隨機變量與概率分布

1、第三章 隨機變量與概率分布 復習考試要求：正確理解和熟悉隨機變量、概率密度、數(shù)學期望和方差、隨機變量獨立性等基本概念；對二項分布、普阿松分布和正態(tài)分布這三大分布之概率分布，期望和方差，有關概率計算能牢固掌握，學會在各種場合運用數(shù)學期望與方差若干性質及切比雪夫不等式的結論。重點與難點： 根據(jù)概率密度的性質 1 （3.26） 或 1 （.102）求出f（x）或f（x,y）中的待定常數(shù);根據(jù)分布函數(shù)的性質 F(+)=1 或F( 3.15)定出分布函數(shù)中的待定常數(shù)。 已知密度f(x)或f(x,y) 利用公式 P(a<X<b)= (3.29) P(X,Y)G= （3.103） 求概率 根據(jù)

2、F(x)= , Ff(x)做分布函數(shù)與概率密度之間的互求。 對二項分布要善于從題目背景中判斷，對普阿松分布和正態(tài)分布要熟記其分布列或概率密度，會將正態(tài)分布通過線性變換Y=N(0,1) 求在某區(qū)間內(nèi)的概率。 E(X),D(X),COV(X,Y),X,Y 的計算和性質. X 與Y的獨立與不相關的判斷與關系。 典型題解析一 離散型隨機變量分布率的求法及其應用。例 3.1 設隨機變量的分布列為 -1 0 1 2 3 p 0.25 0.15 a 0.35 b問：a,b應滿足什么條件？當 a=0.2時，求b 并求P(2 >1) , P(0) , P(=1.2)解 根據(jù)離散型隨機變量分布列的定義 P=

3、xk=pk (k=0, 1 ,2,負整數(shù)也可),pk滿足 1°pk0 ,k=1,2,n (3.2) （非負性） 2°= 1 （3.3） (歸一性) 10.25+0.15+a+0.35+b a+b=0.25 故 a0 b0 , 當 a=0.2時，b=0.05這時， P(2>1)=P(=2)+P(=3)=0.35+0.05=0.4 P(0)=P(=-1)+P(=0)=0.25+0.15=0.4 P(=1.2)=0例 3.2 （選擇題）下列實數(shù)列可成為離散型隨機變量的分布列的是（ B,D ） （12） （A） p ,p2 (0<p<1) (B) 0.1,0.2,

4、0.3,0.4; (C) (D) 解 （A）因p+p21 , 不滿足歸一性，故（A）不能入選， （B）滿足非負性，0.1+0.2+0.3+0.41 （歸一性），故（B）入選 （C）因 =e31,不滿足歸一性，故（C）不入選 （這里用了冪級數(shù)展開式 ex= ） (D) 因對 k=0,1,2 .必有 p=>0且 e3=1 ,故（D）入選 （這是普阿松分布） 例3.3 某射手每次射擊擊中目標的概率為0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊30次，試求擊中目標次數(shù)的概率分布。 （同P.129習題3） B(5,0.6) 解 服從n=30,p=0.8的二項分布，分布率為： P(=K)=CK30(0.8)K(0.2)30

5、-K K=0,1,2,30. 例 3.4 對某目標進行射擊，直至擊中為止，假設每次射擊的命中率為p，求射擊次數(shù)的分布函數(shù)。 解 設為射擊次數(shù)，則1，2， 先求的概率分布列（二點分布） 前n-1次擊不中，第k次才擊中目標，則P(=k)pqk-1, k=1,2, 下面求分不函數(shù)F(x): 當x<1時，F(xiàn)(x)=x=0 當x1時，取表示不大于x的最大正數(shù)，則 F(x)=px=p=p1-q=1-(1-p) 所以 F(x)，經(jīng)驗證F(x)滿足分布函數(shù)的性質，故為所求。 補充說明：例3.4所舉分布也叫幾何分布，常記為XG(p) 其分布率為 P(X=k)=p,k=1,2,0<p<1,q=1

6、-p 幾何分布是描述首次成功的概率模型。它有一個重要性質無后效性，即對n1,k=1,2,有 P(X=n+kX>n)=P(X=k) (*) 這是因為由條件概率公式有 P(X=n+kX>n)=P(X=n+k,X>n)/P(X>n) =p(X=n+k)/P(X>n)=p/=pqk-1=P(X=k)等式（*）說明，在前n次試驗中未出現(xiàn)成功的條件下，再經(jīng)過k次試驗(即在第n+k次試驗)首次出現(xiàn)成功的條件概率，等于首次試驗成功時恰需要進行k次試驗的無條件概率，換言之，若已進行了n次試驗而未出現(xiàn)成功，那么需要再做k次試驗，而首次成功的條件概率不依賴于以前的試驗，形象地說，就時把

7、過去的經(jīng)驗完全忘記了，試驗就象重新開始進行一樣，把這種性質成為無后效性。 概率計算的統(tǒng)一處理方法： 選取適當?shù)碾S機變量； 確定隨機變量遵從的分布； 利用有關公式算出結果。例 3.5 一個電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從普阿松分布p(4),試求： 每分鐘恰有8次呼喚的概率 每分鐘呼喚次數(shù)大于10次的概率解 依題意，設“交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)”，則其概率分布為 P(=k)， k=0,1,2,故所求概率為 P(8) （查表） P(>10)=查表）例 3.6 （二項分布的普阿松逼近問題）設有同類型設備300臺，各臺工作相互獨立，各臺發(fā)生故障的概率都是0.01，一臺設備的故障可由有一個工人及

8、時處理，問至少配備多少工人，才能保證當設備發(fā)生故障時，不能及時維修的概率小于0.01？解 設出故障的設備為，配備m個工人由題設 B（300，0.01），由題意，要求出故障的設備大于m（從而有出故障的設備得不到及時維修）的概率小于0.01，即 P(>m)<0.01從而 P(<m)= 這里n=300 ,p=0.01 ,q=1-p,求滿足上式的最小m，這里n很大，p很小，由普阿松定理 3.1，近似服從的普阿松分布，即 P(m) ，反查普阿松分布表，上式成立的最小m8 因此，至少應配備8名工人。 二 連續(xù)型隨機變量的概率密度、分布函數(shù)、正態(tài)分布的概率求法 例 3.7 設連續(xù)型隨機變量

9、的分布函數(shù)為 F(x) 求常數(shù)A,B,C,求的密度函數(shù)P(x)及P(-2<<1) 解 由分布函數(shù)的性質，知0F(-)=C , 1=F(+)=A 因分布函數(shù)是連續(xù)的，故F(x)在x=0處連續(xù)，有F(x-0)=F(x)F（0） 即有0C,A=1,B=-1 而 p(x)= P(-2<<1)=11-e-2 (注釋：在x=0處，本來不存在，所以p(0)的定義可靈活一些，勿些 P(-2<<1)=一類式子，當然可用P(-2<<1)=F(1)-F(-2)=1-e-2來求概率，只要F(X)已知) 例 3.8 隨機變量X的概率密度為 f(x)= 求： （1）常數(shù)C

10、（2）X的分布函數(shù) （3）P 解 （1）利用密度函數(shù)的性質求C 1-11C從而 C=,因而 f(x)= (2) F(x)=P= 當 x時，顯然有F(x)=0 當 -1<x<1時， F(x)= 當 x時 F(x)= 所以，F(xiàn)(x)的表達式 F(x)= P(=F()-F(-=( 例 3.9 設 XN(1,0.62), 求 P P 解 利用線性變換Y= （3.42）將正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，則 Pa<X<b=本題中 PX>0=1-PX=1-=0.95245 0.2<X<1.8= 例 3.10 乘以什么常數(shù)才能使成為概率密度函數(shù)？ 解 設所求常數(shù)為A 1=A

11、令x-) A A= 例 3.11 由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍在10.05為合格品，求螺栓的次品率。 解 設螺栓長XN(10.05,0.062) N (0,1), 故次品率 p=P=1-P=P = 1- 三 隨機變量的數(shù)字特征 1離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差的求法。 已知分布率，直接用定義求之： E=E(X)= （3.57） D=D(X)= (3.72) 計算方差的常用簡化公式為 D=D(X)=E(X2)- （3.74） 用定義求離散型隨機變量的期望和方差歸結為求級數(shù)和，常用求和公式如下： 1+x+x2+x n-1+= 1+2x+3x2+nx n-1+=

12、 (3) 1+22x+3 2x2+n 2x n-1+= (4) 1+x+=ex 記住幾種常見離散型分布的期望和方差 二點分布： E(X)=p D(X)=pq 二項分布： E(X)=np D(X)=npq 普阿松分布： E(X)=D(X)= 記住 期望的簡單性質：E(kx)=K（X） E(X 獨立時 E(XY)=E(X)E(Y) 方差的簡單性質：D(kx)=k2D(X) 獨立時 D(X 例 3.12 設隨機變量X的分布函數(shù)為 PX=k 求 E(X) ,D(X) 解2 分布已知，直接用定義求 E(X)= (這里用了冪級數(shù)的求和公式：) 同理 E(X2)= / 這里利用了： 所以，D(X)=E(X2

13、)- 注：習題15，19求期望和方差時用到下列求和公式： 1+2+3+n= 12+22+n2= 2.連續(xù)型隨機變量期望與方差的求法。 已知概率密度，直接用定義求之： E(X)= (3.62) D(X)= (3.74) 其中 E(X2)= 利用上述公式求E(X),D(X)時，都歸結為求在（-上的廣義積分，在計算技巧上要善于利用以下三點： 要利用函數(shù)的奇偶性簡化計算。特別，計算期望時，若被積函數(shù)是對稱區(qū)間上的奇函數(shù)，則E(X)=0 要善于利用（伽瑪）函數(shù) 或 的下述兩條遞推性質計算廣義積分值： 形如的積分，通常利用換元t=轉化為函數(shù)進行計算。 例 3.13 設X的分布密度為 f(x)= 求 E(X

14、), D(X) 解 E(X)= （因被積函數(shù)為奇函數(shù)，區(qū)間對稱） E(X2)= （偶函數(shù)） - （用第二換元法，令x=asint 弦換) - = 故 D(X)= E(X2)-= 注： 習題20求E時，用到概率積分，記??！ 四二維隨機向量的復習 1二維離散型隨機向量：P(X= (3.94)的聯(lián)合分布用矩陣表格表示)，具有性質: 1。非負性 p ij i ,j =1,2, (3.96) 2。歸一性 (3.97) 邊緣(際)分布律: pi i=1,2, (3.98) (行和) p j=1,2, (3.99) (列和) 二維連續(xù)型隨機向量=(X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)f (x,y),對平面上任意區(qū)域D有

15、 P (3.103) 具有性質: 1 f (x,y) (3.101) 2 (3.102) X,Y的邊緣密度函數(shù): f X(x)= (3.105) f Y (y)= (3.106) X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù): F(x,y)=P(X (3.100) F X (x)=P(X F Y (x,y)=P(Y 它們之間的關系: f (x,y) =二維隨機變量的獨立性: F(x,y)=F X(x) (3.110)二維離散型: p ij=p i (3.113) 二維連續(xù)型: f(x,y)=f X(x) (3.14) 例3.14 設(X,Y)僅取(1,1), (1.2,1.3). (1.4,1), (1

16、,1.5), (0.9,1.2)五個數(shù)組中的值,且相應的概率都等于1/5,求(X,Y)的分布律. 解 (X,Y)除取上述五組值外,其余數(shù)組均為不可能事件,其概率為零,因而得(X,Y)的分布律為 X Y 1 1.2 1.3 1.40.9 11.21.4 0 1/5 0 0 1/5 0 0 1/5 0 0 1/5 0 1/5 0 0 0 例 3.15 (習題26) 二維隨機變量(在矩型區(qū)域 D= a<x<b,c<y<d內(nèi)服從均勻分布,求其聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù),又問與是否相互獨立? 解 因矩形域D的面積 S D=(b-a)(d-c) 故 的聯(lián)合密度函數(shù)為 p(x,y)

17、= 下求 ,的邊緣密度函數(shù) 當 a<x<b 時 f(x) = 當 x<a 或 x>b 時 p(x,y)=0 f ,于是 f 同樣可得的邊緣密度函數(shù) f c<y<d 即 分別在a<x<b, c<y<d 上服從均勻分布,因對一切實數(shù)x,y恒有 f(x,y) = f (x) 所以相互獨立. 2 協(xié)方差與相關系數(shù)的計算 記住二維隨機向量期望與方差的性質: 1 E(X)=E(X)+E(Y) (3.118) 2 D(X (3.119) 3 若X與Y相互獨立,則 E(XY)=E(X) (3.121) D(X (3.122) 這意味著,若E,則X與Y

18、不相互獨立,而存在一定的關聯(lián),于是引入?yún)f(xié)方差: COV(X,Y)=E (3.124)并稱 (3.127) 為隨機變量X與Y的相關系數(shù).它們僅差一常數(shù)因子 因此它們有相同的性質和類似計算方法 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 例 3.16 (選擇題) 如X,Y相互獨立,則必有( A, B ) (A) COV(X,Y)=0 (B) D(X (C) D(X-Y)=D(X)-D(Y) (D) D(XY)=D(X)D(Y) 解 因X,Y相互獨立,故X與Y不相關,故 ,從而(A)入選,又有協(xié)方差性質,(B)入選. 例 3.17 (選擇題) 若E(XY)=E(X),則必有 ( B ) (A) D(XY)=D(X)D(Y) (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y) (C) X與Y相互獨立 (D) X與Y不相互獨立 解 E(XY)=E(X)E(Y)成立的充要條件是X與Y不相關,從而(B)入選. 例 3.18 (選擇題) 設E(X), D(X)都存在,則對任何實數(shù)a,b (a<b),可以用切比雪夫不等式估計出概率( D ) (A) P(a<x<b) (B) P(a<X-E(X)<b) (C) P(-a<X<a) (D) P( 解 用切比雪夫不等式可以估計出 P( (3.88) P( 取 , 故 (D)入選. 例 3.19