關(guān)于奈維斯托克斯方程的分析

1、合 肥 學(xué) 院Hefei University 系別： 化學(xué)與材料工程系 專業(yè)： 化學(xué)工程與工藝 班級： 姓名： 學(xué)號： 關(guān)于奈維-斯托克斯方程的分析牛頓第二定律在不可壓縮粘性流動(dòng)中的表達(dá)式。簡稱N-S方程。此方程是法國力學(xué)家、工程師C.-L.-M.-H.奈維于1821年創(chuàng)立，經(jīng)英國物理學(xué)家G.G.斯托克斯于1845年改進(jìn)而確定的。這些方程建立了流體的粒子動(dòng)量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及重力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，奈維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動(dòng)態(tài)平衡。直角坐標(biāo)系下： x分量

2、y分量 z分量 將以上三式寫成向量形式，為 上式稱為牛頓型流體的運(yùn)動(dòng)方程，或奈維斯托克斯方程。該方程對穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)、可壓縮或不可壓縮流體、理想或?qū)嶋H流體均適用。但需指出，本構(gòu)方程是針對牛頓型流體而言的，故該方程僅適用于牛頓型流體。 對于不可壓縮流體，=常數(shù)，此時(shí)無論是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)還是非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，連續(xù)性方程為 將上式帶入奈維斯托克斯方程有：x分量 y分量 z分量 寫成向量形式，為 式中為流體的運(yùn)動(dòng)粘度，或稱動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)。（1） 可解性 原則上講，奈維-斯托克斯方程是可以用數(shù)學(xué)方法求解的。但事實(shí)上，到目前為止，還無法將奈維-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程組的非線性以及邊界條件的復(fù)雜性，只有

3、針對某些特定的簡單情況才可能求得其解析解。奈維-斯托克斯方程描述的是任一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。原則上講，方程既適用于層流，也適用于湍流。但實(shí)際上只能直接用于層流，而不能直接求解湍流問題。這是由于在湍流中流體質(zhì)點(diǎn)呈高頻隨機(jī)脈動(dòng)，因此各物理量亦高頻脈動(dòng)，而無法追蹤這些極為錯(cuò)綜復(fù)雜的流體質(zhì)點(diǎn)和旋渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（二）初始條件與邊界條件 對于具體的流體問題，在求解運(yùn)動(dòng)方程時(shí)給一定的初始及邊界條件。初始條件指時(shí)，在所考慮的問題中給出下述條件：邊界條件的形式很多，下面僅列出3種最常見的邊界條件：1、 靜止固面：在靜止固面上，由于流體具有黏性，u=0。2、 運(yùn)動(dòng)固面：在運(yùn)動(dòng)固面上，流體應(yīng)滿足u流=u固。3、

4、 自由表面：自由表面指一個(gè)流動(dòng)的液體暴露于空氣中的部分界面。在自由表面上應(yīng)滿足 上式表明，在自由表面上法向應(yīng)力分量在數(shù)值上等于氣體的壓力，而剪應(yīng)力分量等于零。（3） 關(guān)于重力項(xiàng)的處理由第一章關(guān)于流體靜力學(xué)的討論可知，對于不可壓縮流體有 式中為流體的靜壓力。將以上3式帶入不可壓縮流體的奈維-斯托克斯方程式，可得 （1）令 （2） 式中為流體的動(dòng)力壓力，簡稱動(dòng)壓力，它是流體流動(dòng)所需的壓力。將（2）帶入（1），可得 寫成向量形式為 （3）式中（2）（3）是以動(dòng)壓力梯度表示的運(yùn)動(dòng)方程,式中不出現(xiàn)重力項(xiàng)。從物理意義上講，如果從流體流動(dòng)的壓力中減去靜壓力則得動(dòng)壓力，而后者僅與流體的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。引入動(dòng)壓力

5、可以是方程中不出現(xiàn)重力項(xiàng)，從而使方程的求解變得更容易。但是這并不意味著重力在任何情況下都不對速度u發(fā)生影響，因?yàn)樵谇蠼鈱?shí)際問題時(shí)除了方程之外還必須考慮邊界條件。在此必須區(qū)別兩種情況：（1）如果邊界條件中只包含速度而不包含壓力，則引入變換式后，對邊界條件而不發(fā)生任何影響，此時(shí)重力同樣不出現(xiàn)在邊界條件中。由此可以確信，在這種情形下中理想的存在除對壓力發(fā)生作用產(chǎn)生靜壓力外，不再對其他物理量包括速度u產(chǎn)生任何效應(yīng)。（2）如果邊界條件中出現(xiàn)壓力，則引入公式后，原來不包含g的邊界條件中將出現(xiàn)g，重力通過邊界條件又重新出現(xiàn)了，它仍將對速度起作用。通過上述討論可知，只有在所述問題的邊界條件中僅含速度時(shí)，采用以

6、動(dòng)壓力梯度表示的運(yùn)動(dòng)方程求戒才是有效的。通常封閉通道中的流體流動(dòng)問題可采用此方程求解，而有自由表面的流動(dòng)情況用此式是不適宜的。最后應(yīng)指出，以動(dòng)壓力梯度表示的運(yùn)動(dòng)方程式僅適用于不可壓縮流體。（4） 奈維-斯托克斯方程簡化 對平壁間流動(dòng),假設(shè)流體為不可壓縮流體,且所考察的部位遠(yuǎn)離流道的進(jìn)出口，流體僅沿x方向穩(wěn)態(tài)流動(dòng),奈-維方程可以簡化:對不可壓縮流體僅沿x 方向上的穩(wěn)態(tài)流,連續(xù)性方程可以簡化：于是 在x方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對z方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對y方向的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 由y方向的奈維-斯托克斯建華方程有：對上式求導(dǎo)： 于是可以得出： 這是一個(gè)二階線性常微分方程，它滿足以下邊界條件：解微分方程同時(shí)利用邊界條件得出流體流速分布關(guān)系在平壁中心處，流體的速度達(dá)到最大，于是有：速度分布于最大速度的關(guān)系為： 平均速度為：于是有： 于是沿x方向的壓力梯度為：由上式