全等三角形知識(shí)點(diǎn)梳理

1、第十二章全等三角形2018.9 楊1全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)邊相等。2全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)角相等。證明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成邊邊邊或SSS 1.如圖，ABAD，CBCD，求證：(1)ABCADC；(2)BD.證明：(1)連接AC，在ABC與ADC中， ABCADC(SSS)(2)ABCADC，BD. 2.已知在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,求證AD/BC A D 做輔助線，連接AC，利用SSS證明全等， 得到DAC=ACB ，從而證明平行B C

2、三角形全等的判定(2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”)兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 1.如圖，將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三點(diǎn)共線，ABCB，EBDB，ABCEBD90)，連接AE，CD，試確定AE與CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：結(jié)論：AECD，AECD.F證明：延長(zhǎng)AE交CD于F，在ABE與CBD中 ， ABECBD(SAS)，AECD，EABDCB，DCBCDB90，EABCDB90，AFD90，AECD.2.在ABC和CDE中，CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90，AE與BD交與點(diǎn)F（1）求證

3、：ACEBCD（2）求證：AEBD1,利用SAS證明全等，AC=BC DC=EC BCD=ACE2，全等得到角相等 CAE=DCBCAB+EAB+ABC=90DCBEAB+ABC=90三角形全等的判定(3)兩角和它們的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱角邊角或ASA兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱角角邊或AAS求證：三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線或中線延長(zhǎng)線的距離相等如圖，AD為ABC的中線，且CFAD于點(diǎn)F，BEAD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BECF.證法1：AD為ABC的中線，BDCD.BEAD，CFAD，BEDCFD90.在BED與CFD中BEDCFD(AA

4、S)，BECF.證法2：SABDADBE，SACDADCF，且SABDSACD(等底同高的兩個(gè)三角形面積相等)，ADBEADCF，BECF.三角形全等的判定(4)斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)稱“斜邊、直角邊”或“HL”如圖，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩點(diǎn)，且DEAC于點(diǎn)E，BFAC于點(diǎn)F，若ABCD，AECF，BD交AC于點(diǎn)M. 求證：BMDM，MEMF.證明：AECF，AEEFCFEFAFCE.在RtABF與RtCDE中RtABFRtCDE(HL)，BFDE.DEAC，BFAC，DEMBFM90.在BFM與DEM中BFMDEM(AAS)，BMDM，MEMF.角的平分線的

5、性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等文字命題的證明方法：a.明確命題中的已知和求證；b.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；c.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程 方法總結(jié)：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的另一途徑（2）在已知角平分線的條件下，也可想到翻折構(gòu)造全等的方法角平分線的性質(zhì)是證線段相等的常用方法之一，角平分線的性質(zhì)與判定通常是交叉使用，作角的平分線或過(guò)角的平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線段是常用的輔助線1.在ABC中，AD是ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是AB，AC上一點(diǎn)，并且有EDFEAF180.試判斷DE和DF的大小關(guān)系并說(shuō)明理由解

6、：結(jié)論：DEDF.證明：過(guò)點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，作DHAC于點(diǎn)C，AD是ABC的角平分線，DGDH.DGADHA90，GDHBAC180，EDFEAF180，GDHEDF，GDHEDHEDFEDH，GDEFDH.在DGE與DHF中，DGEDHF(ASA)，DEDF2.如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BEAD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且BECF.2求證：AD是ABC的中線利用AAS證明全等BDE=F BDE=CDF BE=CF 利用全等證明垂直此類題目中必有垂直，利用垂直角度和是90，再根據(jù)全等轉(zhuǎn)換一個(gè)角，達(dá)到另外的兩個(gè)角度和是90，得到第三個(gè)角是90，

7、進(jìn)一步證明線的垂直關(guān)系。1. 將兩塊全等的直角三角形如圖1擺放，其中DCE=ACB=90D=A.(1)求證:ABDE;(2)將圖中的ADCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得到圖2,AB.CD交于點(diǎn)N,DE,BC交于M.求證:CM=CN第一問(wèn)中延長(zhǎng)AB交DE于F，已經(jīng)知道全等，知道垂直，就可以將 D+E=90轉(zhuǎn)化為A+E=90得到AFE=90 進(jìn)而證明了垂直第二問(wèn)中，利用ASA證明相等旋轉(zhuǎn)角度是45MCD=DCA=45A=D CD=CA得到CMDCNA(ASA)從而證明CM=CN2.如圖，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC=BC,CD=CE,M,N分別為AE,BD的中點(diǎn)(1)判斷CM與CN的位置

8、關(guān)系和數(shù)量關(guān)系:(2)若CDE繞C旋轉(zhuǎn)任意角度，其他條件不變，則(1)的結(jié)論是否仍成立?試證明， 幾何證明中常見的“添輔助線”方法一. 連結(jié):構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D.1.連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形2.連結(jié)BD構(gòu)造兩個(gè)等腰三角形 2:如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求證:點(diǎn)M是CD的中點(diǎn).連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形3:如圖,AB=AC,BD=CD, M、N分別是BD、CD的中點(diǎn)，求證：AMB ANC連結(jié)AD構(gòu)造全等三角形二. 角平分線上點(diǎn)向兩邊作垂線段:構(gòu)造直角三角形,得到距離相等1:如圖,ABC中, C =90o,BC=10,B

9、D=6, AD平分BAC,求點(diǎn)D到AB的距離.過(guò)點(diǎn)D作DEAB構(gòu)造全等的直角三角形且距離相等2:如圖,ABC中, C =90o,AC=BC,AD平分BAC,求證:AB=AC+DC過(guò)點(diǎn)D作DEAB構(gòu)造了全等的直角三角形且距離相等3:如圖,梯形中, A= D =90o,BE、CE均是角平分線,求證:BC=AB+CD.過(guò)點(diǎn)E作EFBC構(gòu)造全等的直角三角形且距離相等三. 垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等ABC中,ABAC ，A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過(guò)D作DE AB于E，作DFAC于F。求證：BE=CF連接DB,DC垂直平分線上點(diǎn)向兩端連線段四. 倍長(zhǎng)中線：中線延

10、長(zhǎng)一倍構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等AD是ABC的中線，求證 延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE.如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)(1)求證：ABAC2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍五. 截長(zhǎng)補(bǔ)短 1.已知在ABC中，C=2B, 1=2求證:AB=AC+CD在AB上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接DE在AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F使得CF=CD，連接DF2.如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E交AD于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)C。求證：AD+BC=AB在AB上取點(diǎn)F使得AF=AD,連接EF3.如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF60.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之