全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文A題79719

1、地下儲(chǔ)油罐的變位分析與罐容表標(biāo)定摘要加油站地下儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因會(huì)發(fā)生縱向傾斜及橫向偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)致與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”受到影響，必須重新標(biāo)定罐容表。本文即針對(duì)儲(chǔ)油罐的變位時(shí)罐容表標(biāo)定的問題建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。首先從簡(jiǎn)單的小橢圓型儲(chǔ)油罐入手，研究變位對(duì)罐容表的影響。在無(wú)變位、縱向變位的情況下分別建立空間直角坐標(biāo)系，在忽略罐壁厚度等細(xì)微影響下，運(yùn)用積分的方法求出儲(chǔ)油量和測(cè)量油位高度的關(guān)系。將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中作圖，經(jīng)計(jì)算得誤差均保持在3.5%以內(nèi)。縱向變位中，要分三種情況來(lái)進(jìn)行求解，然后將三段的結(jié)果綜合在一起與變位前作比較，可以得到變位對(duì)罐容表的

2、影響。通過計(jì)算，具體列表給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步考慮實(shí)際儲(chǔ)油罐，兩端為球冠體頂。把儲(chǔ)油罐分成中間的圓柱體和兩邊的球冠體分別求解。中間的圓柱體求解類似于第一問，要分為三種情況。在計(jì)算球冠內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，將其內(nèi)油面看做垂直于圓柱底面。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到如下幾個(gè)變量之間的關(guān)系：測(cè)量的油位高度 實(shí)際的油位高度 計(jì)算體積所需的高度于是得到罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。再利用附表2中的數(shù)據(jù)列方程組尋找a與b最準(zhǔn)確的取值。一、問題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系

3、統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。題目給出了一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。并給出了罐體縱向傾斜變位的示意圖和罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請(qǐng)用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用給出的小橢

4、圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體）示意圖，分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、問題

5、分析本題是一個(gè)在罐體變位后重新標(biāo)定罐容表的問題，就是需要得出變位后油位高度與油料體積的關(guān)系，然后在油料高度間隔為1cm或10cm的情況下，算出所有高度所對(duì)應(yīng)的體積值，即可得到新的罐容表標(biāo)定值。第一問中共做了兩次實(shí)驗(yàn)，分別為罐體無(wú)變位與縱向變位。對(duì)于無(wú)變位的情況，可以選擇合適的體積微元，在油位高度方向積分即可算出油體積與油位高度的關(guān)系；對(duì)于傾斜角為=4.1的縱向變位，我們采用二重積分的方法，分三種情況進(jìn)行計(jì)算。先在油位高度方向積分得到任意處油截面的面積，再積分得到體積公式。最后利用附件1中的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)公式的準(zhǔn)確度進(jìn)行檢驗(yàn)，并對(duì)比變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系的差別。第二問中，將儲(chǔ)油罐分成三部分進(jìn)行

6、計(jì)算：中間的圓柱體和兩端的球冠體。對(duì)于與的處理問題，對(duì)、已經(jīng)確定的靜態(tài)儲(chǔ)油罐建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何關(guān)系得出測(cè)得的油位高度與實(shí)際油位高度的關(guān)系（含有參數(shù)），實(shí)際油位高度與計(jì)算體積所需的高度、的關(guān)系（含有參數(shù)），并計(jì)算得到儲(chǔ)油量關(guān)于、的表達(dá)式，于是便得到了儲(chǔ)油量與測(cè)量油位高度及變位參數(shù)、的關(guān)系式，代入若干組附表2中的實(shí)際數(shù)據(jù)，即可確定與，之后用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)所建模型的正確性與方法的可行性。三、模型假設(shè)（1）忽略油罐厚度對(duì)油罐容積的影響，認(rèn)為由圖中數(shù)據(jù)得到的容積即為油罐的標(biāo)準(zhǔn)容積；（2）忽略油罐內(nèi)各種管道如進(jìn)出油管道，油位探針?biāo)嫉捏w積；（3）不計(jì)油浮子的厚度、大小等，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的高度即

7、為油罐底部沿探針到油面的距離；（4）假設(shè)油浮子到達(dá)最高處時(shí)便不再加油。四、符號(hào)說明：儲(chǔ)油罐任一位置平行于罐底方向?qū)嶋H油位高度；：?jiǎn)栴}一中建立空間直角坐標(biāo)系后軸方向上油料寬度的一半；：建立空間直角坐標(biāo)系后軸方向上的油料長(zhǎng)度；：建立空間直角坐標(biāo)系后軸方向上的變量；：?jiǎn)栴}一縱向變位第種情況下相應(yīng)某一高度時(shí)的油的體積；：?jiǎn)栴}一中變位后測(cè)得的油料高度；：?jiǎn)栴}一變位時(shí)油料平行于罐底方向的最大高度；：?jiǎn)栴}一變位情況下用任意平行于罐底平面截得的油料面積；：實(shí)際儲(chǔ)油罐球冠內(nèi)儲(chǔ)油量；：實(shí)際儲(chǔ)油罐中間圓柱部?jī)?chǔ)油量；：附表2中編號(hào)為的流水號(hào)所對(duì)應(yīng)的出油量。五、模型的建立與求解5.1小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位情況首先以一側(cè)罐

8、底中心為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中下部陰影部分為油料：xYZ圖1 無(wú)變位情況下建立空間直角坐標(biāo)系yXh圖2 截面橢圓示意圖xXZh從側(cè)面觀察得到如下示意圖：根據(jù)題目中的已知數(shù)據(jù)，得到橢圓截面的方程式為：于是有 取從上到下疊加的矩形薄片為體積微元，得到體積微元公式：體積微元在軸方向進(jìn)行積分，得到體積公式： 將該結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)在同一以高度為橫坐標(biāo)，體積為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中作圖，得到如下曲線：圖3 計(jì)算曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比圖從圖像上可以看出，計(jì)算得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)吻合較好，相對(duì)誤差始終很小，實(shí)際數(shù)據(jù)稍小可能是由于探針，進(jìn)出油罐管道等占一定體積及罐壁厚度造成的，為簡(jiǎn)化模型，本文忽略

9、這部分影響。縱向變位以橢圓罐底中心為原點(diǎn)，軸，軸平行于罐底，軸平行于油罐側(cè)壁方向建立空間直角坐標(biāo)系：圖4 縱向變位情況下建立空間直角坐標(biāo)系ZXYH油位探針h0由圖4可知：接下來(lái)分三種情況進(jìn)行討論，通過二重積分即可求得油料體積。第一種情況：當(dāng)（單位：mm ）時(shí)，只有一端罐底接觸油面，如圖5：圖5 第一種情況ZXYH油位探針h0先在軸方向上定積分，得到任意位置油料截面面積：再將視為變量，在軸方向上定積分：其中，代入后解得：第二種情況：當(dāng) （單位：mm）時(shí)，兩端罐底都接觸油面，如圖6：圖6 第二種情況ZXYH油位探針h0代入得：第三種情況：當(dāng)，其中 （單位：mm）時(shí)，一端罐底已經(jīng)完全被油浸沒，如圖7

10、：圖7 第三種情況ZXYH0油位探針h0且，其中，代入上式解得：將上述三種情況得到的方程式分區(qū)間畫在同一坐標(biāo)系中，并與實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)做對(duì)比，得到如下關(guān)系圖（圖8）：圖8 變位后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系圖從圖8可以看出，計(jì)算得到的公式基本符合實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)。通過代入數(shù)據(jù)，誤差保持在3%以內(nèi)。因此，在標(biāo)定罐容表時(shí)，我們以得到的公式為基礎(chǔ)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得。將變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系圖畫在同一坐標(biāo)系中，得到圖9：變位前變位后圖9 變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系曲線對(duì)比 結(jié)合公式以及圖9可以看出罐體變位對(duì)罐容表產(chǎn)生如下影響：變位后在油位液面到達(dá)探針之前，測(cè)量高度始終為0，剛好接觸油浮子時(shí)，將數(shù)據(jù)代入公式可

11、計(jì)算得此時(shí)儲(chǔ)油量約為1.75L；在變位后的第一階段內(nèi)，曲線斜率小于變位前，這個(gè)階段內(nèi)儲(chǔ)油量變化較慢；第二階段內(nèi)，曲線增長(zhǎng)趨勢(shì)與變位前基本一致，即上升相同的高度，儲(chǔ)油量增加值基本相等，但由于第一階段儲(chǔ)油量較少，這是儲(chǔ)油量比變位前小220L左右；第三階段曲線變化率逐漸降低，當(dāng)油浮子的高度為1200mm時(shí)，油罐還沒有裝滿，此時(shí)的儲(chǔ)油量比變位前少約100L。根據(jù)假設(shè)，為使油位高度與儲(chǔ)油量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，此時(shí)不再加油，認(rèn)為該值即為儲(chǔ)油最大值。從0到1200mm每間隔10mm取一數(shù)值代入公式得到如下罐容表的標(biāo)定值：表1 縱向變位后的罐容表標(biāo)定值油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)油位

12、高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)01.754310628.8476201883.559303188.83103.6066320664.2626301926.949403227.36206.33542330700.1886401970.359503265.493010.0434340736.6036502013.89603303.214014.8218350773.4856602057.259703340.515020.7535360810.8146702100.719803377.356027.9142370848.5716802144.159903413.737036.3

13、738380886.7356902187.5610003449.628046.1975390925.2897002230.9410103484.999057.4464400964.2157102274.2710203519.831007057202317.5410303554.1111084.44544201043.117302360.7310403587.81120100.3014301083.057402403.8410503620.88130117.7924401123.37502446.8410603653.32140136.9664501163.837602

14、489.7410703685.08150157.274601204.647702532.5110803716.13160179.4944701245.717802575.1410903746.44170203.1564801287.037902617.6211003775.96180228.0064901328.588002659.9411103804.66190253.9375001370.348102702.0811203832.49200280.8675101412.318202744.0311303859.39210308.7325201454.468302785.7811403885

15、.3220337.4755301496.798402827.3111503910.19230367.0465401539.298502868.611603934.01240397.4025501581.938602909.6511703957.74250428.5015601624.718702950.4411803958.07260460.3085701667.628802990.9511903978.33270492.7885801710.638903031.1712003996.88280525.9115901753.759003071.09290559.6466001796.95910

16、3110.68300593.9676101840.229203149.935.2實(shí)際儲(chǔ)油罐變位分析我們將儲(chǔ)油罐分成三段來(lái)考慮，兩端為球缺，中間為圓柱體。中間部分采用類似第一題的積分方法求解。對(duì)于兩端的球冠體，若直接積分，結(jié)果將十分復(fù)雜，為方便計(jì)算，同時(shí)使誤差盡量小，本文把球冠內(nèi)油液面看做與軸平行。對(duì)于縱向與橫向都已經(jīng)變化好的靜態(tài)儲(chǔ)油罐來(lái)說，我們以中間圓柱體一側(cè)底面圓心為原點(diǎn)，平行于罐體的軸為軸，平行于油面的軸為軸建立空間直角坐標(biāo)系。 水平線油位探針油油浮子圖10 儲(chǔ)油罐縱向變位示意圖h0H19090ZYH2O根據(jù)圖10可以得到以下關(guān)系式：用垂直于軸的平面去截油罐得到圖11所示的儲(chǔ)油罐的橫向變位

17、截面示意圖，圖中兩個(gè)油液面是指將橫向變位前后的截面圖畫在一個(gè)圖中，并使油位探針方向相同，以方便計(jì)算，此時(shí)前后液面形成夾角：橫向變位后油液面橫向變位前油液面h0h圖11 儲(chǔ)油罐橫向變位示意圖油位探針為測(cè)量值，實(shí)際油位高度，根據(jù)圖像可得如下關(guān)系式：綜合上面幾個(gè)式子，可得、與的關(guān)系式：球冠體內(nèi)儲(chǔ)油量的計(jì)算XY1.625m1mxO根據(jù)已知數(shù)據(jù)容易解得球冠所在球的半徑為1.625m，球過球心的截面圖如下，以圓心為原點(diǎn)，平行于空間坐標(biāo)系軸的軸為軸，建立新的平面直角坐標(biāo)系，陰影部分為儲(chǔ)油部分：圖12 球冠還原為球后截面圖該圓的方程為：表示圓上一點(diǎn)到軸距離，所以：以平行于空間坐標(biāo)系Y軸的平面去截球冠，得到如下

18、所示截面圖：x0.625m圖13 球冠體截面圖可以得知：所以球冠內(nèi)油料截面面積為：當(dāng)球冠內(nèi)油位高度為時(shí)，球冠內(nèi)儲(chǔ)油量為：在計(jì)算兩端球冠內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)，分別用、代替即可求出結(jié)果。5.2.2中間圓柱體內(nèi)儲(chǔ)油量的計(jì)算計(jì)算方法與第一問中類似，用垂直于軸的平面去截得到如下截面示意圖：XZh圖14 圓柱部截面示意圖截面圓的方程為：于是得到：又有：即：于是該截面面積：由于有轉(zhuǎn)折點(diǎn)，又要分三種情況討論，分別求解。當(dāng)（單位：m）時(shí)當(dāng)（單位：m）時(shí)當(dāng)（單位：m）時(shí)其中為圓柱體的總體積用Matlab積分得到的結(jié)果過于冗長(zhǎng)，不便于寫在正文中，具體結(jié)果見附錄。5.2.3參數(shù)，的確定由于第二種情況的可能性最大，數(shù)據(jù)最多，所以

19、在求解參數(shù)與時(shí)，利用附表2中顯示油高值在中間部分的值進(jìn)行計(jì)算。由于顯示的油量容積是利用沒有變位情況下的公式計(jì)算得到的，不是真實(shí)值，故不能加以利用。附表2給出了出油量與顯示油高的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，我們用差值計(jì)算，即利用累計(jì)出油量與油高的變化值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解a、b。取流水號(hào)分別為323、337、351的三組數(shù)據(jù)，令：于是得到如下方程組：用Matlab7.0求解該方程組，得到一組解a=1.6，b=0于是便得到了變位后儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式，間隔10cm取值代入得到如下罐容表標(biāo)定值：表2 變位后實(shí)際儲(chǔ)油罐罐容表標(biāo)定值油位讀數(shù)(m)罐容量(L)油位讀數(shù)(m)罐容量(L)0.0 25.67711.6 33580

20、.30.1 331.11141.7 36401.20.2 1123.381.8 39199.90.3 2352.81.9 41960.70.4 3883.32.0 44667.70.5 5656.842.1 47304.20.6 7634.742.2 49853.20.7 9787.132.3 52296.50.8 12089.12.4 54614.50.9 14518.72.5 56785.71.0 17056.32.6 58785.41.1 19683.52.7 60584.71.2 223832.8 62146.21.3 25138.32.9 63414.91.4 27933.43.0 63856.41.5 30752.5將得到的關(guān)系曲線六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)本題主要運(yùn)用微積分的方法與立體幾何的相關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求出罐內(nèi)油料體積與測(cè)量油位高度之間的關(guān)系式，并利用附表中的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)以及求解參數(shù)，結(jié)果表明得到的公式精確度足夠高，可以應(yīng)用于實(shí)際