全國大學生數(shù)學建模競賽

1、儲油罐的變位識別與罐容表標定內(nèi)容摘要生活中的數(shù)學是豐富多彩的。用數(shù)學知識來解決實際問題，既簡潔又明了。在日常生活中，加油站隨處可見，但其中有些設(shè)備就可以用數(shù)學知識來判定、來求證，這給我們的工作人員帶來了巨大的方便，同時也提高了工作效率。比如：許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形、溫度等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。所以，本文就是通過建立數(shù)學模型來研究儲油罐的變位與罐容表標定，希望我們的研究會給社會帶來福音。本文內(nèi)容翔實，是通過查找許多資料、圖片來進行研究與學習的?？赡苡性S多不足的地方需要改進，希望廣大讀

2、者勇于提出，我們會虛心接受并改進的?！娟P(guān)鍵詞】：儲油罐 變位 罐容表 體積形成 計算 圖標一、 問題的提出通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐（圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖），并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線LhhR油位高度圖1 儲油罐正面示意圖油位探針許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化，從而導致罐容表發(fā)生改

3、變（如圖2）。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定.地平線圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線 現(xiàn)在的一個問題是如何確定儲油罐是否變位？這個問題在加油站的管理中是非常重要的。那如和確定呢？ 一般方法：先導出圓柱體的體積公式v1和球罐的體積公式v2 ,在根據(jù)附件1和附件2中的數(shù)據(jù)求出高度差H，利用儲油罐的體積與高度差的函數(shù)關(guān)系式討論出儲油罐是否變位。變位時與不變位的關(guān)系用比較分析法，層次分析法，數(shù)據(jù)處理用平均數(shù)法，方差進行。二、 體積模型的導出體積公式的導出： 本章假設(shè)在儲油罐沒有發(fā)生變化時，當油為的高度為h時，其油的體積V。（已知參數(shù)R,L,且0h

4、2R），其油罐沒有變化時油罐的模型圖如下（圖3） 圖3為了計算方便，所有把體積分成兩部分計算：模型一：1、 先計算油罐圓柱體部分的體積 V： （1）當0hR時，其圓柱體體積為v11, 圖4為圓柱體橫截面。 圖4圓柱體橫截面 圖5圓的方程公式：X2+Y2=R2 設(shè)弧段函數(shù)公式為：f(x1)= AB段函數(shù)：f(x2)=h-R 由題意經(jīng)分析得：A（、h-R） B(、h-R) 令： V11=L* S1截V11=L*2(h-R)+R2arccos-sin2arccos 模型二： 當R時，體積為v12,圖5為圓柱截面。圖5 圓柱體截面由圖5，經(jīng)分析可得：C D設(shè)弧CD段的的函數(shù)為： CD段函數(shù)： 所：)即

5、：V12= L*R +2(h-R)-R2arccos+sin2arccos所以有： 模型三：設(shè)球罐的體積為v2 。根據(jù)西安交通大學 理學院 王鄭耀的臥式加油罐剩余體積的計算中，可以得出球罐的體積公式為：=其中（(r-H)2+R2=r2,H=1m）三、模型的建立與求解無論變位與否進出油時標值是定了的因此只研究進油或出油時的數(shù)據(jù)即可以下我們只研究進油的情況（1）、比較分析法比較數(shù)據(jù)并作出其高度差值，取出有效數(shù)據(jù)。無變位時進油傾斜時進油累加進油量/L油位高度/mm累加進油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247

6、.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.69232.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19表1600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564

7、.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474

8、.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.55214.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73

9、808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.739

10、29.90239.082155.06702.852947.73941.42238.572205.06714.912997.73954.60239.692255.06727.033047.73968.09241.062305.06739.193097.73980.14240.952355.06751.423147.73992.41240.992404.98763.703197.731006.34242.642406.83764.163247.731019.07254.912456.83776.533297.731034.24257.712506.83788.993299.741035.36246

11、.37表1續(xù) （2）層次分析法以下在同一個坐標系中作出傾斜和沒有變化時的的函數(shù)圖象； 圖6傾斜和沒有變化時的的函數(shù)圖象再比較表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)不管是否傾斜每次進油與前一次的差值均為50因而為了研究方便我們將初始值定為50然后按照以50為初始值50為公差中依次累計，并通過數(shù)學軟件模擬出圖象得到有效數(shù)據(jù)； 圖7模擬進油時油位高度差與油的體積關(guān)系進一步模擬猜測其函數(shù)圖象類型，則將其勾成光滑曲線。結(jié)果如下； 圖8圖象猜測與勾畫通進參考上圖并對照下表整理出有效數(shù)據(jù)；表2（3）平均數(shù)與方差法得出有效數(shù)據(jù)列表如下； 累加進油量/L100300350700850115016001950平均值850油位高度/mm24

12、7.31238.77235.71226.99223.46218.01214.78213.85平均值22736表3表中數(shù)據(jù)作以下處理 油位度差的平均值；油位高度差的方差為得到油位高度的方差為130.23 而油的體積平均值為850（4）數(shù)形結(jié)合與猜想假設(shè)假設(shè)1該變化曲線為一個反比例函數(shù)；設(shè)于是得到的圖象如下 圖9 假設(shè)2；該變化曲線為一個低于3次的函數(shù)；用拉格朗日插值公式進行計算拉格朗日插值公式； 于是有如下函數(shù)圖象出現(xiàn)； 圖10通與模擬出來的圖象比較得到假設(shè)一成立，而變形與不變時的情況油位高度與箱內(nèi)油的體積差關(guān)系應(yīng)該是假設(shè)1情形，并且得到函數(shù)關(guān)系為則該油箱傾斜時油的體積與箱內(nèi)油位高度為的關(guān)系式為

13、；其中r=1.6 R=1.5 H=1 L=8其表達式為此標定我們用數(shù)學軟件來標定從零開始每隔一厘米做一個標定終止為300厘米于是 MATLAB提供了兩種求多項式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。在此我們調(diào)用的格式為； 在此為多項式的的系數(shù)而次數(shù)由高到低依次排列沒有的補0 而且x可為矩陣。 為了表示方便和直觀起見我們將箱內(nèi)油的油位高度起始值為1間隔為1終值為300，其書寫程序如下；P= ;X=1:1:300；Polyval(p,x)總結(jié)；本次數(shù)學建模中運用到不少數(shù)學知識和計算機應(yīng)用

14、，其中主要是用數(shù)學建成模型以數(shù)學為工具以計算機應(yīng)技術(shù)為輔助工具，求解實際問題，其中充分體現(xiàn)了數(shù)學與生活的距離，數(shù)學建模使我們更加體會到生活中處處有數(shù)學，數(shù)學中處處是生活，同時在本次建模中我們團隊積極合作，各抒己見。才得以如此成果。有道是合作才能發(fā)展，才能雙贏。但是在建過程中發(fā)現(xiàn)有很多知識沒有得到好的運用，同時也深感書到用時方更少。以使得在數(shù)據(jù)處理，層次分析，不勝滿意，尤其是猜想假設(shè)方面因為知識的缺陷使得猜測不是理想感覺有缺陷?？傊疅o論如何我們還是較為順利地完成此次建模。參考文獻1. 王鄭耀2.3.4.5.數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）.高等教育出版社.2003年6月6.數(shù)學建模方法與分析.機械工

15、業(yè)出版社.2005年6月附件1：無變位時進油傾斜時進油累加進油量/L油位高度/mm累加進油量/L油位高度/mm油位高度差50159.02747.86411.29252.27100176.14797.86423.45247.31150192.59847.86438.33245.74200208.50897.86450.54242.04250223.93947.86463.90239.97300238.97997.86477.74238.77350253.661047.86489.37235.71400268.041097.79502.56234.52450282.161147.79514.692

16、32.53500296.031197.73526.84230.81550309.691247.73538.88229.19600323.151297.73551.96228.81650336.441347.73564.40227.96700349.571397.73576.56226.99750362.561447.73588.74226.18800375.421497.73599.56224.14850388.161547.73611.62223.46900400.791597.73623.44222.65950413.321647.73635.58222.261000425.761697.

17、73646.28220.521050438.121747.73658.59220.471100450.401797.73670.22219.821150462.621847.73680.63218.011200474.781897.73693.03218.251250486.891947.73704.67217.781300498.951997.73716.45217.501350510.972047.73727.66216.691400522.952097.73739.39216.441450534.902147.73750.90216.001500546.822197.73761.5521

18、4.731550558.722247.73773.43214.711600570.612297.73785.39214.781650582.482347.73796.04213.561700594.352397.73808.27213.921750606.222447.73820.80214.581800618.092497.73832.80214.711850629.962547.73844.47214.511900641.852597.73856.29214.441950653.752647.73867.60213.852000665.672697.73880.06214.392050677.632747.73892.92215.292053.83678.542797.73904.34225.802103.83690.532847.73917.34226.812105.06690.822897.73929.90239.082155.0