關于奈維斯托克斯方程的分析

1、合 肥 學 院Hefei University 系別： 化學與材料工程系 專業(yè)： 化學工程與工藝 班級： 姓名： 學號： 關于奈維-斯托克斯方程的分析牛頓第二定律在不可壓縮粘性流動中的表達式。簡稱N-S方程。此方程是法國力學家、工程師C.-L.-M.-H.奈維于1821年創(chuàng)立，經(jīng)英國物理學家G.G.斯托克斯于1845年改進而確定的。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及重力之間的關系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，奈維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。直角坐標系下： x分量

2、y分量 z分量 將以上三式寫成向量形式，為 上式稱為牛頓型流體的運動方程，或奈維斯托克斯方程。該方程對穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動、可壓縮或不可壓縮流體、理想或?qū)嶋H流體均適用。但需指出，本構方程是針對牛頓型流體而言的，故該方程僅適用于牛頓型流體。 對于不可壓縮流體，=常數(shù)，此時無論是穩(wěn)態(tài)流動還是非穩(wěn)態(tài)流動，連續(xù)性方程為 將上式帶入奈維斯托克斯方程有：x分量 y分量 z分量 寫成向量形式，為 式中為流體的運動粘度，或稱動量擴散系數(shù)。（1） 可解性 原則上講，奈維-斯托克斯方程是可以用數(shù)學方法求解的。但事實上，到目前為止，還無法將奈維-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程組的非線性以及邊界條件的復雜性，只有

3、針對某些特定的簡單情況才可能求得其解析解。奈維-斯托克斯方程描述的是任一瞬時流體質(zhì)點的運動規(guī)律。原則上講，方程既適用于層流，也適用于湍流。但實際上只能直接用于層流，而不能直接求解湍流問題。這是由于在湍流中流體質(zhì)點呈高頻隨機脈動，因此各物理量亦高頻脈動，而無法追蹤這些極為錯綜復雜的流體質(zhì)點和旋渦的運動規(guī)律。（二）初始條件與邊界條件 對于具體的流體問題，在求解運動方程時給一定的初始及邊界條件。初始條件指時，在所考慮的問題中給出下述條件：邊界條件的形式很多，下面僅列出3種最常見的邊界條件：1、 靜止固面：在靜止固面上，由于流體具有黏性，u=0。2、 運動固面：在運動固面上，流體應滿足u流=u固。3、

4、 自由表面：自由表面指一個流動的液體暴露于空氣中的部分界面。在自由表面上應滿足 上式表明，在自由表面上法向應力分量在數(shù)值上等于氣體的壓力，而剪應力分量等于零。（3） 關于重力項的處理由第一章關于流體靜力學的討論可知，對于不可壓縮流體有 式中為流體的靜壓力。將以上3式帶入不可壓縮流體的奈維-斯托克斯方程式，可得 （1）令 （2） 式中為流體的動力壓力，簡稱動壓力，它是流體流動所需的壓力。將（2）帶入（1），可得 寫成向量形式為 （3）式中（2）（3）是以動壓力梯度表示的運動方程,式中不出現(xiàn)重力項。從物理意義上講，如果從流體流動的壓力中減去靜壓力則得動壓力，而后者僅與流體的運動速度有關。引入動壓力

5、可以是方程中不出現(xiàn)重力項，從而使方程的求解變得更容易。但是這并不意味著重力在任何情況下都不對速度u發(fā)生影響，因為在求解實際問題時除了方程之外還必須考慮邊界條件。在此必須區(qū)別兩種情況：（1）如果邊界條件中只包含速度而不包含壓力，則引入變換式后，對邊界條件而不發(fā)生任何影響，此時重力同樣不出現(xiàn)在邊界條件中。由此可以確信，在這種情形下中理想的存在除對壓力發(fā)生作用產(chǎn)生靜壓力外，不再對其他物理量包括速度u產(chǎn)生任何效應。（2）如果邊界條件中出現(xiàn)壓力，則引入公式后，原來不包含g的邊界條件中將出現(xiàn)g，重力通過邊界條件又重新出現(xiàn)了，它仍將對速度起作用。通過上述討論可知，只有在所述問題的邊界條件中僅含速度時，采用以

6、動壓力梯度表示的運動方程求戒才是有效的。通常封閉通道中的流體流動問題可采用此方程求解，而有自由表面的流動情況用此式是不適宜的。最后應指出，以動壓力梯度表示的運動方程式僅適用于不可壓縮流體。（4） 奈維-斯托克斯方程簡化 對平壁間流動,假設流體為不可壓縮流體,且所考察的部位遠離流道的進出口，流體僅沿x方向穩(wěn)態(tài)流動,奈-維方程可以簡化:對不可壓縮流體僅沿x 方向上的穩(wěn)態(tài)流,連續(xù)性方程可以簡化：于是 在x方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對z方向上的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 對y方向的奈維-斯托克斯方程可以簡化為: 由y方向的奈維-斯托克斯建華方程有：對上式求導： 于是可以得出： 這是一個二階線性常微分方程，它滿足以下邊界條件：解微分方程同時利用邊界條件得出流體流速分布關系在平壁中心處，流體的速度達到最大，于是有：速度分布于最大速度的關系為： 平均速度為：于是有： 于是沿x方向的壓力梯度為：由上式