全等三角形輔助線系列之一角平分線類輔助線作法大全

1、全等三角形輔助線系列之一與角平分線有關(guān)的輔助線作法大全一、角平分線類輔助線作法角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有以下四種1、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題；2、截取構(gòu)全等利用對(duì)稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；3、延長(zhǎng)垂線段題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；4、做平行線：以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三

2、角形或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件典型例題精講【例1】 如圖所示，BN平分ABC，P為BN上的一點(diǎn)，并且PDBC于D，求證：【解析】過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)EPEAB，PDBC，BN平分ABC，在RtPBE和RtPBC中，RtPBERtPBC（HL），PEAB，PDBC，在PAE和RtPCD中，PAERtPCD，【答案】見(jiàn)解析【例2】 如圖，已知：，ADBC，P是AB的中點(diǎn)，PD平分ADC，求證：CP平分DCB【解析】因?yàn)橐?/p>

3、知PD平分ADC，所以我們過(guò)P點(diǎn)作PECD，垂足為E，則，由P是AB的中點(diǎn)，得，即CP平分DCB【答案】作PECD，垂足為E，PD平分ADC，又，點(diǎn)P在DCB的平分線上，CP平分DCB【例3】 已知：，OM是AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是_（2）請(qǐng)你證明（1）得出的結(jié)論【解析】（1）（2）過(guò)P分別作PEOB于E，PFOA于F，OM是AOB的平分線，且，在CFP和DEP中，CFPDEP，【答案】見(jiàn)解析【例4】 如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形請(qǐng)你參考這個(gè)作

4、全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）；（2）如圖，在ABC中，請(qǐng)問(wèn)，在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】如圖所示；（1）（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FGAB于G，作FHBC于H，作FKAC于K，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，在四邊形BGFH中，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，在AFC中，在EFG和DFH中，EFGDFH，【答案】見(jiàn)解析【例5】 已知，AC平分MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上（1）如圖

5、1，若，請(qǐng)你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）得到后再可以證得，從而，證得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得CEDCFB后即可得到，從而證得結(jié)論【答案】（1）關(guān)系是：證明：AC平分MAN，又，則（直角三角形一銳角為30，則它所對(duì)直角邊為斜邊一半）；（2）仍成立證明：過(guò)點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、FAC平分MAN（角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等），又，CEDCFB（AAS），由（1）知，【例6】 如圖，在ABC中，AD平分BAC，求證：【解

6、析】在AB上截取點(diǎn)E，使得AD平分BAC，ADEADC（SAS），【答案】見(jiàn)解析【例7】 如圖，中，平分交于點(diǎn)求證：【解析】在上截取點(diǎn)使，連結(jié)平分，在與中， ， ，又，【答案】見(jiàn)解析【例8】 已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【解析】在上截取一點(diǎn)使得，易證，在根據(jù)推出，再證明即可【答案】【例9】 如圖：已知AD為ABC的中線，且，求證：【解析】在DA上截取，連接NE，NF，則，在DBE和DNE中：DBEDNE（SAS），同理可得：在EFN中，（三角形兩邊之和大于第三邊）【答案】見(jiàn)解析【例10】 已知：在四邊形ABCD中，且，BD平分ABC，求證：【解析】在BC上截取

7、，BD平分ABC，在BAD和BED中，BADBED，CDE是等邊三角形，【答案】見(jiàn)解析【例11】 觀察、猜想、探究：在ABC中，（1）如圖，當(dāng)，AD為BAC的角平分線時(shí)，求證：；（2）如圖，當(dāng)，AD為BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；（3）如圖，當(dāng)AD為ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明【解析】（1）過(guò)D作DEAB，交AB于點(diǎn)E，理由角平分線性質(zhì)得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得到，由，利用等量代換及

8、外角性質(zhì)得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到，由，等量代換即可得證；（2），理由為：在AB上截取，如圖2所示，由角平分線定義得到一對(duì)角相等，再由，利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來(lái)同（1）即可得證；（3），理由為：在AF上截取，如圖3所示，同（2）即可得證【答案】（1）過(guò)D作DEAB，交AB于點(diǎn)E，如圖1所示，AD為BAC的平分線，DCAC，DEAB，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），又，則；（2），理由為：在AB上截取，如圖2所示，AD為BAC的平分線，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），又，則；（3），理由為：在AF上截取，如圖3所示，AD為

9、FAC的平分線，在ADG和ADC中，ADGADC（SAS），即，又，則【例12】 如圖所示，在ABC中，AD是BAC的平分線，BEAD于F求證：【解析】延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F則AD為BAC的對(duì)稱軸，BEAD于F，點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱，【答案】見(jiàn)解析【例13】 如圖，已知：ABC中AD垂直于C的平分線于D，DEBC交AB于E求證：【解析】由AD垂直于C的平分線于D，可以想到等腰三角形中的三線合一，于是延長(zhǎng)AD交BC與點(diǎn)F，得D是AF的中點(diǎn)，又因?yàn)镈EBC，由三角形中位線定理得【答案】延長(zhǎng)AD交BC與點(diǎn)F，CD平分ACF，又ADCD，ADCFDC，又DEBC，【例14】 已知：如圖，在ABC中，B

10、EAE求證：【解析】延長(zhǎng)BE交AC于M，BEAE，在ABE中，同理，BEAE，4是BCM的外角，【答案】見(jiàn)解析【例15】 如圖，已知，BD為ABC的平分線，CEBE，求證：【解析】延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FBD為ABC的平分線，CEBE，BEFBEC，CEBE，又，ABDACF，【答案】見(jiàn)解析課后復(fù)習(xí)【作業(yè)1】 如圖所示，在ABC中，BP、CP分別是ABC的外角的平分線，求證：點(diǎn)P在A的平分線上 【解析】過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PGAC于點(diǎn)G，PFBC于點(diǎn)F因?yàn)镻在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以同理可證所以，又PEAB，PGAC，所以P在A的平分線上，【答案】見(jiàn)解析 【作業(yè)2】 已知：如圖，求證：DCAC【解析】在AB上取中點(diǎn)E，連接DE，則，DEAB，又，ADEADC（SAS），即DCAC【答案】見(jiàn)解析【作業(yè)3】 已知等腰，的平分線交于，則【解析】如圖，在上截取，連接，過(guò)作，交于，于是，又，故顯然是等