全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

1、儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定內(nèi)容摘要生活中的數(shù)學(xué)是豐富多彩的。用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題，既簡(jiǎn)潔又明了。在日常生活中，加油站隨處可見，但其中有些設(shè)備就可以用數(shù)學(xué)知識(shí)來判定、來求證，這給我們的工作人員帶來了巨大的方便，同時(shí)也提高了工作效率。比如：許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形、溫度等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。所以，本文就是通過建立數(shù)學(xué)模型來研究?jī)?chǔ)油罐的變位與罐容表標(biāo)定，希望我們的研究會(huì)給社會(huì)帶來福音。本文內(nèi)容翔實(shí)，是通過查找許多資料、圖片來進(jìn)行研究與學(xué)習(xí)的。可能有許多不足的地方需要改進(jìn)，希望廣大讀

2、者勇于提出，我們會(huì)虛心接受并改進(jìn)的?！娟P(guān)鍵詞】：儲(chǔ)油罐 變位 罐容表 體積形成 計(jì)算 圖標(biāo)一、 問題的提出通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐（圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖），并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線LhhR油位高度圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改

3、變（如圖2）。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定.地平線圖2 儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線 現(xiàn)在的一個(gè)問題是如何確定儲(chǔ)油罐是否變位？這個(gè)問題在加油站的管理中是非常重要的。那如和確定呢？ 一般方法：先導(dǎo)出圓柱體的體積公式v1和球罐的體積公式v2 ,在根據(jù)附件1和附件2中的數(shù)據(jù)求出高度差H，利用儲(chǔ)油罐的體積與高度差的函數(shù)關(guān)系式討論出儲(chǔ)油罐是否變位。變位時(shí)與不變位的關(guān)系用比較分析法，層次分析法，數(shù)據(jù)處理用平均數(shù)法，方差進(jìn)行。二、 體積模型的導(dǎo)出體積公式的導(dǎo)出： 本章假設(shè)在儲(chǔ)油罐沒有發(fā)生變化時(shí)，當(dāng)油為的高度為h時(shí)，其油的體積V。（已知參數(shù)R,L,且0h

4、2R），其油罐沒有變化時(shí)油罐的模型圖如下（圖3） 圖3為了計(jì)算方便，所有把體積分成兩部分計(jì)算：模型一：1、 先計(jì)算油罐圓柱體部分的體積 V： （1）當(dāng)0hR時(shí)，其圓柱體體積為v11, 圖4為圓柱體橫截面。 圖4圓柱體橫截面 圖5圓的方程公式：X2+Y2=R2 設(shè)弧段函數(shù)公式為：f(x1)= AB段函數(shù)：f(x2)=h-R 由題意經(jīng)分析得：A（、h-R） B(、h-R) 令： V11=L* S1截V11=L*2(h-R)+R2arccos-sin2arccos 模型二： 當(dāng)R時(shí)，體積為v12,圖5為圓柱截面。圖5 圓柱體截面由圖5，經(jīng)分析可得：C D設(shè)弧CD段的的函數(shù)為： CD段函數(shù)： 所：)即

5、：V12= L*R +2(h-R)-R2arccos+sin2arccos所以有： 模型三：設(shè)球罐的體積為v2 。根據(jù)西安交通大學(xué) 理學(xué)院 王鄭耀的臥式加油罐剩余體積的計(jì)算中，可以得出球罐的體積公式為：=其中（(r-H)2+R2=r2,H=1m）三、模型的建立與求解無論變位與否進(jìn)出油時(shí)標(biāo)值是定了的因此只研究進(jìn)油或出油時(shí)的數(shù)據(jù)即可以下我們只研究進(jìn)油的情況（1）、比較分析法比較數(shù)據(jù)并作出其高度差值，取出有效數(shù)據(jù)。無變位時(shí)進(jìn)油傾斜時(shí)進(jìn)油累加進(jìn)油量/L油位高度/mm累加進(jìn)油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247

6、.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.69232.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19表1600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564

7、.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474

8、.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.55214.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73

9、808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.739

10、29.90239.082155.06702.852947.73941.42238.572205.06714.912997.73954.60239.692255.06727.033047.73968.09241.062305.06739.193097.73980.14240.952355.06751.423147.73992.41240.992404.98763.703197.731006.34242.642406.83764.163247.731019.07254.912456.83776.533297.731034.24257.712506.83788.993299.741035.36246

11、.37表1續(xù) （2）層次分析法以下在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出傾斜和沒有變化時(shí)的的函數(shù)圖象； 圖6傾斜和沒有變化時(shí)的的函數(shù)圖象再比較表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)不管是否傾斜每次進(jìn)油與前一次的差值均為50因而為了研究方便我們將初始值定為50然后按照以50為初始值50為公差中依次累計(jì)，并通過數(shù)學(xué)軟件模擬出圖象得到有效數(shù)據(jù)； 圖7模擬進(jìn)油時(shí)油位高度差與油的體積關(guān)系進(jìn)一步模擬猜測(cè)其函數(shù)圖象類型，則將其勾成光滑曲線。結(jié)果如下； 圖8圖象猜測(cè)與勾畫通進(jìn)參考上圖并對(duì)照下表整理出有效數(shù)據(jù)；表2（3）平均數(shù)與方差法得出有效數(shù)據(jù)列表如下； 累加進(jìn)油量/L100300350700850115016001950平均值850油位高度/mm24

12、7.31238.77235.71226.99223.46218.01214.78213.85平均值22736表3表中數(shù)據(jù)作以下處理 油位度差的平均值；油位高度差的方差為得到油位高度的方差為130.23 而油的體積平均值為850（4）數(shù)形結(jié)合與猜想假設(shè)假設(shè)1該變化曲線為一個(gè)反比例函數(shù)；設(shè)于是得到的圖象如下 圖9 假設(shè)2；該變化曲線為一個(gè)低于3次的函數(shù)；用拉格朗日插值公式進(jìn)行計(jì)算拉格朗日插值公式； 于是有如下函數(shù)圖象出現(xiàn)； 圖10通與模擬出來的圖象比較得到假設(shè)一成立，而變形與不變時(shí)的情況油位高度與箱內(nèi)油的體積差關(guān)系應(yīng)該是假設(shè)1情形，并且得到函數(shù)關(guān)系為則該油箱傾斜時(shí)油的體積與箱內(nèi)油位高度為的關(guān)系式為

13、；其中r=1.6 R=1.5 H=1 L=8其表達(dá)式為此標(biāo)定我們用數(shù)學(xué)軟件來標(biāo)定從零開始每隔一厘米做一個(gè)標(biāo)定終止為300厘米于是 MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。在此我們調(diào)用的格式為； 在此為多項(xiàng)式的的系數(shù)而次數(shù)由高到低依次排列沒有的補(bǔ)0 而且x可為矩陣。 為了表示方便和直觀起見我們將箱內(nèi)油的油位高度起始值為1間隔為1終值為300，其書寫程序如下；P= ;X=1:1:300；Polyval(p,x)總結(jié)；本次數(shù)學(xué)建模中運(yùn)用到不少數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用

14、，其中主要是用數(shù)學(xué)建成模型以數(shù)學(xué)為工具以計(jì)算機(jī)應(yīng)技術(shù)為輔助工具，求解實(shí)際問題，其中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的距離，數(shù)學(xué)建模使我們更加體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)中處處是生活，同時(shí)在本次建模中我們團(tuán)隊(duì)積極合作，各抒己見。才得以如此成果。有道是合作才能發(fā)展，才能雙贏。但是在建過程中發(fā)現(xiàn)有很多知識(shí)沒有得到好的運(yùn)用，同時(shí)也深感書到用時(shí)方更少。以使得在數(shù)據(jù)處理，層次分析，不勝滿意，尤其是猜想假設(shè)方面因?yàn)橹R(shí)的缺陷使得猜測(cè)不是理想感覺有缺陷?？傊疅o論如何我們還是較為順利地完成此次建模。參考文獻(xiàn)1. 王鄭耀2.3.4.5.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版）.高等教育出版社.2003年6月6.數(shù)學(xué)建模方法與分析.機(jī)械工

15、業(yè)出版社.2005年6月附件1：無變位時(shí)進(jìn)油傾斜時(shí)進(jìn)油累加進(jìn)油量/L油位高度/mm累加進(jìn)油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.692

16、32.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.

17、73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.5521

18、4.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.73929.90239.082155.0