典型例題一階微分方程的解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理例3-1 求方程滿足初始條件的解的逐次逼近，并求出的最大值，其中的意義同解的存在唯一性定理中的。解 函數(shù)在整個(gè)平面上有意義，則在以原點(diǎn)為中心的任一閉矩形區(qū)域上均滿足解的存在唯一性定理的條件，初值問(wèn)題的解在上存在唯一，其中。因?yàn)橹鸫伪平瘮?shù)序列為 ，此時(shí)，所以 ， 。現(xiàn)在求的最大值。因?yàn)?對(duì)任給的正數(shù)，上式中，當(dāng) 時(shí)，取得最大值。此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為。評(píng)注：本題主要考查對(duì)初值問(wèn)題的解的存在唯一定理及其證明過(guò)程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特別地，對(duì)其中的等常數(shù)意義的理解和對(duì)逐次逼近函數(shù)列的構(gòu)造過(guò)程的理解。例3-2 證明下列初值問(wèn)題的解在指定區(qū)間

2、上存在且唯一。1） 。2） 。證 1） 以原點(diǎn)為中心作閉矩形區(qū)域。易驗(yàn)證在區(qū)域上滿足解的存在唯一性定理的條件，求得，則。因此初值問(wèn)題的解在上存在唯一，從而在區(qū)間上方程滿足條件的解存在唯一。2） 以原點(diǎn)為中心作閉矩形區(qū)域。易驗(yàn)證在上滿足解的存在唯一性定理的條件，并求得，則。由于，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)取到最小值，從而可取到最大值，故。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最大值為。即證明了初值問(wèn)題的解在區(qū)間上存在唯一。 從而在區(qū)間上解存在唯一。評(píng)注：此例是應(yīng)用解的存在唯一性定理，求出初值問(wèn)題解存在唯一的區(qū)間。一般解法是先作出適當(dāng)?shù)拈]矩形區(qū)域；然后驗(yàn)證在此區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件；最后求出定理3.1中的。例3-3

3、證明如果在閉矩形域上存在且連續(xù), 則在上關(guān)于滿足利普希茲條件，反之不成立。證 因?yàn)樵陂]矩形域上存在且連續(xù),所以在區(qū)域上有界，即，有成立，利用中值定理，其中是介于之間的點(diǎn)，命題得證。反之不成立。因?yàn)閷?duì)于方程，取以原點(diǎn)為中心的矩形域，在無(wú)導(dǎo)數(shù)，但，故 在上關(guān)于滿足利普希茲條件。評(píng)注：通過(guò)本例的證明顯然可以得到下面結(jié)論：若在某矩形區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)處不存在，且在的鄰域內(nèi)無(wú)界，則 在上關(guān)于不滿足利普希茲條件。例3-4 舉例說(shuō)明定理3.1 中的兩個(gè)條件是保證初值問(wèn)題的解存在唯一的充分條件，而非必要條件。解 1） 當(dāng)連續(xù)條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。如方程，顯然在以原點(diǎn)為中心的矩形域中不連續(xù)，間斷點(diǎn)為直線，但

4、解存在唯一，過(guò)原點(diǎn)的解為，。2） 當(dāng)利普希茲條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。如方程， 由于，無(wú)界，因而在的任何鄰域內(nèi)不滿足利普希茲條件。然而，可見方程通過(guò)解存在唯一。評(píng)注：在應(yīng)用定理3.1時(shí)，一定要注意，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能得出解不存在唯一的結(jié)論。例3-5 利用解的存在唯一性定理，尋找區(qū)域，使得，方程滿足初始條件的解存在唯一。 解 設(shè)，顯然，它在整個(gè)平面上連續(xù)。而，由例3-3，在不包含的區(qū)域內(nèi)，有滿足利普希茲條件。若時(shí)，不存在，但當(dāng)，無(wú)界，即在包含點(diǎn)或的任何區(qū)域中利普希茲條件不成立。故得所求區(qū)域?yàn)?。評(píng)注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區(qū)域，就是尋找連續(xù)和關(guān)于滿足利普希茲條件的區(qū)域。對(duì)于

5、所得到的區(qū)域，都能存在一個(gè)完全包含在內(nèi)的閉矩形區(qū)域，使得在此矩形域中滿足解的存在唯一性定理的條件，從而保證初值問(wèn)題的解存在唯一。例3-6 對(duì)于方程和點(diǎn)能否應(yīng)用定理3.1?解 當(dāng)時(shí)，我們可以考慮方程，其右端函數(shù)滿足定理3.1的條件，即方程通過(guò)點(diǎn)的解存在唯一，此時(shí)解為。 時(shí)，定理3.1不能用。事實(shí)上，由方程的通解表達(dá)式知，方程通過(guò)的解不為一。 評(píng)注：在研究解的存在唯一性時(shí)，也可以將視為的函數(shù)。例3-7 能否用逐次逼近序列求初值問(wèn)題的解。解 不能，因?yàn)橛弥鸫伪平瘮?shù)序列，得，。即收斂于解。但另一方面，通過(guò)方程直接求解得也是方程滿足條件的解，即用逐次逼近函數(shù)序列就不能得到此解。評(píng)注：應(yīng)在保證初值問(wèn)題解

6、存在唯一的情況下，利用逐次逼近序列序列求近似解。例3-8 證明：如果函數(shù)于整個(gè)平面上連續(xù)有界，且關(guān)于滿足局部利普希茲條件，則方程的任一解均可以延拓到區(qū)間。證 易驗(yàn)證滿足延拓定理的推論的條件，則過(guò)平面上任一點(diǎn)的解存在唯一且可延拓，設(shè)過(guò)的解為。因?yàn)橛薪?，即，均有不等式成立，我們考慮下列三個(gè)初值問(wèn)題， ， ，顯然，由第一比較定理，得，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，即對(duì)任何有限區(qū)間，當(dāng)趨于區(qū)間端點(diǎn)時(shí)，都不可能無(wú)界，由延拓定理的推論知，的解可延拓到整個(gè)區(qū)間。又由的任意性，命題得證。評(píng)注：解的延拓定理的條件再加上有界是保證解的存在區(qū)間為的充分條件，而非必要條件，比如柯西問(wèn)題的解為，其存在區(qū)間為，而在面上無(wú)界。例3-9

7、設(shè)在上連續(xù)，求證：對(duì)，只要充分小，初值問(wèn)題 （1）的解必可延拓到。證 因?yàn)樵谏线B續(xù)，則方程的右端函數(shù)在上連續(xù)；且在任意有界閉區(qū)域上都有下式成立 其中表示在中的最大值。這樣就關(guān)于滿足局部利普希茲條件。故初值問(wèn)題（1）的解必存在唯一、且連續(xù)可微，可進(jìn)行延拓。下面將證明對(duì)，當(dāng)充分小時(shí)，初值問(wèn)題（1）的解在區(qū)間上存在。用反證法。若不然，初值問(wèn)題（1）有解，其中取 ，它的右行飽和區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)無(wú)界。這樣，必存在點(diǎn)，使得（或），且（或）。 另一方面，由于，可知在曲線上，解曲線的斜率為零，即有。矛盾。因此，對(duì)，當(dāng)時(shí)，初值問(wèn)題（1）的解在區(qū)間上存在。評(píng)注：在應(yīng)用解的延拓定理時(shí)，注意特殊曲線上積分曲線的性質(zhì)。類

8、似的問(wèn)題有：設(shè)在上連續(xù)，求證：對(duì)，只要充分小，初值問(wèn)題的解必可延拓到。例3-10 試證對(duì)任意，方程 滿足初始條件的解都在上存在。證 函數(shù)在整個(gè)平面上滿足存在唯一性定理的條件，且有。將原方程與下列方程與比較，由比較定理，原方程滿足的解在其存在區(qū)間上滿足 ， 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， 由延拓定理，積分曲線可以無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，故必在上存在。評(píng)注：本例是比較定理的應(yīng)用，也可用例3-8直接得出結(jié)論。例3-11 利用克萊羅（Clairaut）方程構(gòu)造一個(gè)以為奇解的一階方程式，這里假設(shè)，且為的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。解 需要構(gòu)造的一階方程式是克萊羅方程，且應(yīng)滿足此方程的判別曲線方程，因此，我們構(gòu)造判別曲線方程，其中將視為的函數(shù)，現(xiàn)尋求關(guān)于的表達(dá)式。為此，對(duì)式兩端關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，得，整理得，或 =0 （不合題意，舍棄）。由于為的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)