勾股定理拔高講義

1、勾股定理 拔高訓(xùn)練1.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結(jié)CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,試判斷的形狀。2.如圖，和都是等邊三角形，試說(shuō)明：3.在等腰直角三角形中，AB=AC，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF。（1）說(shuō)明：（2）若BE=12,CF=5，試求的面積。4.為了美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)用草地鋪設(shè)一個(gè)等腰三角形，使它的面積為30平方米且有一邊長(zhǎng)為10米，求另外兩條邊。勾股定理提高訓(xùn)練（一）1、在RtABC中,若直角邊的長(zhǎng)分別為1cm，2cm ，則斜邊長(zhǎng)為_(kāi)2、已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、2，則另

2、一條邊長(zhǎng)是_3在一個(gè)直角三角形中，若斜邊長(zhǎng)為5cm，直角邊的長(zhǎng)為3cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)為( ). A4cm B4cm或 C D不存在4、在直角三角形ABC中，斜邊AB=1，則AB的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則它斜邊上的高為_(kāi)6、如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 BA6cm3cm1cm第10題圖第9題ABCDE第7題第6題圖7、如圖，在ABC中，ABAC13，BC10，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是_.8、把一

3、根長(zhǎng)為10的鐵絲彎成一個(gè)直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是92，那么還要準(zhǔn)備一根長(zhǎng)為_(kāi)的鐵絲才能把三角形做好9如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4、8的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C 點(diǎn)與 A點(diǎn)重合，則EB的長(zhǎng)是（ ）A3B4 C D5 10、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞3圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm勾股定理提高訓(xùn)練（二）1、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D302、下列各組數(shù)

4、據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（ ）A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，93、滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三個(gè)內(nèi)角比為121 B.三邊之比為12 C.三邊之比為2 D. 三個(gè)內(nèi)角比為1234、已知三角形兩邊長(zhǎng)為2和6，要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（ ）A. B. C. D.以上都不對(duì)5、 五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ）A B C D6、ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 7、已知ABC的三邊長(zhǎng)滿足，則為 三角形.8、將直角三角

5、形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是 ( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不是直角三角形9、在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，則BC邊上的高為AD= .10、下列命題中是假命題的是( )AABC中,若B=CA,則ABC是直角三角形.BABC中,若a2=(b+c)(bc),則ABC是直角三角形.CABC中,若ABC=345則ABC是直角三角形.DABC中,若abc=543則ABC是直角三角形.11如圖，已知四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.第11題圖12、如圖，AB為一棵大樹(shù)，在樹(shù)上距地面1

6、0m的D處有兩只猴子，它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹(shù)頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹(shù)高AB.BACD.第12題圖B CA D13、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABAC，B45, AD1，BC4，求DC的長(zhǎng)15、如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車(chē)站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與該校 A及車(chē)站D的距離相等，求商店與車(chē)站之間的距離16如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知

7、DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？17、如圖所示，在四邊形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求AB的長(zhǎng).第17題圖ADEBC中考試題精選（2012廣州市）在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是（ ） A. B. C. D. (2012巴中市)已知a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng),且滿足關(guān)系+|a-b|=0,則ABC的形狀為_(kāi)（2013巴中）若直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 （2013黔西南州）一直角三角形的兩邊長(zhǎng)

8、分別為3和4.則第三邊的長(zhǎng)為（）A、5 B、 C、 D、5或（2013柳州）在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于D，則BD的長(zhǎng)為（）A B C D (2012南充市) 如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24cm2，則AC長(zhǎng)是_cm.（2013湘西州）如圖，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的長(zhǎng)；（2）求ADB的面積 （2013達(dá)州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點(diǎn)落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB、BC上（含端點(diǎn)），且AB=6，BC=10。設(shè)AE

9、=x，則x 的取值范圍是.（2013資陽(yáng)）如圖1，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是 （ ） ABCD80（2013鞍山）如圖，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是 圖1 （2013鄂州）如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MNa且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB=（）A 6 B 8 C 10 D 12(2013山東濱州)在ABC中，C=90，A

10、B=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為_(kāi)（2013鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高小明說(shuō)：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒(méi)有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說(shuō)：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說(shuō)：“沒(méi)問(wèn)題！讓我們來(lái)量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，A=30，B=45，（A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線上）問(wèn)：（1）樓高多少米？（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41，2.24） （2013襄陽(yáng)）在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與

11、斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是6或2考點(diǎn)：圖形的剪拼；勾股定理3801346分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，此題要分兩種情況，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出斜邊的長(zhǎng)解答：如圖所示：連接CD，CD=，D為AB中點(diǎn)，AB=2CD=2；， 如圖所示：連接EF，EF=3，E為AB中點(diǎn)，AB=2EF=6，故答案為：6或2點(diǎn)評(píng)：此題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫(huà)出圖形，在解題時(shí)要注意分兩種情況畫(huà)圖，不要漏解（2013莆田）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是

12、直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是10 分析：根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積解答：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10故答案是：10點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積（2013 東營(yíng)）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長(zhǎng)為1m，在容器內(nèi)壁離容

13、器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.3 m（容器厚度忽略不計(jì)）. （2014湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工為了使山的另一側(cè)的開(kāi)挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線L，過(guò)點(diǎn)B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過(guò)），與L相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點(diǎn)多遠(yuǎn)的C處開(kāi)挖？（1.414，精確到1米）考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用分析：首先證明BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800

14、米進(jìn)行計(jì)算即可解答：CDAC，ACD=90，ABD=135，DBC=45，D=45，CB=CD，在RtDCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400566（米），答：直線L上距離D點(diǎn)566米的C處開(kāi)挖點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用（2014湖南張家界）如圖，在RtABC中，ACB=60，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)若BD=2，則AC的長(zhǎng)是（）A 4B 4 C 8D 8 考點(diǎn)：線段垂直平分線的性

15、質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：求出ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：如圖，在RtABC中，ACB=60，A=30DE垂直平分斜邊AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=6030=30，BD=2，CD=AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD中，由勾股定理得：CB=2，在ABC中，由勾股定理得：AC=4，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中（201

16、4十堰）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，則DE的長(zhǎng)為（）A 2BC2D考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得GAD=GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得CGD=2GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得ACD=CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解解答：ADBC，DEBC，DEAD，CAD=ACB點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=

17、2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在RtCED中，DE=2故選：C點(diǎn)評(píng)：綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=3（2014山東棗莊）圖所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 （3+3） cm 考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題；截一個(gè)幾何體分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖的幾何體表面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果解答：如圖所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=C

18、D=3cm，在RtACE中，AE=3cm，從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm故答案為：（3+3）點(diǎn)評(píng)：考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，本題就是把圖的幾何體表面展開(kāi)成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題（2014山東濰坊）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_尺考點(diǎn)：平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題；勾股定理的應(yīng)用分析：這種立體圖形求

19、最短路徑問(wèn)題，可以展開(kāi)成為平面內(nèi)的問(wèn)題解決，展開(kāi)后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個(gè)直角三角形求斜邊的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理可求出解答：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長(zhǎng)20尺，另一條直角邊長(zhǎng)53=15（尺），因此葛藤長(zhǎng)=25（尺）故答案為：25點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解（2014四川涼山州）已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為 5或 考點(diǎn)：勾股定理專題：分類(lèi)討論分析：已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒(méi)有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：3是直角邊，4是斜邊；3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩

20、種情況下，第三邊的長(zhǎng)解答：長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：=；長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：=5；故第三邊的長(zhǎng)為：5或點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類(lèi)討論，以免漏解（2014四川涼山州）如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有乙滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外幣A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為 20 cm 考點(diǎn)：平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題分析：將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長(zhǎng)

21、度即為所求解答：如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，則AB即為最短距離，AB=20（cm）故答案為：20點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力 11（2014甘肅白銀）等腰ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是 cm考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)分析：利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長(zhǎng)度解答：如圖，AD是BC邊上的高線AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=CD=6cm，在直角AB

22、D中，由勾股定理得到：AD=（8cm）故答案是：8點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形(2014年廣西欽州)如圖，在6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形及其部分對(duì)角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A點(diǎn)到B點(diǎn)只能沿圖中的線段走，那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有（）A 1種B 2種C 3種D4種 考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用專題：計(jì)算題分析：如圖所示，找出從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法即可解答：根據(jù)題意得出最短路程如圖所示，最短路程長(zhǎng)為+1=2+1，則從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短距離的走法共有3種，故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵（2

23、014樂(lè)山）如圖，ABC的頂點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BDAC于點(diǎn)D則CD的長(zhǎng)為（）A B C D 考點(diǎn)：勾股定理；三角形的面積.分析：利用勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后由面積法求得BD的長(zhǎng)度；最后在直角BCD中，利用勾股定理來(lái)求CD的長(zhǎng)度解答：如圖，由勾股定理得 AC=BC2=ACBD，即22=BDBD=在直角BCD中，由勾股定理知，CD=故選：C點(diǎn)評(píng)：考查了勾股定理，三角形的面積利用面積法求得線段BD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵（2014無(wú)錫）如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)若AD=6，DE=5，則CD的長(zhǎng)等于8 考點(diǎn)：勾股定理；直角三角形斜邊上的中線分析：由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可解答：如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得CD=8故答案是：8點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn)