必修四第二章 平面向量 第一講 向量的概念及表示（學(xué)案含答案）

1、.高中數(shù)學(xué)向量的概念及表示一、考點(diǎn)打破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明向量的概念及表示1. 理解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念；2. 理解零向量、單位向量、相等向量、共線平行向量、相反向量的含義；3. 理解向量的幾何表示選擇填空高考必考向量是代數(shù)和幾何的知識(shí)交匯點(diǎn)，在選擇填空題中向量的幾何應(yīng)用要引起足夠的重視二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：向量的概念、相等向量的概念、向量的幾何表示。難點(diǎn)：向量的概念和共線向量的概念。一、向量及相關(guān)概念1向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小稱為向量的模也就是用來(lái)表示有向線段的長(zhǎng)度。注意：向量與數(shù)量的區(qū)別向量有大小有方向，數(shù)量只有大小沒(méi)有方向。故長(zhǎng)度能比較大小，而向量

2、不能說(shuō)哪個(gè)大哪個(gè)小，只能說(shuō)相等還是不相等。2零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記做0。3單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。4相等向量：長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量叫做相等向量。5相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量。6平行向量共線向量：方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任一向量平行?！疽c(diǎn)詮釋】?jī)蓚€(gè)向量共線，不一定相等；而兩個(gè)向量相等，那么一定共線。向量“共線的含義不是平面幾何里的“共線 的含義。平面幾何里的三點(diǎn)共線與兩個(gè)向量共線不同：首先共線向量不考慮起點(diǎn)，其次明確共線向量可分為以下五種情況：1方向一樣、模相等；2方向一樣、模不等；3方向相

3、反、模相等；4方向相反、模不等；5零向量和任一向量共線。二、向量的表示1幾何法：用有向線段來(lái)表示，即用有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)來(lái)表示，如用表示。2整體法：用一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)表示，如a,b,c等，注意此時(shí)手寫(xiě)與書(shū)寫(xiě)體a 不一樣。3坐標(biāo)法：用坐標(biāo)來(lái)表示向量以后學(xué)習(xí)?！疽族e(cuò)點(diǎn)】注意：1. 零向量的手寫(xiě)體為，書(shū)寫(xiě)體用黑體字0表示。2. 假如有向線段表示一個(gè)向量，通常我們就說(shuō)向量，但有向線段只是向量的表示，并不是說(shuō)向量就是有向線段。3. 共線向量也就是平行向量，其要求是幾個(gè)非零向量的方向一樣或相反，當(dāng)然向量所在的直線可以平行，也可以重合。例如：四邊形ABCD滿足且，那么四邊形ABCD的形狀是_。思路分析：

4、根據(jù)相等向量的定義可得。答案：由四邊形ABCD滿足可知，四邊形ABCD為平行四邊形，又，即平行四邊形ABCD對(duì)角線相等，從而可知四邊形ABCD為矩形。【重要提示】此題是考查圖形的形狀的問(wèn)題，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的邊的關(guān)系來(lái)解決。例題1 向量的有關(guān)概念判斷以下各說(shuō)法是否正確：1單位向量一定相等；2假設(shè)ab，bc，那么ac；3假設(shè)，那么點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合；4假設(shè)向量a與b同向，且|a|>|b|，那么a>b；5假設(shè)向量ab，那么ab；6假設(shè)ab，bc，那么ac。思路分析：從概念的理解出發(fā)，結(jié)合詳細(xì)實(shí)例進(jìn)展判斷。答案：1不正確。向量有大小和方向兩個(gè)要素，單位向量的模一定是1，但

5、方向不一定一樣，所以單位向量不一定相等。2正確。ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向一樣；又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向一樣，a，c的長(zhǎng)度相等且方向一樣，故ac。3不正確。這是因?yàn)闀r(shí)，應(yīng)有及由A到B與由C到D的方向一樣，但不一定有A與C重合，B與D重合。4不正確。“大于、“小于對(duì)于向量來(lái)說(shuō)是沒(méi)有意義的。5正確。相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等。6不正確。對(duì)于非零向量命題正確，但當(dāng)b0時(shí)，滿足ab，bc，但a與c不一定共線。技巧點(diǎn)撥：1. 在判斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，既要立足向量的數(shù)即模的大小，又要考慮其形即方向性。2. 涉及共線向量或平行向量的問(wèn)題，一定要明確所給向量是否為非零向量。3. 對(duì)

6、于判斷命題的正誤，應(yīng)該熟記有關(guān)概念，理解各命題，逐一進(jìn)展判斷，對(duì)于錯(cuò)誤命題，只要舉一反例即可。例題2 向量的表示 一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)B，然后又改變方向向西偏北50°行駛了200千米到達(dá)點(diǎn)C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)D。1作出向量，；2求思路分析：解答此題應(yīng)首先確定指向標(biāo)，然后再根據(jù)行駛方向確定有關(guān)向量，進(jìn)而求解。答案：1如圖，2由題意，易知與方向相反，故與共線，即ABCD，又，在四邊形ABCD中，AB與CD平行且相等，四邊形ABCD為平行四邊形，200千米。技巧點(diǎn)撥：用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后根據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)。必要時(shí)，需根據(jù)直角三角形知識(shí)求出向量的方向或長(zhǎng)度模，選擇適宜的比例關(guān)系作出向量。向量在幾何證明中的應(yīng)用【例證】如圖，四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又。求證：CN與MA平行且相等。思路分析：要證CNMA且CNMA，只需證四邊形AMCN是平行四邊形，而四邊形AMCN是平行四邊形，可以通過(guò)得證。答案：由條件可知ABDC且ABDC，從而四邊形ABCD為平行四邊形，從而，又M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，于是，所以ANMC且ANMC，所以四邊形AMCN是平行四邊形，從而CNMA且CNMA，即CN與MA平行且相等。技巧點(diǎn)撥：1. 假設(shè)，且四點(diǎn)A，B，C，D不共線，那么