非線性控制系統(tǒng)理論

1、第七章 非線性控制系統(tǒng)理論 71非線性控制系統(tǒng)的概述 一、引 言在前面各章中，研究線性系統(tǒng)的分析和設計問題。事實上，大多數(shù)工程實際系統(tǒng)，嚴格地說來均不屬于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)中或多或少總存在一些非線性因素。當所研究的實際系統(tǒng)中非線性因素影響并不是十分嚴重（可略去不計），或在某一個特定范圍內(nèi)，某一限制條件下可以看作線性時，那么用線性理論來研究控制系統(tǒng)是很有實際價值的。實踐證明，這樣做是成功的，也許這正是線性系統(tǒng)廣泛應用的重要原因。但對于一些所謂“本質(zhì)”非線性系統(tǒng)，則不能進行線性化。理由很簡單，線性化以后所得到的系統(tǒng)不能反映真實系統(tǒng)的運動，或者說，所得到的結(jié)論完全不符合實際系統(tǒng)。例如，最常見的自激振蕩就

2、是線性理論無法理解的現(xiàn)象之一。這就說明，必須考慮非線性因素的影響，從而促使非線性理論的發(fā)展。因此，必須進一步研究分析和處理非線性系統(tǒng)的方法。非線性是指元、部件的靜特性不是按線性規(guī)律變化而言的。例如，圖71所示的放大器靜特性就是一種非線性特性。圖中橫坐標為放大器的輸入電壓，縱坐標為放大器的輸出電壓。如果放大器工作在區(qū)段，則放大器輸入與輸出電壓之間可近似為線性關(guān)系，因此可以把放大器作為一個線性元件來處理。但如果放大器工作在范圍內(nèi)，那么放大器便不能再作為線性元件來處理了，因為其靜特性具有明顯的非線性。如果，在一個自動控制系統(tǒng)中包含一個或一個以上具有非線性特性的元、部件，則把這樣的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。

3、因此，凡是不能直接進行線性化處理，不能用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)，或稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。二、非線性控制系統(tǒng)的特點非線性控制系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)相比，有其明顯的特點。（1）線性系統(tǒng)可用線性微分方程來描述，故具有線性性質(zhì)，可以應用疊加原理。如果系統(tǒng)分別在或作用下輸出為或，那么當和同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出等于、兩個輸出之和。而非線性系統(tǒng)則要用非線性微分方程來描述。求解非線性微分方程不能應用疊加原理，而對應非線性微分方程右項（與輸入有關(guān)的項）的每一種形式均需完全重新求解。因此，沒有一個通用的方法處理所有非線性問題。（2）在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的動態(tài)過程和穩(wěn)定性，只決定于系統(tǒng)特征根的分布，即只

4、決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和參量，而與系統(tǒng)的外作用（或系統(tǒng)的初始條件）無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)過程，除與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和參量有關(guān)外，還與系統(tǒng)外作用大小（或系統(tǒng)的初始條件）有關(guān)。對于同一個結(jié)構(gòu)形式和參數(shù)的非線性系統(tǒng)，在外作用大小不同的條件下，運動的最終狀態(tài)可能完全不同。如在外作用較小條件下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而當在外作用較大條件下系統(tǒng)則變?yōu)椴环€(wěn)定的了。反之，也可能系統(tǒng)在較大輸入下為穩(wěn)定，而在較小輸入下為不穩(wěn)定，甚至會有更復雜的運動形式。例如一個三階系統(tǒng)如圖72（a）所示。系統(tǒng)中放大器的靜特性是線性的，放大系數(shù)為與其輸入大小無關(guān)。系統(tǒng)運動特性可根據(jù)根軌跡（如圖72（b）所示）來進行分析。由圖可見，當

5、時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當時，系統(tǒng)為不穩(wěn)定；當時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。由于系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，當系統(tǒng)一旦選定，參數(shù)、和也就被確定，系統(tǒng)的運動狀態(tài)也隨之而定。因此，系統(tǒng)的動態(tài)過程只能是上述三種運動狀態(tài)之一種，并且與外作用大小無關(guān)。如果系統(tǒng)穩(wěn)定，那么不論擾動有多大，動態(tài)過程總是收斂的；如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，不論擾動是多么小，動態(tài)過程總是發(fā)散的；臨界穩(wěn)定狀態(tài)實際上是不能持久的。這就是線性系統(tǒng)運動的特點。但對于非線性系統(tǒng)（如圖73所示），它與圖72（a）系統(tǒng)相比較，在結(jié)構(gòu)形式上除放大器特性不同外，其余完全相同。系統(tǒng)中采用了具有飽和特性的非線性放大器，其靜特性如圖74(a)所示。由圖可見，當時，；當時，放大器輸出保持

6、常值不再變化。所以放大器的等效增益隨輸入的增大而減小，如圖74（b）所示。飽和特性對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響是多種多樣的，隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同而不同，也隨飽和特性參數(shù)不同而不同，下面以圖73所示非線性系統(tǒng)為例作簡要說明。很明顯，圖73所示系統(tǒng)，當時，。若系統(tǒng)中放大器無飽和限制，則系統(tǒng)穩(wěn)定，其階躍響應為振蕩收斂（或單調(diào)收斂），如圖75中曲線1所示；當系統(tǒng)輸入較大幅值的階躍函數(shù)時，放大器工作在飽和區(qū)，則系統(tǒng)具有非線性特性，其階躍響應如圖75中曲線2所示。顯然飽和特性使系統(tǒng)動態(tài)過程的振幅下降了。這是由于系統(tǒng)受到飽和特性的限制，相當于在大的誤差信號時開環(huán)增益下降，系統(tǒng)中兩個閉環(huán)復極點沿實軸方向靠近的緣故。又如當圖

7、73系統(tǒng)中的放大器具有如圖76（a）所示特性時。當時，,若放大器靜特性是線性的,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其階躍響應為振蕩發(fā)散的過程，如圖76（b）中曲線1所示。若放大器具有飽和特性，則不論系統(tǒng)輸入階躍函數(shù)幅值是多么小，其響應將從振蕩發(fā)散最終到達等幅振蕩，如圖76（b）中曲線2所示。而且這種等幅振蕩與線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定的等幅振蕩完全不同。在線性系統(tǒng)中，只有參數(shù)時，系統(tǒng)才有可能出現(xiàn)等幅振蕩，而這種狀態(tài)是不能持久的，只要系統(tǒng)參數(shù)稍微有變動，立即會遭到破壞而變?yōu)槭諗堪l(fā)散。但在非線性系統(tǒng)中除了收斂或發(fā)散運動外，往往還會發(fā)生等幅振蕩，即使沒有外作用存在，系統(tǒng)本身也會產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的振蕩，而且這種振蕩具

8、有一定的穩(wěn)定性，一般稱為自持振蕩（或自振）。這是非線性系統(tǒng)所獨具的現(xiàn)象。由上分析可見，非線性系統(tǒng)的運動，在同一系統(tǒng)中，可能出現(xiàn)多種運動狀態(tài)。運動狀態(tài)與外作用大小、初始條件等有關(guān)。（3）和線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，一般和輸入量并不具有相同的函數(shù)形式。在線性系統(tǒng)中，當輸入是正弦函數(shù)時，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量是同頻率的正弦函數(shù)，兩者僅在幅值和相位上有所不同。因此可以用頻率特性來描述系統(tǒng)的固有特性。但在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則包含有高次諧波分量的非正弦周期函數(shù)。因此，不能應用頻率特性、傳遞函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和處理非線性系統(tǒng)。綜上所述，非線性系統(tǒng)的運動比線性系統(tǒng)的運動

9、要復雜得多。因此，非線性系統(tǒng)的分析也比線性系統(tǒng)復雜。目前，對非線性微分方程還沒有比較成熟通用的解法，在工程實踐中較多的采用的是一些近似解法。應當指出，對于非線性系統(tǒng)來說，在許多實際問題中，并不需要求解其輸出過程，而通常是把討論問題的重點放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定；系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如果產(chǎn)生，其振幅和頻率各等于多少，以及怎樣消除自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性問題的分析上。因此，需建立一些判別和保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則。目前在工程上廣泛應用的分析方法有基于時域分析的相平面法，點變換法和李雅普諾夫第二法。有基于頻率域分析的描述函數(shù)法和波波夫法。在本章中，將分別介紹相平面法和描述函數(shù)法來分析非線性系統(tǒng)的特性。下面介紹一下

10、控制系統(tǒng)中常見的比較典型的非線性特性。三、典型非線性特性1、飽和特性 所有元、部件的線性段都不是無限長的，只是范圍有大有小而已。例如，放大器輸入信號較小時，輸出與輸入是線性關(guān)系；當輸入大于一定數(shù)值后，其輸出將保持不變，出現(xiàn)所謂飽和現(xiàn)象，如圖71和74（a）所示。這種特性稱飽和特性，是一種典型的非線性特性。當然，飽和特性并非都只會給系統(tǒng)帶來不利影響，在有些系統(tǒng)中，飽和特性是作為有利因素加以利用的，如功率限制、行程限制等等。這些特性保證系統(tǒng)或元、部件能在額定和安全情況下運行。2、死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性 死區(qū)非線性的靜特性如圖77所示。圖中e表示死區(qū)寬度；K表示線性輸出特性的斜率。這類特性表示輸入信號

11、在零值附近變化時，元件或環(huán)節(jié)無信號輸出。只有當輸入信號大于某一數(shù)值（死區(qū)范圍）后，輸出信號才與輸入信號呈線性關(guān)系。例如，伺服發(fā)電機的死區(qū)電壓（啟動電壓），測量元件的不靈敏區(qū)，干摩擦元件的特性等都屬于死區(qū)非線性特性。自動控制系統(tǒng)中，由于死區(qū)特性的存在，將使系統(tǒng)產(chǎn)生靜態(tài)誤差，特別是測量元件的不靈敏區(qū)影響最為突出。系統(tǒng)的干摩擦死區(qū)特性將造成系統(tǒng)低速運動的不平滑性，這種低速不平滑性往往導致雷達、火炮等裝備系統(tǒng)在運行過程中不能準確地跟蹤目標，甚至會丟失目標。3、間隙特性 圖78（a）所示非線性特性稱間隙特性。圖中，2b為間隙寬度，為輸出特性斜率。形成此特性的原因可以用圖78（b）所示的簡化模型來說明。假

12、設輸入軸開始停止在叉子的正中，與兩邊的間隙為b，這時在靜特性上相當于坐標原點O。如輸入軸順時針轉(zhuǎn)動，且<b時，輸出軸不轉(zhuǎn)，=，直到=b時，輸入軸和輸出軸上叉子的一側(cè)相遇（0，對應靜特性段）。如輸入軸再繼續(xù)轉(zhuǎn)動，輸出軸就跟隨輸入軸轉(zhuǎn)動，此時，二者是線性關(guān)系（線段1），如果輸入軸轉(zhuǎn)到=停止轉(zhuǎn)動，假設輸出軸無慣性，則輸出軸也將停止轉(zhuǎn)動。此時，如果輸入軸反時針轉(zhuǎn)動，由于存在間隙，且寬度為，故輸出將保持不動（線段2），直到輸入軸靠上叉子的另一邊時，輸出軸才又跟著輸入軸反方向轉(zhuǎn)動（線段3）。從而形成了圖78（a）所示的間隙特性。齒輪傳動的齒隙特性，液壓傳動的油隙特性等均屬于這類特性。控制系統(tǒng)中有間隙

13、特性存在時，將使系統(tǒng)輸出信號在相位上產(chǎn)生遲后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量減小，動態(tài)特性變差。間隙的存在常常是系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的主要原因。4、繼電特性 這類特性，由于繼電器的吸合電壓和釋放電壓往往不同，因此輸入-輸出特性不僅包含有死區(qū)特性和飽和特性，而且出現(xiàn)滯環(huán)特性。如圖7-9所示。如果繼電器吸合電壓和釋放電壓均為零值切換，如靜特性圖中（a），稱這種特性為理想繼電特性。如果繼電器吸合電壓和釋放電壓相等，如圖中（b）所示靜特性，稱這種特性為具有死區(qū)的單值繼電特性。圖中（c），稱為具有死區(qū)滯環(huán)的繼電特性。圖中（b）稱為具有滯環(huán)的繼電特性。由于繼電元件在控制系統(tǒng)中常常用來作為改善系統(tǒng)性能的切換元件，因此繼電特性在非線性系統(tǒng)的分析中將占有重要地位。四、分析方法非線性系統(tǒng)的分析方法很多，這里僅介紹兩種最常用的方法，即相平面法和描述函數(shù)法。相平面法是一種圖解分析法，適用于一階、二階非線性系統(tǒng)的分析。方法的要點是將二階非線性微分方程改寫為以輸出量及輸出量