北京交通大學(xué)20102011第一學(xué)期概率論期中試題答案

1、北 京 交 通 大 學(xué)2010-2011學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（B）期中考試試卷（A）學(xué)院_ 專業(yè)_ 班級(jí)_學(xué)號(hào)_ 姓名_題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分得分閱卷人請(qǐng)注意：本卷共十三大題，如有不對(duì)，請(qǐng)與監(jiān)考老師調(diào)換試卷！一.（滿分6分）已知，求。解： 由概率加法公式 由概率乘法公式 -2分 -4分二. （滿分8分）甲乙二人輪流擲一骰子,每輪擲一次,誰先擲得6點(diǎn)誰得勝,從甲開始擲,問甲、乙得勝的概率各為多少?解 以表示事件“第次投擲時(shí)投擲者才得6點(diǎn)”.事件發(fā)生,表示在前次甲或乙均未得6點(diǎn),而在第次投擲甲或乙得6點(diǎn).因各次投擲相互獨(dú)立,故有 因甲為首擲,故甲擲奇數(shù)輪次,從而甲勝的概率為

2、-4分同樣,乙勝的概率為 -4分三. （滿分12分）(1)已知隨機(jī)變量的概率密度為求的分布函數(shù). (2)已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為另外有隨機(jī)變量試求的分布律和分布函數(shù).解 (1)由于 當(dāng)時(shí),分布函數(shù) 當(dāng)時(shí),分布函數(shù) 故所求分布函數(shù)為 5分 (2) 分布律為 -1 1 4分 分布函數(shù)為 3分四(滿分10分) 投擲一硬幣直至正面出現(xiàn)為止,引入隨機(jī)變量 投擲總次數(shù). (1)求和的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.(2)求條件概率解 (1)的可能值是0,1,的可能值是 (因必定首次得正面,故 若, (因首次得正面是不可能的,故 (因必須首次得正面,故 當(dāng) (因必定首次得反面,故 綜上,得的分布律及邊緣分布律如下:

3、 1 2 3 4 0 0 1 0 0 0 1 6分(2) 4分五(滿分10分) 一等邊三角形(如下圖)的邊長為1,在三角形內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)(意指隨機(jī)點(diǎn)在三角形內(nèi)均勻分布). (1) 寫出隨機(jī)變量的概率密度. (2) 求點(diǎn)的底邊的距離的分布密度.解 (1)因三角形的面積為,故的概率密度為 3分（2）點(diǎn)到底邊的距離就是,因而求到的距離的分布函數(shù),就是求關(guān)于的邊緣分布函數(shù),現(xiàn)在 從而 4分的分布函數(shù)為 3分六（滿分8分）設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 (1) 求邊緣概率密度(2) 求條件概率密度解 (1)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 故邊緣概率密度分別是 4分 (2)條件概率密度:當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 4分七（滿分8分）設(shè)有隨機(jī)變

4、量和，它們都僅取，兩個(gè)值已知 (1)求和的聯(lián)合分布密度. (2)求的方程至少有一個(gè)實(shí)根的概率. (3)求的方程至少有一個(gè)實(shí)根的概率. 解 (1) 的聯(lián)合分布密度為 -1 1 -1 1/6 2/6 4分 1 2/6 1/6 (2) 方程當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)至少有一實(shí)根,因而所求的概率為 2分 (3) 方程當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)至少有一實(shí)根,因而所求的概率為 2分八（滿分6分）某圖書館一天的讀者人數(shù),任一讀者借書的概率為,各讀者借書與否相互獨(dú)立.記一天讀者借書的人數(shù)為,求與的聯(lián)合分布律.解 讀者借書人數(shù)的可能值為 =九（滿分8分）將一顆骰子擲兩次,考慮事件“第一次擲得點(diǎn)數(shù)2或5”,“兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7”，求并問事件是否相互獨(dú)立.解 將骰子擲一次共有6種等可能結(jié)果,故設(shè)以表示第次擲出骰子的點(diǎn)數(shù),則因?qū)Ⅶ蛔訑S兩次共有36個(gè)樣本點(diǎn),其中有共5種情況,這5種情況分別含有1,2,3,4,5個(gè)樣本點(diǎn),故 -4分以記兩次投擲的結(jié)果,則共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)這7個(gè)樣本點(diǎn).故 今有 按定義相互獨(dú)立. -4分十(滿分10分) 產(chǎn)品的某種性能指標(biāo)的測(cè)量值X是隨機(jī)變量,設(shè)X的概率密度為 測(cè)量誤差YU(),X,Y相互獨(dú)立,求Z=X+Y的概率密度,并驗(yàn)證 解 (1)Y的概率密度為 故Z=X+Y的概率密度為 2分僅當(dāng)即時(shí)上述積分的 x x=z+O y x=z+圖4