4設(shè) f (x) 連續(xù)，且 f ¢(0) > 0 ，則存在d > 0, 使得（）（A） f (x) 在(0,d ) 內(nèi)； （B） f (x) 在(-d ,0

6、) 內(nèi)單減；（C） 對"x Î (0,d ) 有f (x) > f (0)； （D） 對"x Î (-d ,0) 有f (x) > f (0)5設(shè) z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 處的全增量為Dz ，若 z = f (x, y) 在(x0 , y0 ) 處可微，則在(x0 , y0 ) 處（）（A） Dz = dz ； （B） Dz = f x Dx + f y Dy ；（C） Dz = f x dx + f y dy ； （D） Dz = dz + o(r), r =Dx + Dy226曲面 z = f (x, y) 對應(yīng)

7、于(x0 , y0 , z0 ) 處與 z 軸正向成銳角的法向量為（A） 1, f (x , y ), f (x , y )；（B） f (x , y ), f (x , y ),1x00y00x00y00（C） f (x , y ),- f (x , y ),-1（D） - f (x , y ),- f (x , y ),1x00y00x00y00）ìx 2 + y 2 + z 2 = 6在點(1,-2,1) 處的切線必平行于（7曲線í）î x + y + z = 0（A） xoy 平面；（B） yoz 平面；（C） zox 平面；（D）平面 x + y + z

8、 = 02 28 lim(x2 + y 2 ) x y = （）x®0 y®0（C） ¥（D） 0（A）不存在（B）1第 5頁（共12 頁）sin xò9當 x ® 0 時，sin(t )dt 是 x + x 的（223）0（A）同階無窮小；（B）等價無窮??；（C）高階無窮小；（D）低階無窮小10由 f ( y , z ) = 0 確定了可微函數(shù) z = z(x, y) ，則 x ¶z + y ¶z = （）¶x¶yx x（A） z ； （B） - z； （C） y ；（D） - y三、試解答下列各題：（

9、每小題 4 分，共 20 分）1求極限：2ln(1 +limarctan x3x®03 ) + 23 )解：原式= lim3!x3 + o(x3 )x®03= lim3x3x®0= 3 132求不定： ò earcsin x dxx=sin t解： òearcsin x dx= òet cos tdt= et cos t - ò et d cos t= et cos t + et sin t - ò et cos tdt由此得etò edx =(cos t + sin t) + C2arcsin xarc

10、sin x= e(cos(arcsin x) + sin(arcsin x)+ C2第7 頁（共12 頁）得分3 設(shè) f (x) 在 0,+¥) 上可導(dǎo)， 且 f (0) = 0, 存在 f -1 (x) = g(x) ， 已知：f ( x)òg(t)dt = x e ，求 f (x)2 x0解： g f (x)× f ¢(x) = ex (x2 + 2x)xf ¢(x) = xe x (x + 2)f ¢(x) = ex (x + 2)f (x) = ò (xe x + 2ex )dx= xe+ C = xe(x + 1)

11、 + C由 f (0) = 0 得C = 1 ， f (x) = ex (x -1) + 2x + 1aò4計算定： I =xa 2 - x 2 dx20p2x=a sin t a 4ò解： I=2sin 2tdt40p20a 48ò=(sin 2t + cos 2t)dt22= pa 4165設(shè) f Î C，且f (x)dx = 0, 試證：$x Î (a, b) ： f (t)dt + f (x ) = 0xbòòa,baaxò證：設(shè)j (x) = e ×f (t)dtxa顯然 j(a) = j(b)

12、 = 0 ，且 j (x) 在 a,b 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 故 由 羅 爾 定 理 知æxf (x )ö÷ = 0 ，因exxò$x Î (a, b) : j ¢(x ) = 0 即ef (t)dt +¹ 0 ，故有çèøaxòaf (t)dt + f (x ) = 0第 9 頁（共 12 頁）四、設(shè) z = f (x, y) ，其中 y = y(x) 由 x y = y x 確定，其中 f 存在一階連續(xù)偏導(dǎo)dz數(shù)，求。（5 分）dxdz¶f¶fdy解：=+×

13、LLLLL(1)dx¶x¶y dxyy + x × y¢ y又 由 y ln x = x ln y 兩邊對 x 求導(dǎo)得 y¢ ln x += lnxyln y -xy ln y - y 2 xln x - xy¢解得y =LLLLLLL(2)2把（2）代入（1）得dz = ¶f + ¶f × xy ln y + y 2dx¶x¶y2五、設(shè) f (x) 在a,b上連續(xù)單調(diào)遞增，證明：a + bbbòò（5 分）³f (x)dx2aaa + x2xxòò證：設(shè) F (x) =tf (t)dt -f (t)dt ，則