微積分基礎ppt課件

1、.1、不定積分的概念與性質、不定積分的概念與性質、換元積分法、換元積分法、分部積分法分部積分法、有理函數的積分、有理函數的積分第五章第五章 不定積分不定積分.25.1 5.1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質1 1、不定積分的概念不定積分的概念2 2、不定積分的性質、不定積分的性質3 3、基本積分表、基本積分表.3一、概念一、概念.41 1、原函數、原函數例如例如,cos)(sinxx定義定義1 1若在區(qū)間若在區(qū)間I上，上，)()(xfxF則稱則稱)(xF為為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的一個上的一個原函數原函數. .xsinxcos是是的一個原函數的一個原函數. .)(sincx,cos

2、 xcx sin也是也是xcos的原函數的原函數. .dx)x(f)x(dF .5問題問題(1)(1)何種函數具有原函數何種函數具有原函數? ?(2)(2)函數若具有原函數函數若具有原函數, ,怎樣寫出原函數怎樣寫出原函數? ?.6結論結論: :(1)(1)若函數若函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上上連續(xù)連續(xù), ,則存在可導函數則存在可導函數)( xF 使使)(Ix)()(xfxF連續(xù)函數一定有原函數連續(xù)函數一定有原函數I(2)(2)若函數若函數)(xf在區(qū)間在區(qū)間 有一原函數有一原函數),(xF則則 仍為仍為)(xf的原函數的原函數CxF)(.7CxFx)()(I(3)(3)若函數若函數)(xf在

3、區(qū)間在區(qū)間 有一原函數有一原函數),(xF則則)(xf的的CxF)( C( C為任意常數為任意常數) )證證)(x設設為為)(xf的任一原函數的任一原函數, ,)()(xFx則則0)()(xFx)(xf)(xfCxFx)()(即即可表示為可表示為: :所有原函數所有原函數.8dxxf)(定義定義2 2 C)x(Fdx)x(f函數函數)(xf的的全體原函數全體原函數, ,記作記作: :積分號積分號; ;)(xf被積函數被積函數; ;dxxf)(被積表達式被積表達式; ;x積分變量積分變量. .若若)()(xfxF 則則)(xf的的不定積分不定積分為：為：)(xf的的不定積分不定積分. .稱為稱為

4、2.2.不定積分的定義不定積分的定義.9例例1 1dxx2求解解: :dxx 22 x)( Cx 33例例2.2.求求dxx211解解. .,) (211xdxx 211. cxarctan 331xxarctan.10例例3 3dxx1求 xlndxx 1 )xln( C)xln(dxx 1總之總之, ,0 1 x,Cxlndxx0 x解解 當當時時, ,Cxln 0 x當當時時, ,x1 )(x11 x1 .11 不定積分表示的是一族函數不定積分表示的是一族函數, ,從幾何上看從幾何上看, ,代表一族曲線代表一族曲線, ,稱為稱為積分曲線族積分曲線族. .3.3.不定積分的幾何意義不定積分

5、的幾何意義曲線曲線: :CCxFy( ,)(為任意常數為任意常數 ) )在在( (x x0 0 ,y,y0 0 ) )的切線的切線的斜率為的斜率為f f( (x x0 0) )y yo ox x.12例例4.4.設曲線通過點（設曲線通過點（1 1，2 2），且其上任意點處的切線斜率等于這），且其上任意點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍點橫坐標的兩倍, ,求此曲線的方程求此曲線的方程. .)x(f解解)(xfy xdxdy2 xxf2)(即即，由題意知，由題意知Cx 2dxx 2又曲線通過點（又曲線通過點（1 1，2 2），），1C12 x)x(f此曲線的方程為此曲線的方程為12 xy設所求曲線

6、方程為：設所求曲線方程為：x xy yo o1 11 12 212 xy.13二、不定積分的性質二、不定積分的性質.14求不定積分的運算與求導數運算是互逆的求不定積分的運算與求導數運算是互逆的.)x(fdx)x(f dx)x(fdx)x(fd C)x(Fdx)x(F C)x(F)x(dF (1)、(2)k(dx)x(fkdx)x(kf0 dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f(3).15三、基本積分表三、基本積分表.16三、基本積分表三、基本積分表dxk )(1dxx)( 2dxx)( 1 3 Cxarctan dxx)( 211 10 xdxcos)( 7 (8)2dxxsec Ckx

7、 1 11 Cx Cxln dxx)( 211 11 Cxarcsin xdxsin)( 6Ccosx Csinx Cxtan dxx2csc (9) (12)dxxtanxsec dxxcotxcsc (13) (5) dxex cotCx cscCx Caaxln (4) dxax secCx Cex.17例例5.5.求dxxx)5(2解解dxxx)5(2dxxx)5(2125dxxdxx212552772xCx 23310.18dxxx231dxxxxx223133dxxxx)33(21Cxxxx1ln3322dxxx231例例6.6.求解解.19dxexx2例例7. 求解解dxexx2

8、dxex)2(Cexx2ln12Ceex)2ln()2(例例8 求dxx2tan解解dxxtan 2dx)x(sec 12 Cxxtan .20解解: : 原式原式 = =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313練習一下.d124xxx例例9.9. 求求.21例例10.求dxxx22cossin1解解dxxcosxsin 221dxxcosxsinxcosxsin 2222dxxcos 21dxxsin 21dxxsec 2dxxcsc 2xtan Cxcot 提高題目.22瘋狂操練瘋狂操練1. 若則的原函數是,)(xfex

9、 d)(ln2xxfx(P191題4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 221.232. 若)(xf是xe的原函數 , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10.243. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導函數為,sin x則)(xf的一個原函數是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數為xxfd)(21sinCxCx.254. 求積分:;)1 (d22xxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxx22111xx)(2x2x.265. 求不定積分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221