勾股定理拔高講義

1、勾股定理 拔高訓練1.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結(jié)CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,試判斷的形狀。2.如圖，和都是等邊三角形，試說明：3.在等腰直角三角形中，AB=AC，點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且DEDF。（1）說明：（2）若BE=12,CF=5，試求的面積。4.為了美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)用草地鋪設(shè)一個等腰三角形，使它的面積為30平方米且有一邊長為10米，求另外兩條邊。勾股定理提高訓練（一）1、在RtABC中,若直角邊的長分別為1cm，2cm ，則斜邊長為_2、已知直角三角形的兩邊長為3、2，則另

2、一條邊長是_3在一個直角三角形中，若斜邊長為5cm，直角邊的長為3cm，則另一條直角邊的長為( ). A4cm B4cm或 C D不存在4、在直角三角形ABC中，斜邊AB=1，則AB的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為_6、如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 BA6cm3cm1cm第10題圖第9題ABCDE第7題第6題圖7、如圖，在ABC中，ABAC13，BC10，D是AB的中點，過點D作DEAC于點E，則DE的長是_.8、把一

3、根長為10的鐵絲彎成一個直角三角形的兩條直角邊，如果要使三角形的面積是92，那么還要準備一根長為_的鐵絲才能把三角形做好9如圖，將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊，使C 點與 A點重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 10、如圖，長方體的底面邊長分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要_cm；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞3圈到達點B，那么所用細線最短需要_cm勾股定理提高訓練（二）1、如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D302、下列各組數(shù)

4、據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（ ）A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，93、滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三個內(nèi)角比為121 B.三邊之比為12 C.三邊之比為2 D. 三個內(nèi)角比為1234、已知三角形兩邊長為2和6，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（ ）A. B. C. D.以上都不對5、 五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（ ）A B C D6、ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 7、已知ABC的三邊長滿足，則為 三角形.8、將直角三角

5、形的三邊擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是 ( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不是直角三角形9、在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，則BC邊上的高為AD= .10、下列命題中是假命題的是( )AABC中,若B=CA,則ABC是直角三角形.BABC中,若a2=(b+c)(bc),則ABC是直角三角形.CABC中,若ABC=345則ABC是直角三角形.DABC中,若abc=543則ABC是直角三角形.11如圖，已知四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.第11題圖12、如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面1

6、0m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高AB.BACD.第12題圖B CA D13、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABAC，B45, AD1，BC4，求DC的長15、如圖，某學校（A點）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個小商店（C點），使之與該校 A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離16如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知

7、DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？17、如圖所示，在四邊形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，求AB的長.第17題圖ADEBC中考試題精選（2012廣州市）在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（ ） A. B. C. D. (2012巴中市)已知a、b、c是ABC的三邊長,且滿足關(guān)系+|a-b|=0,則ABC的形狀為_（2013巴中）若直角三角形的兩直角邊長為a、b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長為 （2013黔西南州）一直角三角形的兩邊長

8、分別為3和4.則第三邊的長為（）A、5 B、 C、 D、5或（2013柳州）在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于D，則BD的長為（）A B C D (2012南充市) 如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24cm2，則AC長是_cm.（2013湘西州）如圖，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的長；（2）求ADB的面積 （2013達州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使B點落在AD上一點E處，折痕的兩端點分別在AB、BC上（含端點），且AB=6，BC=10。設(shè)AE

9、=x，則x 的取值范圍是.（2013資陽）如圖1，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是 （ ） ABCD80（2013鞍山）如圖，D是ABC內(nèi)一點，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是 圖1 （2013鄂州）如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點A到直線a的距離為2，點B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MNa且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（）A 6 B 8 C 10 D 12(2013山東濱州)在ABC中，C=90，A

10、B=7，BC=5，則邊AC的長為_（2013鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說：“有本事，你不用數(shù)也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點，測量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，A=30，B=45，（A、C、D、B四點在同一直線上）問：（1）樓高多少米？（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：1.73，1.41，2.24） （2013襄陽）在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點與

11、斜邊中點的連線剪去兩個三角形，得到如圖所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長是6或2考點：圖形的剪拼；勾股定理3801346分析：先根據(jù)題意畫出圖形，此題要分兩種情況，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出斜邊的長解答：如圖所示：連接CD，CD=，D為AB中點，AB=2CD=2；， 如圖所示：連接EF，EF=3，E為AB中點，AB=2EF=6，故答案為：6或2點評：此題考查了圖形的剪拼，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，在解題時要注意分兩種情況畫圖，不要漏解（2013莆田）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是

12、直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是10 分析：根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積解答：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10故答案是：10點評：本題考查了勾股定理的應用能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積（2013 東營）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容

13、器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.3 m（容器厚度忽略不計）. （2014湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設(shè)想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量ABD=135，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（1.414，精確到1米）考點：勾股定理的應用分析：首先證明BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800

14、米進行計算即可解答：CDAC，ACD=90，ABD=135，DBC=45，D=45，CB=CD，在RtDCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400566（米），答：直線L上距離D點566米的C處開挖點評：此題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用（2014湖南張家界）如圖，在RtABC中，ACB=60，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點若BD=2，則AC的長是（）A 4B 4 C 8D 8 考點：線段垂直平分線的性

15、質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：求出ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：如圖，在RtABC中，ACB=60，A=30DE垂直平分斜邊AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=6030=30，BD=2，CD=AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD中，由勾股定理得：CB=2，在ABC中，由勾股定理得：AC=4，故選：B點評：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，難度適中（201

16、4十堰）如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，則DE的長為（）A 2BC2D考點：勾股定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得GAD=GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得CGD=2GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得ACD=CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解解答：ADBC，DEBC，DEAD，CAD=ACB點G為AF的中點，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=

17、2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在RtCED中，DE=2故選：C點評：綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=3（2014山東棗莊）圖所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為 （3+3） cm 考點：平面展開-最短路徑問題；截一個幾何體分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果解答：如圖所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=C

18、D=3cm，在RtACE中，AE=3cm，從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3+3）cm故答案為：（3+3）點評：考查了平面展開-最短路徑問題，本題就是把圖的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題（2014山東濰坊）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？，題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處則問題中葛藤的最短長度是_尺考點：平面展開最短路徑問題；勾股定理的應用分析：這種立體圖形求

19、最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出解答：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長20尺，另一條直角邊長53=15（尺），因此葛藤長=25（尺）故答案為：25點評：本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解（2014四川涼山州）已知一個直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為 5或 考點：勾股定理專題：分類討論分析：已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：3是直角邊，4是斜邊；3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩

20、種情況下，第三邊的長解答：長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：第三邊的長為：=；長為3、4的邊都是直角邊時：第三邊的長為：=5；故第三邊的長為：5或點評：此題主要考查的是勾股定理的應用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解（2014四川涼山州）如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有乙滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外幣A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為 20 cm 考點：平面展開最短路徑問題分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長

21、度即為所求解答：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB=20（cm）故答案為：20點評：本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力 11（2014甘肅白銀）等腰ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是 cm考點：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)分析：利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到BD=BC=6cm，然后在直角ABD中，利用勾股定理求得高線AD的長度解答：如圖，AD是BC邊上的高線AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=CD=6cm，在直角AB

22、D中，由勾股定理得到：AD=（8cm）故答案是：8點評：本題主要考查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形(2014年廣西欽州)如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構(gòu)成的圖形中，如圖從A點到B點只能沿圖中的線段走，那么從A點到B點的最短距離的走法共有（）A 1種B 2種C 3種D4種 考點：勾股定理的應用專題：計算題分析：如圖所示，找出從A點到B點的最短距離的走法即可解答：根據(jù)題意得出最短路程如圖所示，最短路程長為+1=2+1，則從A點到B點的最短距離的走法共有3種，故選C點評：此題考查了勾股定理的應用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵（2

23、014樂山）如圖，ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BDAC于點D則CD的長為（）A B C D 考點：勾股定理；三角形的面積.分析：利用勾股定理求得相關(guān)線段的長度，然后由面積法求得BD的長度；最后在直角BCD中，利用勾股定理來求CD的長度解答：如圖，由勾股定理得 AC=BC2=ACBD，即22=BDBD=在直角BCD中，由勾股定理知，CD=故選：C點評：考查了勾股定理，三角形的面積利用面積法求得線段BD的長度是解題的關(guān)鍵（2014無錫）如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點若AD=6，DE=5，則CD的長等于8 考點：勾股定理；直角三角形斜邊上的中線分析：由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可解答：如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點，DE=5，DE=AC=5，AC=10在直角ACD中，ADC=90，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得CD=8故答案是：8點評：本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長度是解題的難點