矢量分析（課堂PPT）

1、：AA：一個只用大小描述的物理量。：一個只用大小描述的物理量。AAeA：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 ：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAAcoscoscoszyxAeeeezAxAAyA

2、zxyO（1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：()()ABCABCABBA（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A B

3、B A1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCAC)BA(CBCAC)BA()BA(C)AC(B)CB(A C)BA(B

4、)CA()CB(A 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。確定。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系z zx xy y),(111zrPrz1R1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxz

5、zddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddddddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzd

6、ddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr ,r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量 e ,e ,er坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr 位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 xeyezeeezecossin0cossi

7、n0001直角坐標(biāo)與直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinofxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系fxeyeeeoqrz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qqzeeree4. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)

8、量，稱該場為。 ：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為。 ：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為，反之為，反之為。1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 、) t , z , y, x( u) t , z , y, x(F從從看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：、)z ,y,x(u)z , y, x(F靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為

9、：1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度: : 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。C)z,y,x(u ：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。標(biāo)量場的等值面互不相交。 ：: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標(biāo)量場的等值線標(biāo)量場的等值線( (面面) )：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率

10、。00coscoscos|limMluuuuullxyz ： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)。方向有關(guān)。：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zueyuexueuzyx

11、直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 ：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向： ，其中，其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelu標(biāo)量場的梯度是標(biāo)量場的梯度是，它在空間某，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。： u)u(f)u(fuvvu)uv(vu)vu(uC)Cu(C0標(biāo)量場的梯度

12、標(biāo)量場的梯度通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）通過該點(diǎn)的等值面（或切平面） (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為點(diǎn)的梯度為PzyxP)zyx)(zeyexe( 22 zyx),(zyxeee)eyexe( 2222111 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。求：描述了空間標(biāo)量場。求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向的處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的

13、方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ozoyoxlcosecosecosee604560 表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為)eee()eyexe(elzyxzyxl21222122 212 yx而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描

14、述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 對于給定的對于給定的P P 點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為(1,1,1)1221222Pxyl：形象直觀地描述了矢量場的空間分：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。)z , y, x(Fzd)z , y, x(Fyd)z , y, x(Fxdzyx ：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr1.4

15、矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度：如何定量描述矢量場的大??？如何定量描述矢量場的大?。?引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eSnddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF eS穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddn0通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有

16、凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為

17、矢量場的。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F VS)z , y,x(Flim)z , y,x(FSV d0圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)F(sinr)F(sinsinr)Fr(rrFr 11122zFF)F(Fz 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zFyFxFFzyx 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 GF)GF(fFFf)Ff(k(Fk)Fk(fC)fC()C(CC為常量)為常矢量0000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy

18、 zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計算在直角坐標(biāo)系中計算zzxyPF 根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為z

19、FyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSdVSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。 例如：流速場。例如：流速場。 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是

20、所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。分不為零。1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00 上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過

21、曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為，又稱為，又稱為。ClzyxFd),( 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回

22、路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 SCMFnF CSlFSFd1limrot0n稱為矢量場在點(diǎn)稱為矢量場在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的。n：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0 時，極限時，極限n而而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示

23、的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計算計算 的示意圖的示意圖 rotxF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot：矢量場在：矢量場在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)點(diǎn)的環(huán) 流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積流面密度

24、最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時面積 元的法線方向，即元的法線方向，即：旋渦源密度矢量。：旋渦源密度矢量。：maxnnrotFeFFeFnnrotyFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzxzzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zyxzyxFFFzyxeeeFfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(uSCSFlFdd 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁

25、理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點(diǎn)的散度；場在該點(diǎn)的散度；

26、：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場（1）無旋場）無旋場0dClF： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F無旋場無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為可以用標(biāo)量場的梯度表示為例如：靜

27、電場例如：靜電場0EEuF()0Fu （2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即：0dSSF0 F無散場可以表示為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場AB0BAF0)(AF（3）無旋、無散場無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r ()0u Fu 02 u0F 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算2u：

28、2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系uu2)(1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 矢量拉普拉斯運(yùn)算矢量拉普拉斯運(yùn)算2F：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF：對于非直角分量，：對于非直角分量，22()iiFF 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個標(biāo)