第十六章 非限制性假定統(tǒng)計(jì)分析

1、第十六章 非限制性假定統(tǒng)計(jì)分析【教學(xué)基本要求】通過教學(xué)，使學(xué)生明確各種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)技術(shù)的分析運(yùn)用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】本章要求重點(diǎn)掌握2-檢驗(yàn)、符號(hào)檢驗(yàn)、等級(jí)檢驗(yàn)、多樣本檢驗(yàn)等方法的分析運(yùn)用。2-檢驗(yàn)、多樣本檢驗(yàn)是本章的難點(diǎn)。第一節(jié) 基本理論迄今為止,我們討論的各種統(tǒng)計(jì)推斷方法有2個(gè)共同的特點(diǎn):(1)它們都與總體參數(shù)有關(guān);(2)它們的正確性依賴于一組嚴(yán)格的假定。近年來,統(tǒng)計(jì)學(xué)中發(fā)展了一些不需對(duì)總體分布作限制性假定的有用技術(shù)。這些方法稱為非參數(shù)檢驗(yàn)或自由分布檢驗(yàn)或稱無分布檢驗(yàn)。這類方法,由于不涉及總體參數(shù)或不依賴于對(duì)總體分布的限制性假定,因而被稱為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。一、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的適用范圍非參數(shù)統(tǒng)計(jì)最

2、常用于具備下述特征的情況:1.待分析數(shù)據(jù)不滿足參數(shù)檢驗(yàn)所要求的假定,因而無法應(yīng)用參數(shù)檢驗(yàn)。例如,我們?cè)龅竭^的非正態(tài)總體小樣本,在t-檢驗(yàn)法也不適用時(shí),作為替代方法,就可以采用非參數(shù)檢驗(yàn)。 2.僅由一些等級(jí)構(gòu)成的數(shù)據(jù),不能應(yīng)用參數(shù)檢驗(yàn)。例如,消費(fèi)者可能被問及對(duì)幾種不同商標(biāo)的飲料的喜歡程度,雖然,他們不能對(duì)每種商標(biāo)都指定一個(gè)數(shù)字來表示他們對(duì)該商標(biāo)的喜歡程度,卻能將幾種商標(biāo)按喜歡的順序分成等級(jí)。這種情形也宜采用非參數(shù)檢驗(yàn)。 3.所提的問題中并不包含參數(shù),也不能用參數(shù)檢驗(yàn)。例如,我們想判斷一個(gè)樣本是否為隨機(jī)樣本,采用非參數(shù)檢驗(yàn)法就是適當(dāng)?shù)摹?4.當(dāng)我們需要迅速得出結(jié)果時(shí),也可以不用參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法而用非

3、參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法來達(dá)到目的。一般說來,非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法所要求的計(jì)算與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法相比,完成起來既快且易。有些非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法的計(jì)算,就算對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)不熟練的人,也能在收集數(shù)據(jù)時(shí)及時(shí)予以完成。 二、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)與傳統(tǒng)的參數(shù)統(tǒng)計(jì)相比,有以下優(yōu)點(diǎn):1.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法要求的假定條件比較少,因而它的適用范圍比較廣泛; 2.多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法要求的運(yùn)算比較簡(jiǎn)單,可以迅速完成計(jì)算取得結(jié)果,因而比較節(jié)約時(shí)間; 3.大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法在直觀上比較容易理解,不需要太多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí); 4.大多數(shù)非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法可用來分析如象由等級(jí)構(gòu)成的數(shù)據(jù)資料,而對(duì)計(jì)量水準(zhǔn)較低的數(shù)據(jù)資料,參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法卻不適用

4、; 5.當(dāng)推論多達(dá)3個(gè)以上時(shí),非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法尤具優(yōu)越性。但非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法也有以下缺點(diǎn):1.由于方法簡(jiǎn)單,用的計(jì)量水準(zhǔn)較低,因此,如果能與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法同時(shí)使用時(shí),就不如參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法敏感。若為追求簡(jiǎn)單而使用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法,其檢驗(yàn)功效就要差些。這就是說,在給定的顯著性水平下進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí),非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法與參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法相比,第類錯(cuò)誤的概率要大些。 2.對(duì)于大樣本,如不采用適當(dāng)?shù)慕?計(jì)算可能變得十分復(fù)雜。第二節(jié) (卡方)-檢驗(yàn)在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中,應(yīng)用最廣泛的方法之一是利用-分布進(jìn)行獨(dú)立性、一致性和吻合性的檢驗(yàn)。一、(分布的數(shù)學(xué)性質(zhì))統(tǒng)計(jì)量我們?cè)诘诎?、第九等章的有關(guān)部分為了構(gòu)造總體方差的置信區(qū)間,曾介紹過-分布

5、。數(shù)學(xué)上可將這一分布表示為: , (16.1)其中 , 稱為自由度。所有彼此獨(dú)立,且均服從平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。和的下標(biāo)表示每個(gè)觀察值可能取自不同的總體。當(dāng)我們從同一總體抽取所有觀察值時(shí),和的下標(biāo)就可以取消。這一分布的平均值和方差分別為和2。分布本身通常用希臘字母來表示。-分布是一種抽樣分布。當(dāng)我們對(duì)正態(tài)隨機(jī)變量X隨機(jī)地重復(fù)地抽取個(gè)數(shù)值,將每一個(gè)值變換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量,并對(duì)這個(gè)新的變量分別取平方再求和之后,便得到一個(gè)服從-分布的變量,即有: (16.2)如果我們將的各種不同數(shù)值連同相應(yīng)的相對(duì)出現(xiàn)的頻數(shù)列出,就得到的抽樣分布,這就是自由度為的-分布。圖8.1給出了若干不同自由度的-分布。在

6、實(shí)踐中,經(jīng)常要對(duì)一些觀察值出現(xiàn)的實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)進(jìn)行比較,以了解實(shí)際發(fā)生的結(jié)果與理論之間是否一致。設(shè)觀察頻數(shù)為,理論頻數(shù)為,則可定義統(tǒng)計(jì)量: (16.3)二、的獨(dú)立性檢驗(yàn)在研究問題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到要求2個(gè)變量之間是否有聯(lián)系的問題。其檢驗(yàn)方法是將研究的對(duì)象按2個(gè)變量分別進(jìn)行分類,編制一張交錯(cuò)分類的表,通常叫做列聯(lián)表。我們以一個(gè)具體的實(shí)例來研究。例16.1 在對(duì)某城市家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)特性的調(diào)查中,一個(gè)市場(chǎng)研究公司想確定電話擁有數(shù)與汽車擁有數(shù)是否獨(dú)立。這個(gè)公司從一個(gè)由住有該城市的10000戶家庭組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本中獲得了這種占有狀況的信息,列于表16.1。表16.1 按電話擁有量和汽車擁有量分組的列聯(lián)表

7、汽車擁有量 (輛)合 計(jì)012電話擁有 量(臺(tái))01000900100200011500260050046002以上50025004003400合 計(jì)30006000100010000要求:依上列數(shù)據(jù)檢驗(yàn)電話擁有量與汽車擁有量是否有聯(lián)系。檢驗(yàn)有2個(gè)步驟:(1)根據(jù)獨(dú)立性的假設(shè)計(jì)算期望頻數(shù);(2)將觀測(cè)頻數(shù)與期望頻數(shù)進(jìn)行比較。本題中待檢驗(yàn)的2個(gè)假設(shè)可表述為:電話擁有量與汽車擁有量是獨(dú)立的電話擁有量與汽車擁有量之間不獨(dú)立計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:在計(jì)算之前,首先要算出每一格的理論值,利用(16.3)式,有: 余類推,計(jì)算結(jié)果列示于表16.2。表16.2 電話擁有量和汽車擁有量之間關(guān)系問題的期望頻數(shù)汽車擁有量(輛

8、)合 計(jì)012電話擁有 量(臺(tái))06001200200200011380276046046002以上102020403403400合 計(jì)30006000100010000由此有: 若規(guī)定顯著性水平,本例自由度,查附表C得。,因此,否定,即2個(gè)變量之間不是獨(dú)立的。在利用檢驗(yàn)時(shí),應(yīng)注意:(1)要求試驗(yàn)的頻數(shù)比較多;(2)每一格中期望的理論頻數(shù)不能太小。雖然,在統(tǒng)計(jì)學(xué)界沒有統(tǒng)一結(jié)論,但美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家科克蘭提出的一條原則值得借鑒,即要求,且理論值小于5的格不能超過20%。在必要時(shí),可將鄰近的格加以合并(在不影響分類原則的條件下)。當(dāng)2個(gè)變量的分類都分成2類時(shí),就形成22列聯(lián)表。如表16.3,便是一個(gè)22

9、列聯(lián)表,其中a、b、c、d分別表示觀察頻數(shù)。表16.3 22列聯(lián)表12合 計(jì)1aba+b2cdc+d合 計(jì)a+cb+dn這時(shí)的值可依簡(jiǎn)便公式(16.4)式計(jì)算: (16.4)這個(gè)公式所給出的數(shù)值結(jié)果與(16.3)式相同。例16.2 屬于同一公司的2家工廠所生產(chǎn)的165件有缺陷的產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)樣本,按照工藝不佳或原材料質(zhì)量低劣這2個(gè)準(zhǔn)則對(duì)這些有缺陷的產(chǎn)品進(jìn)行分類,有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.4。要求:以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)關(guān)于產(chǎn)生缺陷的原因與生產(chǎn)這些產(chǎn)品的工廠無關(guān)的零假設(shè)。表16.4 產(chǎn)品產(chǎn)生缺陷的原因與生產(chǎn)工廠的有關(guān)資料工 廠合 計(jì)AB產(chǎn)生缺陷的原因工藝不佳217293材料質(zhì)量低劣462672合

10、計(jì)6798165解:該例的假設(shè)可陳述為: 產(chǎn)品產(chǎn)生缺陷與生產(chǎn)工廠之間沒有聯(lián)系 產(chǎn)品產(chǎn)生缺陷與生產(chǎn)工廠之間有聯(lián)系計(jì)算統(tǒng)計(jì)量: 依(16.4)式,可以算出: 由,自由度,查附表C得。,因此,否定,即產(chǎn)品產(chǎn)生缺陷與生產(chǎn)工廠之間有聯(lián)系。由于-分布是一個(gè)連續(xù)變量,而在22列聯(lián)表中用的是離散型變量,因此,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家耶茨于1934年提出了一個(gè)具有適用價(jià)值的修正公式: (16.5)按例16.2,我們有: 。三、的一致性檢驗(yàn)在用參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)兩個(gè)比例是否相等時(shí),曾介紹到用正態(tài)分布的近似方法來檢驗(yàn)?，F(xiàn)在,我們也可將從每一個(gè)總體中抽取的樣本分成兩類,把結(jié)果寫成22列聯(lián)表,然后,用的一致性檢驗(yàn)。從表面上看來,列聯(lián)

11、表的形式及計(jì)算值的公式與獨(dú)立性的檢驗(yàn)是相同的,但是,其抽樣方法和對(duì)期望頻數(shù)的計(jì)算規(guī)則是不同的。(1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),是從研究的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本,然后,根據(jù)樣本的觀察值進(jìn)行雙向分類;一致性檢驗(yàn)則是從比較的總體中分別抽取獨(dú)立的隨機(jī)樣本,然后,把抽到的單位劃分成兩類中的一個(gè)類別。(2)對(duì)理論頻數(shù)的計(jì)算,在獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),假設(shè)按兩個(gè)單獨(dú)概率的乘積,而在一致性檢驗(yàn)時(shí),假定比較的幾個(gè)總體中具有某種特征的單位數(shù)的比例相同,當(dāng)假設(shè)成立時(shí),各類的期望頻數(shù)應(yīng)該根據(jù)樣本的總數(shù)的比例來計(jì)算。例16.3 某廠生產(chǎn)一種新型自行車,希望了解消費(fèi)者喜歡這種型號(hào)的人數(shù)比例,分別從青年人和40歲以上的人中各抽100人進(jìn)行

12、調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示,青年人中有80人表示喜歡,40歲以上的人中有70人表示喜歡。要求:以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)這兩組人喜歡這種新型車的比例是否一致。解: 該例的假設(shè)可陳述為: 青年人與40歲以上的人喜愛的比例是一致的 喜愛的比例是不一致的 將調(diào)查結(jié)果寫成22列聯(lián)表16.5。表16.5 22列聯(lián)表 單位:人喜愛不喜愛2合 計(jì)青年人802010040歲以上7030100合 計(jì)15050200計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:依(16.4)式,有: 由,自由度,查附表C得。,因此,不否定,即不能說兩組消費(fèi)者對(duì)新型車的愛好有顯著差別。利用進(jìn)行一致性檢驗(yàn)還可以推廣到幾個(gè)總體的比例是否一致,分類也可推廣到兩類以上,若是個(gè)總體

13、,每個(gè)總體分成類,就形成列聯(lián)表。例16.4 市場(chǎng)研究人員進(jìn)行一項(xiàng)研究,其內(nèi)容為檢查某大城市地區(qū)4家主要百貨商店的顧客的特征。他們從每家商店的主要顧客中各選取一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本。4個(gè)樣本中顧客的年齡分布及有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.6。要求:以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)這幾個(gè)被抽總體就顧客的年齡而言是否一致。解: 該例假設(shè)可陳述如下: 4家商店的顧客年齡是一致的 4家商店的顧客年齡是不一致的表16.6 某大城市4家主要百貨商店顧客的年齡特征調(diào)查表 單位:人商 店合 計(jì)ABCD年 齡分 組258040905026025-356060804024035-453050457520045以上30503585200

14、合 計(jì)200200250250900首先計(jì)算各格的理論值: 余類推,計(jì)算結(jié)果列示于表16.7。表16.7 某大城市4家主要百貨商店顧客年齡的理論頻數(shù)商 店合 計(jì)ABCD年 齡分 組2557.7857,7872.2272.2226025-3553.3353.3366.6766.6724035-4544.4444.4455.5655.5620045以上44.4444.4455.5655.56200合 計(jì)200200250250900計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:依(16.3)式,有:由,自由度,查附表C得。,因此,否定,即4家商店的顧客年齡不一致。四、的吻合性檢驗(yàn)在實(shí)際工作中,有時(shí)需要對(duì)變量是否遵從某一理論分布進(jìn)行

15、檢驗(yàn), -分布用于這一方面的檢驗(yàn)稱為吻合性檢驗(yàn),或稱擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。這類檢驗(yàn)要求所抽取的樣本是隨機(jī)樣本,變量的計(jì)量水準(zhǔn)至少是列名的。若被檢驗(yàn)的總體其真實(shí)的分布函數(shù)為,但它是未知的,只能從這一分布中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本,要求通過對(duì)這一樣本的檢驗(yàn)來認(rèn)識(shí)這一總體的分布是否與規(guī)定的理論分布相一致。因此,其假設(shè)可陳述為: 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法與前面相同,其理論頻數(shù),其中為按理論分布計(jì)算的概率。例16.5 一個(gè)汽車制造商想檢驗(yàn)顧客對(duì)5種新式樣汽車的喜好程度。用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽選了500位顧客,喜歡各種式樣汽車的顧客數(shù)如表16.8。表16.8 喜歡5種新式汽車的顧客數(shù)據(jù)資料汽 車 式 樣ABCDE合 計(jì)喜歡該式

16、樣的顧客人數(shù)(人)2251852301871731008試用檢驗(yàn)來確定是否應(yīng)否定零假設(shè)“這個(gè)概率分布是均勻分布”解: 假設(shè)的陳述: 這個(gè)概率分布是均勻分布 這個(gè)概率分布不服從均勻分布計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:因每類型是一樣的,其理論頻數(shù)為所以,有: 由,自由度,查附表C得。,因此,應(yīng)否定,即這個(gè)概率分布不服從均勻分布。由,自由度,查附表C得。,因此,不能否定,即這個(gè)概率分布有可能服從均勻分布。例16.6 一家鐘表廠把檢驗(yàn)鐘表的精確度作為質(zhì)量控制計(jì)劃的一部分。該廠將700只手表校準(zhǔn)后讓其走24小時(shí),然后,對(duì)這些表進(jìn)行檢查,并記下每一只表走快或走慢的秒數(shù)列示于表16.9。試確定，這些表是否提供了充分證據(jù)，說明觀

17、察值并非來自正態(tài)總體。設(shè)。表16.9 700只表時(shí)間誤差的頻數(shù)資料24小時(shí)內(nèi)走快或走慢的秒數(shù)表 的 數(shù) 目(只)01038102051203062304074405083506091607081708072809061901005210011035合 計(jì)700解: 假設(shè)的陳述: 樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體 樣本數(shù)據(jù)并非來自正態(tài)分布總體由(16.3)式,確定的計(jì)算過程及結(jié)果列于表16.10。表16.10 例16.6中的理論頻數(shù)計(jì)算表變量值頻數(shù)各組限處正態(tài)曲線下的面積理論頻數(shù)0-1038-0.052636.82102051-1.620.051235.84203062-1.260.082958.033

18、04074-0.890.111477.98405083-0.530.134494.08506091-0.170.142899.966070810.190.133593.457080720.550.112478.688090610.920.078554.9590100521.280.049834.86100110351.640.050535.35合 計(jì)700-1.000700.00于是,有: 由,自由度,查附表C得。,因此,應(yīng)否定,即可得出樣本數(shù)據(jù)并非來自正態(tài)分布總體的結(jié)論。例16.7 一家旅游區(qū)旅館的管理人員研究在為期90天的時(shí)間內(nèi)預(yù)定和注銷房間的格局,他將所觀察到的注銷結(jié)果列于表16.11。

19、這些數(shù)據(jù)是否同“每日注銷的房間數(shù)服從泊松分布”這一假設(shè)相容。設(shè)。解: 泊松參數(shù)并未給出,利用表16.11的數(shù)據(jù)估計(jì): 表16.11 旅游區(qū)旅館注銷房間的數(shù)據(jù)注銷房間數(shù)觀察到這一注銷數(shù)的天數(shù)091172253154115762728290合 計(jì)90利用的估計(jì)值2.6,再假定一個(gè)泊松分布,計(jì)算檢驗(yàn)所需的有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.12。我們可以得出在0.05顯著性水平下不能否定“數(shù)據(jù)來自泊松分布”的零假設(shè)。表16.12 例16.6中的理論頻數(shù)計(jì)算表注銷房間數(shù)天數(shù)泊松分布預(yù)期頻數(shù)090.0746.661170.19317.372250.25122.593150.21819.624110.14112.695

20、70.0746.66620.0322.88720.0121.08820.0040.36900.0010.09合 計(jì)901.000- 例16.8 一個(gè)市場(chǎng)分析員進(jìn)行關(guān)于食品店的顧客對(duì)待某種存款方式的態(tài)度的研究。這項(xiàng)研究包括對(duì)100家超級(jí)市場(chǎng)各抽選25名經(jīng)常性顧客作隨機(jī)樣本,并對(duì)其中每一個(gè)人進(jìn)行訪問以確定此人是否喜歡除這種存款方式以外的別的存款方式。調(diào)查結(jié)果列示于表16.13。設(shè)顯著性水平為0.05。表16.13 例16.8的抽樣結(jié)果喜歡另外一種存款方式的顧客數(shù)商店數(shù)(個(gè))04152831041451561271681096100合 計(jì)100解: 假設(shè)的陳述:設(shè)分析員假定表16.14 例16.8中

21、的觀察頻數(shù)、相對(duì)預(yù)期頻數(shù)和預(yù)期頻數(shù)喜歡另外某種存款方式的顧客數(shù)商店數(shù)二項(xiàng)分布預(yù)期頻數(shù)040.00380.38150.02362.36280.07087.083100.135813.584140.186718.675150.196019.606120.163316.337160.110911.098100.06236.23960.02952.951000.01731.73合 計(jì)1001.0000100.00 在這些容量為25的樣本中,喜歡另外某種存款方式的顧客數(shù)服從二項(xiàng)分布在這些容量為25的樣本中,喜歡另外某種存款方式的顧客數(shù)不服從二項(xiàng)分布由于二項(xiàng)分布的參數(shù)沒有指定,以樣本數(shù)據(jù)估計(jì): 利用的估計(jì)

22、值0.20,再假定一個(gè)二項(xiàng)分布, 計(jì)算檢驗(yàn)所需的有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.14。我們可以在0.05顯著性水平下否定“數(shù)據(jù)來自二項(xiàng)分布總體”的零假設(shè)。第三節(jié) 正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)我們知道,參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)大都建立在一定假定基礎(chǔ)上,當(dāng)這些假定得不到滿足時(shí),就要用不需要嚴(yán)格假定的方法。正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)是一種比較簡(jiǎn)單的方法。正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)既可用于單一樣本、也可用于兩個(gè)樣本的比較檢驗(yàn);既可用于獨(dú)立樣本的檢驗(yàn),也可用于兩個(gè)有聯(lián)系的樣本的檢驗(yàn)?，F(xiàn)在分別加以討論。一、單一樣本中位數(shù)的符號(hào)檢驗(yàn)反映一個(gè)總體分布位置的參數(shù)主要有平均數(shù)和中位數(shù)。平均數(shù)反映的是分布重心的位置,而中位數(shù)該數(shù)上下出現(xiàn)的概率均為處。當(dāng)分布對(duì)稱時(shí)，二者一致，分布不

23、對(duì)稱時(shí)，二者就有差別。在很多場(chǎng)合,需要對(duì)中位數(shù)的位置進(jìn)行檢驗(yàn),可采用正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)。例16.9 某鋼廠生產(chǎn)的鋼材,在正常情況下,中位數(shù)的長(zhǎng)度為10米?，F(xiàn)隨機(jī)地從生產(chǎn)線上抽取10根,測(cè)得長(zhǎng)度(單位:米)如下:9.8 10.1 9.7 9.9 10 10 9.8 9.7 9.8 9.9試問:生產(chǎn)過程中對(duì)長(zhǎng)度的控制是否需要適當(dāng)調(diào)整。表16.15 中位數(shù)符號(hào)檢驗(yàn)計(jì)算表長(zhǎng)度符號(hào)9.8-0.2-10.10.1+9.7-0.3-9.9-0.1-1001009.8-0.2-9.7-0.3-9.8-0.2-9.9-0.1-解: 該例要解決的問題是:在生產(chǎn)過程中鋼材的程度在中位數(shù)10米上下各占一半的情形下,就不需要

24、調(diào)整生產(chǎn)過程。否則,多數(shù)過長(zhǎng)或多數(shù)過短均需要調(diào)整。因而,假設(shè)可陳述為: 進(jìn)行正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)時(shí),可以將樣本中每根的長(zhǎng)度減去中位數(shù),大者為正號(hào)(+),小者為負(fù)號(hào)(-),計(jì)算結(jié)果如表16.15。從表16.15可以看出:10個(gè)樣本單位中,除有兩個(gè)與中位數(shù)相同外,余下的8個(gè)為1正7負(fù)。如果進(jìn)一步用精確的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量,則與中位數(shù)相同的2個(gè)單位也可以區(qū)分為正號(hào)或負(fù)號(hào)?，F(xiàn)假定為1個(gè)正號(hào)1個(gè)負(fù)號(hào)。這樣,10個(gè)樣本單位中就有2正8負(fù)。如果總體的中位數(shù)為10,那么,理論上出現(xiàn)正號(hào)和負(fù)號(hào)應(yīng)該各占一半。現(xiàn)在,我們的問題是:出現(xiàn)2個(gè)或2個(gè)以下正號(hào)的概率是多少?我們用二項(xiàng)分布來計(jì)算: 由于是一個(gè)雙尾檢驗(yàn),因此,也應(yīng)包括負(fù)

25、號(hào)在2個(gè)或2個(gè)以下的概率,因此,。這就是說,當(dāng)中位數(shù)為10時(shí),出現(xiàn)上述結(jié)果的概率為0.1094,當(dāng)時(shí),不能否定。決策人員可以據(jù)此，結(jié)合其他因素作出是否需要調(diào)整生產(chǎn)過程的決策。在大樣本情況下,用二項(xiàng)分布計(jì)算概率比較復(fù)雜,也可以用正態(tài)近似計(jì)算: , (16.6)其中:代表正號(hào)的數(shù)目,表示在條件下正號(hào)或負(fù)號(hào)的平均數(shù)目(理論數(shù)目),0.5稱作校正項(xiàng),分母為,樣本容量為時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)時(shí)否定。假如上例樣本容量為36的大樣本,各樣本單元觀察值與中位數(shù)之離差為正號(hào)有10個(gè),此時(shí),我們可以計(jì)算得到: 取絕對(duì)值為,否定。 數(shù)值,同樣否定。二、兩獨(dú)立樣本的符號(hào)檢驗(yàn)假設(shè)和為抽自兩個(gè)總體的獨(dú)立樣本,X和Y的計(jì)量水準(zhǔn)至少

26、是順序的,研究的變量為連續(xù)變量,要求檢驗(yàn)這兩個(gè)總體的中位數(shù)是否相同。假設(shè)可陳述為: 兩個(gè)總體中位數(shù)相同 兩個(gè)總體中位數(shù)不同檢驗(yàn)的方法是將兩個(gè)樣本按照統(tǒng)一順序排列,找出中位數(shù)。從直觀看,如果為真,則在樣本和中,超過中位數(shù)或低于中位數(shù)的數(shù)目應(yīng)該接近相等,亦即正、負(fù)符號(hào)各占一半左右。因此,可以把兩個(gè)樣本分別按照超過中位數(shù)的數(shù)目和低于中位數(shù)的數(shù)目整理成列聯(lián)表的形式,應(yīng)用檢驗(yàn)或正態(tài)近似檢驗(yàn)。例16.10 設(shè)有兩獨(dú)立樣本的觀察值如下:樣本1: 10 10 10 12 15 17 17 19 20 22 25 26樣本2: 6 7 8 8 12 16 19 19 22試檢驗(yàn)這兩個(gè)總體的中位數(shù)是否相同。解:

27、先將兩組樣本的觀察值按統(tǒng)一順序排列,找出其中位數(shù)為16,然后,將每個(gè)觀察值和它比較,大于中位數(shù)用正號(hào)表示,小于中位數(shù)用負(fù)號(hào)表示,于是得到:樣本1: - - - - - + + + + + + +樣本2: - - - - - + + + +上述資料可以寫成表16.16的22列聯(lián)表形式。表16.16 例16.10中的22列聯(lián)表形式+-合 計(jì)樣本17512樣本2459合 計(jì)111021 依(16.4)式,可以算出: 若,自由度,查附表C得。,因此,不能否定,即不能說兩個(gè)總體中位數(shù)有顯著差別。三、兩個(gè)有聯(lián)系樣本的符號(hào)檢驗(yàn)關(guān)于兩個(gè)有聯(lián)系的樣本的數(shù)據(jù)有各種各樣的情形,最常見的是對(duì)樣本中同一個(gè)單位經(jīng)過某種處

28、理前后的比較。例如,同一樣本的工人在實(shí)行獎(jiǎng)金制度前后產(chǎn)量的比較;同一樣本的下蛋雞在使用某種飼料前后下蛋數(shù)量的比較等等。另一種情形是對(duì)成對(duì)的單位,其中一個(gè)給以某種處理,另外一個(gè)給以另一種處理或不加處理。在進(jìn)行這種比較時(shí),配對(duì)的單位應(yīng)盡可能一致。例如,在研究某種藥物的效果時(shí),配對(duì)試驗(yàn)的人必須在年齡、性別、體質(zhì)等方面盡可能一致,不至于有其他因素影響試驗(yàn)的結(jié)果。在兩個(gè)有關(guān)樣本分析中,所研究的變量是這些成對(duì)樣本兩個(gè)觀察值之差。如果差別比較大,說明這種處理具有效應(yīng),反之,則沒有效應(yīng)。 兩個(gè)有關(guān)樣本的符號(hào)檢驗(yàn)是要求有對(duì)成對(duì)樣本觀察值 , 這對(duì)觀察值是獨(dú)立的* 此處獨(dú)立之意義是指:(1)各之間相互獨(dú)立,各之間

29、相互獨(dú)立;(2)各之間不獨(dú)立。,觀察值的計(jì)量水準(zhǔn)在每對(duì)之間至少是順序的,即可以比較其大小。研究的變量一般是連續(xù)的。其假設(shè)可陳述為: 兩個(gè)變量之差這一總體中位數(shù)為0 兩個(gè)變量之差這一總體中位數(shù)不為0這是雙尾檢驗(yàn),也可為單尾檢驗(yàn)。在雙尾檢驗(yàn)中,如果為真,則的正負(fù)號(hào)數(shù)目應(yīng)該比較接近,當(dāng)正負(fù)號(hào)的數(shù)目差達(dá)到一定界限時(shí),就否定。因此,上述假設(shè)也可陳述為: 兩個(gè)有關(guān)樣本的符號(hào)檢驗(yàn)也是二項(xiàng)式檢驗(yàn)的特殊情況。例16.11某城市為克服噪音污染,在全市展開了宣傳活動(dòng)?，F(xiàn)從全市抽取18個(gè)路口測(cè)試了宣傳前后的噪音(單位:分貝)記錄如下:宣傳前557468807769577263宣傳后416461707560535961

30、宣傳前528566714883785167宣傳后487965704781695062試以0.01的顯著性水平說明經(jīng)過宣傳之后,城市的噪音已下降了5分貝。解: 計(jì)算觀察值之差為: 14,10,7,10,2,9,4,13,2,4,6,1,1,1,2,9,1,5。分別減去5可得到，。根據(jù)二項(xiàng)式檢驗(yàn),要使的否定區(qū)概率小于0.01，則要求在13個(gè)以上，現(xiàn)在只有8個(gè)正號(hào)，因此，不能否定，即不能得出噪音已下降了5分貝的結(jié)論。第四節(jié) 兩樣本的等級(jí)檢驗(yàn)第三節(jié)正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)只是利用樣本觀察值之間的大小,用符號(hào)來表示,沒有充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息,從而損失了部分統(tǒng)計(jì)功效。建立在等級(jí)基礎(chǔ)上的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法彌補(bǔ)了這方面的

31、不足。一、威爾科克森配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn)正負(fù)符號(hào)檢驗(yàn)和威爾科克森配對(duì)符號(hào)秩檢驗(yàn),都可看作是就成對(duì)觀察值而進(jìn)行的參數(shù)方式的t-檢驗(yàn)的代用品,非參數(shù)檢驗(yàn)具有無需對(duì)總體分布作假定的優(yōu)點(diǎn),而就成對(duì)觀察值作的參數(shù)方式的t-檢驗(yàn),必須假定有關(guān)的差別總體服從正態(tài)分布。例16.12 隨機(jī)地抽取10名學(xué)生的記分冊(cè)中某門課程期中和期末考試分?jǐn)?shù)如表16.17第(2)和第(3)欄數(shù)據(jù)。試在0.05顯著性水平下作威爾科克森符號(hào)秩檢驗(yàn)。表16.17 威爾科克森配對(duì)等級(jí)計(jì)算表* 表16.17的說明: 在威氏檢驗(yàn)中,要用絕對(duì)值,把它們放在一起,按從1至n的順序排列秩次,差別最小者,其秩次為1。 以原值的符號(hào)(+或-)給這些秩加上相

32、應(yīng)符號(hào)。 若排秩時(shí)出現(xiàn)秩次相同,采用平均秩次。 若值為0,就去掉該項(xiàng)。學(xué) 生期中考試成績(jī)期末考試成績(jī)成績(jī)之差標(biāo) 出 符 號(hào) 的 秩的秩秩(+)秩(-)17572-33328794+76.56.537292+209946567+22259386-76.56.568585075958-11187379+65596469+544107182+1188合 計(jì)-34.510.5解: 計(jì)算步驟如下:第1步:列出和的觀察值; 第2步:計(jì)算; 第3步:把等級(jí)恢復(fù)原正負(fù)符號(hào)。計(jì)算過程見表16.17。由表16.17,秩和分別按正差和負(fù)差計(jì)算,用秩(+)和秩(-)表示,以此為基礎(chǔ),形成零假設(shè)秩(+)=秩(-),即總

33、體分布相同。更具體地說,該假設(shè)表明該總體中的正差和負(fù)差是在均值0的兩端對(duì)稱分布的。兩個(gè)秩和中較小者,我們稱為威爾科克森T-統(tǒng)計(jì)量。該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:T=秩(-)=10.5。查威爾科克森T值的臨界值表(附表I),當(dāng)n=10-1=9, 時(shí),雙尾檢驗(yàn)的臨界值。由于,因此不能否定,即兩次成績(jī)沒有顯著差別。在大樣本情形下,T是近似正態(tài)分布的,其均值和方差分別為: (16.7) (16.8)因此,我們可以計(jì)算: (16.9)二、曼-惠特尼U檢驗(yàn)(秩和檢驗(yàn))這種方法通常用于兩獨(dú)立樣本的比較。秩和檢驗(yàn)可以看作是對(duì)兩均值之差的參數(shù)檢驗(yàn)方式的t-檢驗(yàn)或相應(yīng)的大樣本正態(tài)檢驗(yàn)的代用品。由于秩和檢驗(yàn)明確地考慮了每一個(gè)樣本中

34、各測(cè)定值所排的秩,它比符號(hào)檢驗(yàn)法使用了更多的信息。例16.13 某工廠欲測(cè)定在裝配線上男工和女工的機(jī)械技能有無差別。隨機(jī)地抽取了15組,每一個(gè)人都給以機(jī)械技能測(cè)試并給以評(píng)分,結(jié)果如表16.18。表16.18 男女工人機(jī)械技能測(cè)試分?jǐn)?shù)男女男女507071875176738853777492568078935781899663829098648395996586-試以0.05顯著性水平檢驗(yàn)?zāi)泄ず团さ臋C(jī)械技能是否相同。解: 假設(shè)的陳述: 男女性別之間的機(jī)械技能沒有差別 男女性別之間的機(jī)械技能存在差別在秩和檢驗(yàn)中,首先是合并兩個(gè)樣本,按秩的順序排列每個(gè)人的得分,如表16.19。然后,按任一樣本觀察值

35、的秩和進(jìn)行這一檢驗(yàn)。表16.19 男女工人的機(jī)械技能測(cè)試分類陳列秩得 分性 別秩得 分性 別秩得 分性 別150男1173男2187女251男1274男2288女353男1376女2389男456男1477女2490男557男1578男2592女663男1680女2693女764男1781女2795男865男1882女2896女970女1983女2998女1071男2086女3099女我們引入下列符號(hào): 一號(hào)樣本觀察值的項(xiàng)數(shù) 二號(hào)樣本觀察值的項(xiàng)數(shù) 一號(hào)樣本中各項(xiàng)秩和 二號(hào)樣本中各項(xiàng)秩和以男性工人的數(shù)據(jù)作為第1號(hào)樣本,找到是1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,15,23,24與27

36、各秩和,即158。相應(yīng)地, 307。為進(jìn)行這一檢驗(yàn),需要計(jì)算一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量U。其計(jì)算如(16.10)式: (16.10)根據(jù),這是一個(gè)雙尾檢驗(yàn)。因此, 當(dāng)時(shí),雙尾檢驗(yàn),可查附表 得。因,不能否定,即在裝配線上的男工和女工在機(jī)械技能方面沒有顯著差別。在大樣本情形下,U的抽樣分布也接近正態(tài)分布,其均值和方差分別為: (16.11) (16.12)因此,我們可以計(jì)算: (16.13)第五節(jié) 多個(gè)樣本的檢驗(yàn) 一、克魯斯卡-沃利斯檢驗(yàn)我們?cè)诘谑陆榻B過方差分析,是通過個(gè)樣本來檢驗(yàn)這些總體的平均數(shù)是否相等。但是,方差分析要求總體是正態(tài)分布的,而且要假定各個(gè)總體方差相等。若這些條件不滿足,其結(jié)論就會(huì)受到影

37、響。而克魯斯卡-沃利斯單因素方差分析這種非參數(shù)檢驗(yàn)法,不依賴于上述嚴(yán)格的假定,它建立在等級(jí)基礎(chǔ)上,如果只考慮兩個(gè)樣本,則可發(fā)現(xiàn)是上一節(jié)曼-惠特尼U秩和檢驗(yàn)法的推廣。克魯斯卡-沃利斯檢驗(yàn)所用的統(tǒng)計(jì)量,是把個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的觀察值放在一起,排列秩次后算出的。其假設(shè)可陳述為: 個(gè)總體是同分布的 個(gè)總體的分布并不完全相同例16.14 把某行業(yè)的公司分為大、中、小3類,并從這些公司的財(cái)務(wù)經(jīng)理中個(gè)抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。請(qǐng)他們對(duì)上半年國(guó)家的利率調(diào)動(dòng)政策的效果進(jìn)行評(píng)價(jià),最后加成總分進(jìn)行比較,評(píng)分結(jié)果如表16.20。試在0.05顯著性水平下檢驗(yàn)3種評(píng)分是否一致。解: 陳述假設(shè)如下: 3種總評(píng)分一致表16.2

38、0 例16.14中按公司大小分組的評(píng)分和秩大 型 公 司中 型 公 司小 型 公 司評(píng) 分秩評(píng) 分秩評(píng) 分秩78126868214952077116558516841550187176139319751062470790187286028013-739 3種總評(píng)分不完全一致克魯斯卡-沃利斯檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為: (16.14)其中: 第j個(gè)樣本中的觀察值個(gè)數(shù); 個(gè)樣本觀察值的總個(gè)數(shù); 第j個(gè)樣本的秩和。的分布近似于自由度的-分布。因此,可以利用-分布進(jìn)行檢驗(yàn)。依表16.20的有關(guān)數(shù)據(jù)及(16.14)式,計(jì)算得到: 若顯著性水平,則。因此,否定,即3種總評(píng)分不完全一致。我們可以得出結(jié)論:根據(jù)公司規(guī)模分組

39、,由財(cái)務(wù)經(jīng)理組成的3個(gè)樣本中評(píng)定的分?jǐn)?shù)有顯著差別。由表16.20可以發(fā)現(xiàn),與中小公司經(jīng)理相比,大公司的經(jīng)理評(píng)定的分?jǐn)?shù)較高。二、弗利德曼檢驗(yàn)這種方法適用于個(gè)有關(guān)樣本。但是,確定秩的方法與克魯斯卡-沃利斯檢驗(yàn)方法不同。弗利德曼檢驗(yàn)是抽取個(gè)樣本單位,每個(gè)單位給予種不同的處理形成個(gè)觀察值。對(duì)每一個(gè)樣本單位中的不同處理的觀察值給以等級(jí),即每個(gè)樣本單位由小到大有個(gè)等級(jí)(秩)。如果所有的處理具有同樣的效果,那么,每一列中的秩應(yīng)該是隨機(jī)分布的,若不是隨機(jī)的,就是說明各種處理有差別。弗利德曼檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是建立在各列秩和的基礎(chǔ)上,按(16.15)式計(jì)算。 (16.15)其中: 第j個(gè)樣本的秩和; 的自由度,采用檢

40、驗(yàn)。例16.15 假設(shè)有一個(gè)新的訓(xùn)練計(jì)劃分成4個(gè)單元,每個(gè)單元采用一不同方法,參加這一訓(xùn)練的有14個(gè)隨機(jī)抽選的工人,在每個(gè)單元結(jié)束時(shí),對(duì)這14人進(jìn)行考試并給予成績(jī)。有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.21。試在0.05顯著性水平下檢驗(yàn)這4種方法總的效果之間有無顯著差別。解: 假設(shè)可陳述如下: 這4種方法總的效果之間并沒有差別 這4種方法總的效果之間存在差別這里是4個(gè)有關(guān)的樣本,因?yàn)?這是同樣14個(gè)人的考試成果,成績(jī)可以按順序加以排列,因此,適合用弗利德曼檢驗(yàn)。在用這種方法時(shí)先要對(duì)每一個(gè)工人的成績(jī)的4種考試成績(jī)進(jìn)行順序排列,以確定各樣本單位的秩,結(jié)果如表16.21。然后,計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:表16.21 14名工

41、人的考試分?jǐn)?shù)和秩樣本方 法1方 法2方 法3方 法4分 數(shù)秩分 數(shù)秩分 數(shù)秩分 數(shù)秩120(4)6(1)9(2)15(3)25(1)12(3)19(4)10(2)311(2)21(4)8(1)16(3)421(3)18(2)30(4)15(1)58(1)12(2)20(4)16(3)69(2)7(1)10(3)12(4)721(4)20(3)16(2)10(1)818(3)27(4)9(1)12(2)930(4)16(1)22(3)21(2)1022(3)27(4)19(2)18(1)1110(3)8(2)4(1)12(4)126(1)12(3)7(2)14(4)1310(1)12(2)21(

42、4)20(3)1414(2)11(1)23(3)27(4) 在顯著性水平時(shí),有。因此,不能否定,即4種方法總的效果沒有顯著差別。第六節(jié) 其它非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法 一、關(guān)于聯(lián)系的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量關(guān)于研究?jī)山M變量之間相互關(guān)系的密切程度這一問題,我們?cè)诘谑徽轮薪榻B過相關(guān)系數(shù)。但是,相關(guān)系數(shù)反映的是兩組變量之間線性相關(guān)的程度,若兩組變量之間存在非線性的聯(lián)系,相關(guān)系數(shù)就受到限制;另外,相關(guān)系數(shù)要求變量必須是用數(shù)字來計(jì)量的,而實(shí)際資料有時(shí)又缺乏數(shù)字計(jì)量,因而需要用非參數(shù)方法。1.斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)反映的是兩組變量之間聯(lián)系的密切程度,它和相關(guān)系數(shù)一樣,取值在-1到+1之間,所不同的是建立在等級(jí)(秩)的基礎(chǔ)上計(jì)算的。我們用表示秩相關(guān)系數(shù),采用(16.16)式計(jì)算。 (16.16)例16.16 某工廠對(duì)工人的業(yè)務(wù)進(jìn)行了一次考試,欲研究考試成績(jī)與每月產(chǎn)量之間的關(guān)系。若隨機(jī)地抽取一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,有關(guān)數(shù)據(jù)列示于表16.22。表16.22 6個(gè)工人的考試成績(jī)、產(chǎn)量及相應(yīng)的秩工 人考試成績(jī)產(chǎn) 量秩成 績(jī)產(chǎn) 量1505006602605105503705304404805803305905902206951000110從表中數(shù)字可以看出,工人的考試成績(jī)?cè)礁?則產(chǎn)量也越高,二者之間的聯(lián)系程度是一致的。但是,相關(guān)系數(shù)并不算太高,這是由于它們之