全等三角形的提高拓展訓(xùn)練經(jīng)典題型50題含答案

1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識點(diǎn)睛 全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法

2、：(1) 邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 (2) 角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4) 角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基

3、礎(chǔ)例題精講板塊一、截長補(bǔ)短【例1】 (年北京中考題)已知中，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 【例2】 如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【例3】 已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE. 求證：BE+DF=AE.【例4】 以的、為邊向三角形外作等邊、，連結(jié)、相交于點(diǎn)求證：平分 【例5】 (北京市、天津市數(shù)學(xué)競賽試題)如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求

4、的周長 【例6】 五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求證：AD平分CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在中，是的平分線，且，求的度數(shù). 【例8】在等腰中，頂角，在邊上取點(diǎn)，使， 求. 【例9】(“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題) 如圖所示，在中，又在上，在上，且滿足，求. 【例10】 在四邊形中，已知，求的度數(shù).【例11】 (日本算術(shù)奧林匹克試題) 如圖所示，在四邊形中，求的度數(shù). 【例12】 (河南省數(shù)學(xué)競賽試題) 在正內(nèi)取一點(diǎn)，使， 在外取一點(diǎn)，使，且，求. 【例13】 (北京市數(shù)學(xué)競賽試題) 如圖所示，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，使得，求的度數(shù).全等三

5、角形證明經(jīng)典20題（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADADBC延長AD到E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整數(shù),則AD=5 BACDF21E2. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=AC證明：過E點(diǎn)，作EG/AC，交AD延長線于G則DEG=DCA，DGE=2又CD=DEADCGDE（AAS）EG=ACEF/ABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=AC3. 已知：

6、AD平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CACDB證明：在AC上截取AE=AB，連接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB，AD=ADAEDABD（SAS）AED=B，DE=DBAC=AB+BD AC=AE+CECE=DEC=EDCAED=C+EDC=2CB=2C4. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求證：AE=AD+BE證明： 在AE上取F，使EFEB，連接CF 因?yàn)镃EAB 所以CEBCEF90° 因?yàn)镋BEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因?yàn)锽D180°，CFECFA180° 所以DCFA 因?yàn)锳C平分

7、BAD 所以DACFAC 又因?yàn)锳CAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE 5. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分ABC、BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.ABE=FBE,BE=BE,則ABEFBE(SAS),EFB=A;AB平行于CD,則:A+D=180°又EFB+EFC=180°,則EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.6.已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDC

8、BDC作AGBD交DE延長線于GAGE全等BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5所以DC=CF=27（5分）如圖，在ABC中，BD=DC，1=2，求證：ADBC延長AD至H交BC于H;BD=DC;所以:DBC=角DCB;1=2;DBC+1=角DCB+2;ABC=ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC8（5分）如圖，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N求證：OAB=OBA因?yàn)锳OM與MOB都為直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB所以MAB=MBA因?yàn)镺AM=

9、OBM=90度所以O(shè)AB=90-MAB OBA=90-MBA所以O(shè)AB=OBA9（5分）如圖，已知ADBC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D求證：AD+BC=AB證明：做BE的延長線，與AP相交于F點(diǎn)，PA/BCPAB+CBA=180°，又，AE，BE均為PAB和CBA的角平分線EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AEBF，且AE為FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB，三角形DEF與三角形BEC為

10、全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC10（6分）如圖，ABC中，AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：C=2B證明：在AB上找點(diǎn)E，使AE=ACAE=AC，EAD=CAD，AD=ADADEADC。DE=CD，AED=CAB=AC+CD，DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEB=EDBC=B+EDB=2B11（7分）如圖，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE證明：延長BA、CE，兩線相交于點(diǎn)F BECE BEF=BEC=90° 在BEF和BEC中 FB

11、E=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE12、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BECF，BE=CF。求證：AM是ABC的中線。證明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中線. 13、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證：

12、BF=CF證明：在ABD與ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF與FDC中BD=DCBDF=FDCDF=DFFBDFCDBF=FC14、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。因?yàn)锳B=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因?yàn)?角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DEDBCcAFE15.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證： AEAF。 連結(jié)BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰兩底角相

13、等得：角ABC=角ADC 在結(jié)合已知條件證得：ADEABF得AE=AF16如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，1=2，3=4，求證: 5=6 因?yàn)榻?=角23=4所以角ADC=角ABC.又因?yàn)锳C是公共邊，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以5=6ACBDEF17已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CD證明：因?yàn)?AB=AC， 所以 EBC=DCB 因?yàn)?BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共邊) 則有 三角形EB

14、C全等于三角形DCB 所以 BECD18.如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求證：DE=DFAAS證ADF19在ABC中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1） 證明：ACB=90°，ACD+BCE=90°，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，證明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB