[推薦學(xué)習(xí)]2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)1.3.2三角恒等變換與解三角形課時(shí)鞏固過關(guān)練理新人教版

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)課時(shí)穩(wěn)固過關(guān)練 九 三角恒等變換與解三角形(35分鐘55分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.(2022·唐山一模)2sin2=1+cos2,那么tan2=()A.-43B.43C.-43或0D.43或0【解析】選D.因?yàn)?sin2=1+cos2,sin22+cos22=1,所以sin2=0,cos2=-1.或sin2=45,cos2=35,所以tan2=0或tan2=43.【加固訓(xùn)練】sin2=2425,0<<2,那么2cos4-的值為()A.15B.-15C.75D.±15【解析】選C.因?yàn)閟in2=cos2-2=2cos24-1,所以2

2、cos4-=±1+sin2,因?yàn)閟in2=2425,所以2cos4-=±75,因?yàn)?<<2,所以-4<4-<4,所以2cos4-=75.2.(2022·全國(guó)卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.a=5,c=2,cosA=23,那么b=()A.2B.3C.2D.3【解析】選D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得52=b2+22-2b×2×cosA,即3b2-8b-3=0,解得b=-13(舍)或b=3.【加固訓(xùn)練】(2022·武漢一模)鈍角三角形ABC的面積是12,AB=1,BC=2,那么A

3、C=()A.5B.5C.2D.1【解析】選B.SABC=12AB·BCsinB=12×1×2sinB=12,所以sinB=22,假設(shè)B=45°,那么由余弦定理得AC=1,所以ABC為直角三角形,不符合題意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1×2×-22=5,所以AC=5.3.(2022·太原二模)設(shè)0,2,0,2,且tan=1+sincos,那么()A.3-=2B.2-=2C.3+=2D.2+=2【解析】選B.由tan=1+sincos,得

4、sincos=1+sincos,即sincos=cos+cossin,所以sin(-)=cos=sin2-.因?yàn)?,2,0,2,所以-2,2,2-0,2,所以由sin(-)=sin2-,得-=2-,所以2-=2.【一題多解】此題還可以采用以下方法:選B.tan=1+sincos=1+cos2-sin2-=2cos24-22sin4-2cos4-2=cot4-2=tan2-4-2=tan4+2,所以=k+4+2,kZ.所以2-=2k+2,kZ.當(dāng)k=0時(shí),滿足2-=2.4.(2022·秦皇島一模)ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,asinBcosC+csinBcosA

5、=12b,且a>b,那么B=()A.6B.3C.23D.56【解析】選A.因?yàn)閍sinBcosC+csinBcosA=12b,所以,由正弦定理得,sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB,即sin(A+C)=12,又a>b,所以A+C=56,B=6.二、填空題(每題5分,共10分)5.(2022·全國(guó)卷)是第四象限角,且sin+4=35,那么tan-4=_.【解析】方法一:因?yàn)槭堑谒南笙藿?所以-2+2k<<2k,kZ,那么-4+2k<+4<2k+4,kZ,而sin+4=35,所以cos+4=45.又sin=sin+4-4=

6、sin+4cos4-cos+4sin4,那么sin=-210,cos=7210.所以tan=sincos=-17,所以tan-4=tan-11+tan=-17-11+-17=-43.答案:-43方法二:由題意,sin+4=35,cos+4=45,所以sincos4+cossin4=35,coscos4-sinsin4=45,解得sin=-152,cos=752,所以tan=-17,tan-4=tan-tan41+tantan4=-17-11-17×1=-43.答案:-43【加固訓(xùn)練】(2022·三亞一模)設(shè)為銳角,假設(shè)cos+6=35,那么sin(-12)=_.【解題導(dǎo)引】

7、利用-12=+6-4,并結(jié)合三角變換公式求解.【解析】由于為銳角,那么0<<2,那么6<+6<23,因此sin+6>0,所以sin+6=1-cos2+6=1-352=45,所以sin-12=sin+6-4=sin+6·cos4-cos+6sin4=45×22-35×22=210.答案:2106.(2022·銀川一模)如圖，港口A在港口O正東的120海里處，小島B在港口O的北偏東60°的方向上，且在港口A的北偏西30°的方向上.一艘科學(xué)考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30°的OD方向以20海里/小時(shí)的

8、速度駛離港口O.一艘給養(yǎng)快艇從港口A沿AB方向以60海里/小時(shí)的速度駛向小島B，在B島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后以相同的航速送往科學(xué)考察船.兩船同時(shí)出發(fā)，補(bǔ)給物資裝船時(shí)間為1小時(shí).給養(yǎng)快艇駛離港口A后，能和科學(xué)考察船相遇的最少時(shí)間為_小時(shí).【解析】由題意知，在OAB中，OA=120，AOB=30°，OAB=60°，所以AB=60，而快艇的速度為60海里/小時(shí)，所以快艇從港口A到小島B的航行時(shí)間為1小時(shí).為使航行的時(shí)間最少，快艇從小島B駛離后必須按直線方向航行.如圖，設(shè)快艇駛離小島B后t小時(shí)恰與科學(xué)考察船在C處相遇，在OAB中，計(jì)算可得OB=603.在OCB中，BC=60t，OC=20(

9、2+t)，BOC=30°，由余弦定理得BC2=OB2+OC2- 2OB·OC·cosBOC，即(60t)2=(603)2+20(2+t)2-2×603×20(2+t)×32，即8t2+5t-13=0，解得t=1或t=-138(舍去).故t+2=3，即給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過3小時(shí)能和科學(xué)考察船相遇.答案：3三、解答題(7題12分,8題13分,共25分)7.(2022·唐山一模)在如下圖的四邊形ABCD中，BAD=90°，BCD=120°，BAC=60°，AC=2，記ABC=.(1)求用含的

10、代數(shù)式表示DC.(2)求BCD面積S的最小值.【解析】(1)在ADC中，ADC=360°-90°-120°-=150°-，由正弦定理可得DCsinDAC=ACsinADC，即DCsin30°=2sin(150°-)，于是：DC=1sin(150°-).(2)在ABC中，由正弦定理得ACsin=BCsin60°，即BC=3sin，由(1)知：DC=1sin(150°-)，那么S=34sin·sin(150°-)=32sincos+23sin2=33+2sin(2-60°)，故=

11、75°時(shí)，S取得最小值6-33.【加固訓(xùn)練】(2022·西安一模)ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.a=3,cosA=63,B=A+2.(1)求b的值.(2)求ABC的面積.【解析】(1)在ABC中,由題意知,sinA=1-cos2A=33,又因?yàn)锽=A+2,所以sinB=sinA+2=cosA=63.由正弦定理,得b=asinBsinA=3×6333=32.(2)由B=A+2,得cosB=cosA+2=-sinA=-33.由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=33

12、×-33+63×63=13.因此ABC的面積S=12absinC=12×3×32×13=322.8.(2022·太原二模)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，acos2C2+ccos2A2=32b.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列.(2)假設(shè)B=3，S=43，求b.【解析】(1)由正弦定理得：sinAcos2C2+sinCcos2A2=32sinB，所以sinA+sinAcosC2+sinC+sinCcosA2=32sinB，所以12sinA+12sinC+12sin(A+C)=32sinB，所以sinA+sin

13、C=2sinB，所以a+c=2b，所以a，b，c成等差數(shù)列.(2)因?yàn)镾=12acsinB=34ac=43，所以ac=16.又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，由(1)得：a+c=2b，所以b2=4b2-48，所以b2=16，即b=4.(30分鐘55分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,假設(shè)c=1,B=45°,cosA=35,那么b等于()A.53B.107C.57D.5214【解析】選C.因?yàn)閏osA=35,所以sinA=1-cos2A=1-352=45,所以sinC=sin-(A+B)=s

14、in(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=45cos45°+35sin45°=7210.由正弦定理bsinB=csinC,得b=17210×sin45°=57.2.函數(shù)f(x)=4sinx3+6,f(3+)=165,f3+52=-2013,其中,0,2,那么sin(+)的值為()A.1365B.1565C.4865D.5665【解析】選D.由f(3+)=165,得4sin13(3+)+6=165,即4sin+2=165,所以cos=45,又0,2,所以sin=35.由f3+52=-2013,得4sin133+52+6=-2013,即sin(+)

15、=-513,所以sin=513.又0,2,所以cos=1213.所以sin(+)=sincos+cossin=35×1213+45×513=5665.3.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.假設(shè)c2=(a-b)2+6,C=3,那么ABC的面積是()A.3B.932C.332D.33【解析】選C.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.因?yàn)镃=3,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,所以SABC=12absinC=12×6×32=332.4.化簡(jiǎn)cos40°cos25°1-sin40

16、76;=()A.1B.3C.2D.2【解析】選C.原式=cos220°-sin220°cos25°sin220°-2sin20°cos20°+cos220°=cos220°-sin220°cos25°(cos20°-sin20°)=2sin65°cos25°=2cos25°cos25°=2.二、填空題(每題5分,共10分)5.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.A=6,a=1,b=3,B<2,那么B=_.【解題導(dǎo)引】

17、先由正弦定理求出sinB,再求角B.關(guān)鍵在于對(duì)解的個(gè)數(shù)的判斷.【解析】由正弦定理,得asinA=bsinB.把A=6,a=1,b=3代入,解得sinB=32.因?yàn)閎>a,所以B>A,結(jié)合題意可知B=3或23.又因?yàn)锽<2,所以B=3.答案:36.在ABC中,BC=2,A=23,那么AB·AC的最小值為_.【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos232AB·AC+AB·AC=3AB·AC,AB·AC43.所以AB·AC=AB·AC·cos23-23,(AB

18、·AC)min=-23,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取得.答案:-23三、解答題(7題12分,8題13分,共25分)7.在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosB+bcos(B+C)=0.(1)證明：ABC為等腰三角形.(2)假設(shè)2(b2+c2-a2)=bc，求sinB+sinC的值.【解析】(1)因?yàn)閍cosB+bcos(B+C)=0，所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcos(-A)=0，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0，所以A-B=k，kZ，因?yàn)锳，B是ABC的兩內(nèi)角，所以A-B=0，即A=B，所以ABC是等腰三角形.(2

19、)由2(b2+c2-a2)=bc，得b2+c2-a22bc=14，由余弦定理得cosA=14，cosC=cos(-2A)=-cos2A=1-2cos2A=78，因?yàn)锳=B，所以cosB=cosA=14，所以sinC=1-782=158.所以sinB=1-142=154.sinB+sinC=154+158=3158.8.向量m=(3sinx,-1),n=(cosx,cos2x),函數(shù)f(x)=m·n+12.(1)假設(shè)x0,4,f(x)=33,求cos2x的值.(2)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足2bcosA2c-3a,求f(B)的取值范圍.【解析】(1)f(x)

20、=m·n+12=3sinxcosx-cos2x+12=32sin2x-12cos2x-12+12=sin2x-6.因?yàn)閤0,4,所以-62x-63.又因?yàn)閒(x)=sin2x-6=33>0,所以cos2x-6=63.所以cos2x=cos2x-6+6=cos2x-6×32-12sin2x-6=63×32-12×33=22-36.(2)由2bcosA2c-3a,得2b·b2+c2-a22bc2c-3a,即a2+c2-b23ac.所以cosB=a2+c2-b22ac32,所以0<B6,從而得-6<2B-66,故f(B)=sin2B

21、-6-12,12.1.(2022·衡水一模)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足2acosC-(2b-c)=0.(1)求角A.(2)假設(shè)sinC=2sinB,且a=3,求邊b,c.【解析】(1)在ABC中,由題意可得2acosC=2b-c,結(jié)合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB-sinC,所以2sinAcosC=2sin(A+C)-sinC,所以2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC,所以2cosAsinC=sinC,即cosA=12,所以A=60°.(2)因?yàn)閟inC=2sinB,所以c=2b,因?yàn)閍=3,所以3=b2+c2-2bc·12,所以3=b2+4b2-2b2,所以b=1,c=2.2.(2022·衡陽(yáng)三模)