全等三角形判定

1、11.2三角形全等的判定（1） 三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS）。例1. 如圖所示，ABCD，ACDB。求證：ABCDCB。分析：由已知可得ABCD，ACDB，又因?yàn)锽C是兩個(gè)三角形的公共邊，所以根據(jù)SSS可得出ABCDCB。證明：在ABC和DCB中，ABCDCB（SSS）評析：證明格式：點(diǎn)明要證明的兩個(gè)三角形；列舉兩個(gè)三角形全等的條件（注意寫在前面的三角形，條件也放在前面），用大括號括起來；條件按照“SSS”順序排序；得出結(jié)論，并把判斷的依據(jù)注在后面。（2） 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，

2、簡寫成“角邊角”或“ASA”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中， ABCDEF（ASA）。例2. 如圖所示，ABCD，AFDE，BECF，求證：ABCD。分析：要證明ABCD，由于AB、CD分別是ABF和DCE的邊，可嘗試證明ABFDCE，由已知易證：BC，AFBDEC，下面只需證明有一邊對應(yīng)相等即可。事實(shí)上，由BECF可證得BFCE，由ASA即可證明兩三角形全等。證明：ABCD，BC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又AFDE，AFCDEB（同上）AFBCED（等角的補(bǔ)角相等）又BECF，BEEFCFEF，即BFCE在ABF和DCE中，ABFDCE（ASA）ABCD（全等三角形對應(yīng)邊相等）（3

3、） 兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（AAS）。例3. 如圖所示，RtABC中，ACB90°，ACBC，ADCD于D，BFCD于F，AB交CD于E，求證：ADBFDF。分析：要證ADBFDF，觀察圖形可得CFCDDF，只需證明CFAD，CDBF即可，也就是要證明CFBADC。由已知BCAC，CFBADC90°，只要再證明有一個(gè)銳角對應(yīng)相等即可，由BFCD，ACB90°，易證得CBFACD，問題便得到證明。 證明：ACB90°，BFCDACDBCD90

4、76;，CBFBCD90°CBFACD（同角的余角相等）又ADCD，CFBADC90°在CFB和ADC中，（已知）CFBADC（AAS）CFAD，BFCD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又CFCDDFADBFDF 評析：由條件ACBC和垂直關(guān)系可得，AC、BC為兩個(gè)直角三角形的斜邊，還需要一對角相等即可用AAS證三角形全等；由條件可用余角性質(zhì)轉(zhuǎn)換角度證明角相等。（4） 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。表示方法：如圖所示，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。例4. 已知：如圖所示，ABDE，BDEF，BECF。求證：ACDF。分析：欲

5、證ACDF，可通過證明ACBF，由平行線的判定定理即可得證。而ACB與F分別是ABC和DEF的內(nèi)角，所以應(yīng)先證明ABCDEF。由BECF易得BCEF，再結(jié)合已知條件ABDE，BDEF即可達(dá)到目的。證明：BECF，BEECCFEC，即BCEF。在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）。ACBF。ACDF。評析：通過證明兩個(gè)三角形全等可以提供角相等、線段相等，進(jìn)而解決其它問題。這里大括號中的條件按照“SAS”順序排列（5）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。表示方法：如圖所示，在RtABC和RtDEF中，ABDE， BCEF，RtABCRtDEF（HL

6、）。注意：三角形全等的判定方法中有一個(gè)必要條件是：有一組對應(yīng)邊相等。兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的情況，可以畫圖實(shí)驗(yàn)，如下圖，在ABC和ABD中，ABAB，ACAD，BB，顯然它們不全等。三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如兩個(gè)大小一樣的等邊三角形。 例5. 如圖所示，RtABC中，C90°，AC10cm，BC5cm，一條線段PQAB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動。問點(diǎn)P運(yùn)動到AC上什么位置時(shí)，ABC才能和PQA全等？分析：要使ABC與PQA全等，由于CPAQ90°，PQAB，則只需APCB或APCA，由HL即可知道它們?nèi)?，從而容易確定P

7、點(diǎn)的位置。解：由題意可知，CPAQ90°，又ABPQ，要使ABCPQA，則只需APCB或APCA即可，從而當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至AP5cm，即AC中點(diǎn)時(shí)，ABCQPA；或點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，即APCA10cm時(shí)，ABCPQA。評析：要證某兩個(gè)三角形全等，但缺少條件，要求把缺少的條件探索出來。解決這類題要從結(jié)論出發(fā)，借助相關(guān)的幾何知識，探討出使結(jié)論成立所需的條件，從而使問題得以解決。本題中涉及到分類討論的思想，要求同學(xué)們分析思考問題要全面，把各種情況都考慮到。例6. 如圖，ABC和EBD都是等腰直角三角形，A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)CD、AE，并延長AE交CD于F。（1） 求證：ABECBD

8、。 （2）直線AE與CD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論。 分析：根據(jù)已知條件易得ABBC，BEBD，ABCCBD90°正好是ABE和CBD全等的條件。對于AE與CD垂直關(guān)系的證明需要推證出CFA90°。證明：（1）ABC和EBD都是等腰直角三角形，ABCB，BEBD，ABCCBD90°ABECBD（SSA）（2）AECD，在ABE和CEF中，EABECF，AEBCEF，且ABE90°，ECFCEFEABAEBECFCEF180°（EABAEB）即AFCABE90°AECD。評析：利用已知，結(jié)合圖形探索三角形全等的條件，逐步分析解決問題，把

9、握解題思路。拓展提高1.(07北京中考)我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形（1）請寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，若，請你寫出圖中一個(gè)與相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對邊四邊形；（3）在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論1. 解： （1）平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可. （2）與A相等的角是BOD（或COE） 四邊形DBCE是等對邊四邊形. （3）此時(shí)存在等對邊四邊形DBCE. 證明1

10、：如圖，作CGBE于G點(diǎn)，作BFCD交CD的延長線于F點(diǎn). DCB=EBC=A，BC為公共邊 BGCCFB BF=CG BDF=ABC+DCB=ABE+EBC+DCB=ABE+A GEC=ABE+A BDFCEG BD=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形。 證明2：如圖，在BE上取一點(diǎn)F，使得BF=CD，連接CF. 易證BCDCBF，故BD=CF，F(xiàn)CB=DBC. CFE=FCB+CBF=DBC+CBF=ABE+2CBF=ABE+A CEF=ABE+A CF=CE BF=CE 故四邊形DBCE是等對邊四邊形.2.(09宣武一模)已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中

11、點(diǎn)，M為直線BC上一動點(diǎn)，DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)， DMN也隨之整體移動）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請你連結(jié)EN，并判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？請寫出結(jié)論，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請你判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立,請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由 AEFDBNCM （第23題圖1） （第23題圖2） （第23題圖3）2解：（1）判斷： EN=MF，點(diǎn)

12、F在直線NE上證明：如答圖1,連結(jié)DE、DF、EFABC是等邊三角形， AB=AC=BC又D、E、F是三邊的中點(diǎn)， DE、DF、EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=DFE60°DMN是等邊三角形，MDN60°，DM=DNFDENDF=MDN+NDF， MDF=NDE 在DMF和DNE中，DF=DE，MDF=NDE， DM=DN， （第23題答圖1）DMFDNE MF=NE設(shè)EN與BC交點(diǎn)為P，連結(jié)NF由ABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點(diǎn)可得DBF是等邊三角形，MDN=BDF60°,MDNBDN =BDFBDN，即MDB=NDF.在DMB和D

13、NF中，DM=DN，MDB=NDF，DB=DF，DMBDNF DBM=DFNABC =60°，DBM =120°，NFD =120°. （第23題答圖2）NFD+DFE =120°+60°=180°.N、F、E三點(diǎn)共線，F(xiàn)與P重合，F(xiàn)在直線NE上4分（2）成立。證明：如答圖2，連結(jié)DE、DF、EFABC是等邊三角形，AB=AC=BC又D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，DE，DF，EF為ABC的中位線DE=DF=EF，F(xiàn)DE=60°又MDF+FDN=60°，NDE+FDN=60°，MDF=NDE在DMF和DNE中，D

14、F=DE，MDF=NDE， DM=DN，DMFDNE MF=NE 6分 （3） MF=NE仍成立 7分 （第23題答圖3.(09崇文一模)在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且, ,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是_； 此時(shí)_； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB

15、、CA的延長線上時(shí)，若AN=，則Q=_（用、L表示）3.解：（I）如圖1， BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN 此時(shí) （II）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE ,且又是等邊三角形，在與中：(SAS) DM=DE, 在與中：(SAS) MN=NE=NC+BM 的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM) =(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等邊的周長L=3AB. （III）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長線上時(shí)，若AN=，則Q= 2+ （用、L表示）課堂試題（答題時(shí)間：60分鐘）一. 選擇題1. 下列條件不能判

16、定兩個(gè)三角形全等的是（ ）A. 有兩邊和夾角對應(yīng)相等B. 有三邊分別對應(yīng)相等C. 有兩邊和一角對應(yīng)相等D. 有兩角和一邊對應(yīng)相等2. 下列條件能判定兩個(gè)三角形全等的是（ ）A. 有三個(gè)角相等B. 有一條邊和一個(gè)角相等C. 有一條邊和一個(gè)角相等D. 有一條邊和兩個(gè)角相等3. 如圖所示，已知ABCD，ADBC，那么圖中共有全等三角形（ ）A. 1對B. 2對C. 4對D. 8對4. 如圖所示，已知AD，12，那么要得到ABCDEF，還應(yīng)給出的條件是（ ）A. EBB. EDBC C. ABEFD. AFCD5. 如圖所示，點(diǎn)E在ABC外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于F，若12，EC，AEAC，則

17、 （ ）A. ABCAFEB. AFEADCC. AFEDFCD. ABCADE6. 我們學(xué)過的判定兩個(gè)直角三角形全等的條件，有（ ）A. 5種B. 4種C. 3種D. 2種7. 如圖所示，ABEFCD，ABC90°，ABDC，那么圖中的全等三角形有 （ ）A. 1對B. 2對C. 3對D. 4對8. 如圖，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，且BC6cm，則BD的值（ ）A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm9. 如圖所示，DEAB，DFAC，AEAF，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. BDCDB. DEDF C. BCD. ABAC二. 填空題 10. 如圖所示，AC

18、BD，ACBD，那么_，理由是_. 11. 已知ABCA'B'C'，AB6cm，BC7cm，AC9cm，A'70°，B'80°，則A'B'_，B'C'_，A'C'_C'_，C_. 12. 如圖所示，已知ABAC，在ABD與ACD中，要使ABDACD，還需要再添加一個(gè)條件是_. 13. 如圖所示，已知ABCDEF，AB4cm，BC6cm，AC5cm，CF2cm，A70°，B65°，則D_，F(xiàn)_，DE_，BE_. 14. 如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE

19、、CD相交于點(diǎn)O，AEAD，要使ABEACD，需添加一個(gè)條件是_（只要求寫一個(gè)條件）. 15. 如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，AD，請你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得AOBDOC，你補(bǔ)充的條件是_. 三. 解答題16. 已知：如圖，12，CD，求證：ACAD. 17. 如圖，A、E、B、D在同一直線上，在ABC和DEF中，ABDE，ACDF，ACDF. （1）求證：ABCDEF；（2）你還可以得到的結(jié)論是_（寫出一個(gè)即可，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其它字母） 18. 你一定玩過蹺蹺板吧！如圖是小明和小剛玩蹺蹺板的示意圖，橫板繞它的中點(diǎn)O上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與地面垂直. 當(dāng)一方著地時(shí)，另一方上升到最高點(diǎn)

20、. 問：在上下轉(zhuǎn)動橫板的過程中，兩人上升的最大高度AA'、BB'有何數(shù)量關(guān)系？為什么？ 19. MN、PQ是校園里的兩條互相垂直的小路，小強(qiáng)和小明分別站在距交叉口C等距離的B、E兩處，這時(shí)他們分別從B、E兩點(diǎn)按同一速度沿直線行走，如圖所示，經(jīng)過一段時(shí)間后，同時(shí)到達(dá)A、D兩點(diǎn)，他們的行走路線AB、DE平行嗎？請說明你的理由. 20. 有一塊不規(guī)則的魚池，下面是兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)的能夠粗略地測量出魚池兩端A、B的距離的方案，請你分析一下兩種方案的理由. 方案一：小明想出了這樣一個(gè)方法，如圖所示，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C、D，使CDBC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，測得DE的長就是AB的長. 你能說明一下這是為什么嗎？方案二：小軍想出了這樣一個(gè)方法，如圖所示，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)魚池