幾何體與球的體積表面積含答案

1、幾何體與球的體積表面積一選擇題（共20小題）1平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（）AB4C4D62已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）ABC4D3已知三棱錐OABC，A，B，C三點(diǎn)均在球心為O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120°，三棱錐OABC的體積為，則球O的表面積是（）A544B16CD644四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形若AB=2，則球O的表面積為（）A8B12C16D325已知在三棱錐PABC中，VPABC=，

2、APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱錐PABC外接球的體積為（）ABCD6已知正ABC三個頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（）AB2CD37已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（）A4B8C12D168三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A5BC20D49已知A，B，C點(diǎn)在球O的球面上，BAC=90°，AB=AC=2球心O到平面ABC的距離為1，則球O的表面積為（）A12B16C36D20

3、10如圖，是一個空間幾何體的三視圖，則這個幾何體的外接球的表面積是（）A56cm2B77cm2CD11三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）ABC3D1212已知在三棱錐PABC中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積是（）AB3CD213四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形若AB=2，則球O的表面積為（）A4B12C16D3214已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90°，C為該球面上的動

4、點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36B64C144D25615設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A4B8C12D1616一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為（）AB9C4D17已知如圖所示的三棱錐DABC的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，則球O的表面積為（）A4B12C16D3618一個空間四邊形ABCD的四條邊及對角線AC的長

5、均為，二面角DACB的余弦值為，則下列論斷正確的是（）A空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為3B空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為4C空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球上且此球的表面積為D不存在這樣的球使得空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在此球面上19已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，SA面ABC，則球O的表面積為（）A4B12C16D6420棱長都為的四面體的四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A3B4C3D6二填空題（共5小題）21已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則

6、以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為22已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為23如圖，已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于24正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的體積為25設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C若圓C的面積等于，則球O的表面積等于幾何體與球的體積表面積參考答案與試題解析一選擇題（共20小題）1（2012新課標(biāo)）平面截球O的球面所得圓的半徑

7、為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（）AB4C4D6【分析】利用平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積【解答】解：因?yàn)槠矫娼厍騉的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，所以球的半徑為：=所以球的體積為：=4故選B【點(diǎn)評】本題考查球的體積的求法，考查空間想象能力、計算能力2（2010廣東模擬）已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）ABC4D【分析】由AB=BC=CA=2，求得ABC的外接圓半徑為r，再由R2（R）2=，求得球的半徑，再用面積求解【解答】解：因?yàn)锳B=BC=

8、CA=2，所以ABC的外接圓半徑為r=設(shè)球半徑為R，則R2（R）2=，所以R2=S=4R2=故選D【點(diǎn)評】本題主要考查球的球面面積，涉及到截面圓圓心與球心的連線垂直于截面，這是求得相關(guān)量的關(guān)鍵3（2016河南模擬）已知三棱錐OABC，A，B，C三點(diǎn)均在球心為O的球表面上，AB=BC=1，ABC=120°，三棱錐OABC的體積為，則球O的表面積是（）A544B16CD64【分析】求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積【解答】解：三棱錐OABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=

9、1，ABC=120°，AC=，SABC=×1×1×sin120°=，三棱錐OABC的體積為，ABC的外接圓的圓心為G，OGG，外接圓的半徑為：GA=1，SABCOG=，即×OG=，OG=，球的半徑為：=4球的表面積：442=64故選：D【點(diǎn)評】本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力4（2016衡水模擬）四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形若AB=2，則球O的表面積為（）A8B12C16D32【分析】取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球

10、心，求出半徑，即可求出表面積【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心為G，作OGAB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面體ABCD外接球的表面積為：4R2=16故選：C【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵5（2016河南模擬）已知在三棱錐PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱錐PABC外接球的體積為（）ABCD【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換，求出P

11、C，PAAC，PBBC，可得PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑，即可求出三棱錐PABC外接球的體積【解答】解：由題意，設(shè)PC=2x，則PAAC，APC=，APC為等腰直角三角形，PC邊上的高為x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距離為x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SPBC=，VPABC=VAPBC=，x=2，PAAC，PBBC，PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑為2，三棱錐PABC外接球的體積為=故選：D【點(diǎn)評】本題考查三棱錐PABC外接球的體積，考查學(xué)生的計算能力，正確確定球心與球的半徑是關(guān)鍵6（2016南昌三模）已知正ABC三個頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距

12、離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是（）AB2CD3【分析】設(shè)正ABC的中心為O1，連結(jié)O1A根據(jù)球的截面圓性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)與勾股定理，而經(jīng)過點(diǎn)E的球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應(yīng)地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值【解答】解：設(shè)正ABC的中心為O1，連結(jié)O1AO1是正ABC的中心，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，O1O平面ABC，球的半徑R=2，球心O到平面ABC的距離為1，得O1O=1，RtO1OA中，O1A=又E為AB的中點(diǎn)，ABC是等邊三角形，AE=AO1cos30°=過E作球O的截面

13、，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，當(dāng)截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值此時截面圓的半徑r=，可得截面面積為S=r2=故選C【點(diǎn)評】本題已知球的內(nèi)接正三角形與球心的距離，求經(jīng)過正三角形中點(diǎn)的最小截面圓的面積著重考查了勾股定理、球的截面圓性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)等知識，屬于中檔題7（2016湖南二模）已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為（）A4B8C12D16【分析】由已知中三棱錐的三視圖，我們可以求出三棱棱的高，即頂點(diǎn)到底面的距離，及底面外接圓的半徑，進(jìn)而求出三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式，即可求出外接球的表面積【解答】解：由已知中三棱錐的高為1底面為一個直角三角形，

14、由于底面斜邊上的中線長為1，則底面的外接圓半徑為1，頂點(diǎn)在底面上的投影落在底面外接圓的圓心上，由于頂點(diǎn)到底面的距離，與底面外接圓的半徑相等，所以底面直角三角形斜邊中點(diǎn)就是外接球的球心；則三棱錐的外接球半徑R為1，則三棱錐的外接球表面積S=4R2=4故選：A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求表面積，其中根據(jù)三視圖出判斷出三棱錐的幾何特征，進(jìn)而求出其外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵8（2015佳木斯一模）三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A5BC20D4【分析】根據(jù)題意，證出BC平面PAC，PB是三棱錐PABC的外接球直徑利用勾股定理結(jié)

15、合題中數(shù)據(jù)算出PB=，得外接球半徑R=，從而得到所求外接球的表面積【解答】解：PA平面ABC，ACBC，BC平面PAC，PB是三棱錐PABC的外接球直徑；RtPBA中，AB=，PA=PB=，可得外接球半徑R=PB=外接球的表面積S=4R2=5故選A【點(diǎn)評】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題9（2015沈陽校級模擬）已知A，B，C點(diǎn)在球O的球面上，BAC=90°，AB=AC=2球心O到平面ABC的距離為1，則球O的表面積為（）A12B16C36D20【分析】由BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，

16、即為A、B、C三點(diǎn)所在圓的直徑，取BC的中點(diǎn)M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在RtOMB中，OM=1，MB=，則OA可求【解答】解：如圖所示：取BC的中點(diǎn)M，則球面上A、B、C三點(diǎn)所在的圓即為M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在RtOMB中，OM=1，MB=，OA=，即球的半徑為，球O的表面積為12故選：A【點(diǎn)評】本題考查球的有關(guān)計算問題，點(diǎn)到平面的距離，是基礎(chǔ)題10（2015秋樂陵市期中）如圖，是一個空間幾何體的三視圖，則這個幾何體的外接球的表面積是（）A56cm2B77cm2CD【分析】三視圖復(fù)原的幾何體是長方體的一個角，擴(kuò)展為長方體，它的外接球的直徑就是長方

17、體的對角線的長，求出對角線長，即可求出外接球的表面積【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是長方體的一個角，三度為：6、5、4；把它擴(kuò)展為長方體，它的外接球的直徑就是長方體的對角線的長，所以長方體的對角線長為：所以球的半徑為：這個幾何體的外接球的表面積是：4=77（cm2）故選B【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的外接球的問題，空間想象能力，邏輯思維能力，和計算能力，注意本題中三棱錐的外接球與長方體的外接球是同一個球11（2014四川模擬）三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，則球O的表面積為（）ABC3D12【分析】根據(jù)題意，三棱錐SABC擴(kuò)展為正

18、方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點(diǎn)，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐SABC的外接球的表面積【解答】解：三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，三棱錐擴(kuò)展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，球的半徑R=球的表面積為：4R2=4=3故選：C【點(diǎn)評】本題考查三棱錐SABC的外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐SABC的外接球的球心與半徑12（2016大慶一模）已知在三棱錐PABC中，PA=PB=BC=1，AB=，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表

19、面積是（）AB3CD2【分析】求出P到平面ABC的距離為，AC為截面圓的直徑，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（d）2，求出R，即可求出球的表面積【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，PA=PB=1，AB=，PAPB，平面PAB平面ABC，P到平面ABC的距離為由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（d）2，d=0，R2=，球的表面積為4R2=3故選：B【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵13（2016白銀模擬）四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等

20、邊三角形若AB=2，則球O的表面積為（）A4B12C16D32【分析】取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積【解答】解：取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，BE，在四面體ABCD中，AB平面BCD，BCD是邊長為3的等邊三角形RtABCRtABD，ACD是等腰三角形，BCD的中心為G，作OGAB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，R=2四面體ABCD外接球的表面積為：4R2=16故選：C【點(diǎn)評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵14（2015新課標(biāo)II）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90°，

21、C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A36B64C144D256【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐OABC的體積最大，利用三棱錐OABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐OABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VOABC=VCAOB=36，故R=6，則球O的表面積為4R2=144，故選C【點(diǎn)評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐OABC的體積最大是關(guān)鍵15（2015大慶三模）設(shè)三棱柱ABCA1B1C1

22、的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A4B8C12D16【分析】根據(jù)題意，可將棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成長方體，長方體的對角線即為球的直徑，從而可求球的表面積【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，BAC=90°，AA1=2，可將棱柱ABCAA1B1C1補(bǔ)成長方體，長方體的對角線=4，即為球的直徑，球的直徑為4，球的表面積為4×22=16，故選：D【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題16（2015莆田校級模擬）一個三棱錐的三視

23、圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則此三棱錐外接球的表面積為（）AB9C4D【分析】由題意，確定三棱錐的形狀，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r2=（1r）2+（）2，求出r，即可求出三棱錐外接球的表面積【解答】解：由題意，三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，頂點(diǎn)在底面中的射影是底面斜邊的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則r2=（1r）2+（）2，r=，三棱錐外接球的表面積為4=，故選：A【點(diǎn)評】本題考查球和幾何體之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是確定三棱錐外接球的半徑，從而得到外接球的表面積17（2015秋合肥校級期末）已知如圖所示的三棱錐DABC的四個頂點(diǎn)均在球O的球面

24、上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，則球O的表面積為（）A4B12C16D36【分析】證明ACAB，可得ABC的外接圓的半徑為，利用ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（h）2，求出球的半徑，即可求出球O的表面積【解答】解：AB=3，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ACAB，ABC的外接圓的半徑為，ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（h）2，h=1，R=2，球O的表面積為4R2=16故選：C【點(diǎn)評】本題考查球O的表面

25、積，考查學(xué)生的計算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵18（2014吉林二模）一個空間四邊形ABCD的四條邊及對角線AC的長均為，二面角DACB的余弦值為，則下列論斷正確的是（）A空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為3B空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球面上且此球的表面積為4C空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在同一球上且此球的表面積為D不存在這樣的球使得空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)在此球面上【分析】由題意，求出BD的長，然后判斷空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)是否在同一球面上，求出球的表面積即可【解答】解：如圖AC=AB=AD=BC=CD=，cosDEB=，E為AC的中點(diǎn)，EB=ED=，所以

26、BD2=2BE22××BE2BD=ABCD的幾何體為正四面體，有外接球，球的半徑為：球的表面積為：3故選A【點(diǎn)評】本題是基礎(chǔ)題，考查二面角的求法，幾何體的外接球的判斷，以及外接球的表面積的求法，考查邏輯推理能力，計算能力，是好題19（2012洛陽模擬）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，SA面ABC，則球O的表面積為（）A4B12C16D64【分析】由三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60°，知BC=，ABC=90°故ABC截球O所得的圓

27、O的半徑r=1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積【解答】解：如圖，三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60°，BC=，ABC=90°ABC截球O所得的圓O的半徑r=1，球O的半徑R=2，球O的表面積S=4R2=16故選C【點(diǎn)評】本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題時要關(guān)鍵20（2003天津）棱長都為的四面體的四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A3B4C3D6【分析】本題考查的知識點(diǎn)是球的體積和表面積公式，由棱長都為的四面體的四個頂點(diǎn)在同一球面上，可求出內(nèi)接該四面體的正方體棱

28、長為1，又因?yàn)檎襟w的對角線即為球的直徑，即球的半徑R=，代入球的表面積公式，S球=4R2，即可得到答案【解答】解：借助立體幾何的兩個熟知的結(jié)論：（1）一個正方體可以內(nèi)接一個正四面體；（2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個球面上，則正方體的體對角線就是球的直徑則球的半徑R=，球的表面積為3，故答案選A【點(diǎn)評】棱長為a的正方體，內(nèi)接正四面體的棱長為a，外接球直徑等于長方體的對角線長a二填空題（共5小題）21（2013新課標(biāo)）已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為24【分析】先直接利用錐體的體積公式即可求得正四棱錐OABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱錐OABCD的側(cè)棱長OA，最后根據(jù)球的表面積公式計算即得【解答】解：如圖，正四棱錐OABCD的體積V=sh=（×）×OH=，OH=，在直角三角形OAH中，OA=所以表面積為4r2=24；故答案為：24【點(diǎn)評】本題考查錐體的體積、球的表面積計算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題22（2013新課標(biāo)）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為【分析】本