線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解

1、8.5 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解為了便于揭示系統(tǒng)的固有特性，經(jīng)常需要對系統(tǒng)進行非奇異線性變換，如將A矩陣對角化、約當化；將系統(tǒng)化為可控標準型、可觀測標準型也需要進行線性變換。為了便于分析與設計，需要對動態(tài)方程進行規(guī)范分解，往往也涉及線性變換。如何變換？經(jīng)過變換后，系統(tǒng)的固有特性是否會引起改變呢？這些問題必須加以研究解決。 線性系統(tǒng)的非奇異線性變換及其性質(zhì) 1.非奇異線性變換 設系統(tǒng)動態(tài)方程為 （8-134）令 （8-135）式中，非奇異矩陣P（，有時以形式出現(xiàn)）將狀態(tài)變換為狀態(tài)。設變換后的動態(tài)方程為 （8-136）則有 （8-137）上述過程就是對系統(tǒng)進行非奇異線性變換。線性變換

2、的目的在于使陣或系統(tǒng)規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性，簡化分析、計算與設計，在系統(tǒng)建模，可控性、可觀測性、穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)綜合設計方面特別有用。非奇異線性變換不會改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)，所以是等價變換。待計算出所需結(jié)果之后，再引入反變換，將新系統(tǒng)變回原來的狀態(tài)空間中去，獲得最終結(jié)果。2.非奇異線性變換的性質(zhì) 系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換，系統(tǒng)的特征值、傳遞矩陣、可控性、可觀測性等重要性質(zhì)均保持不變性。下面進行證明。（1） 變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變證明 列出變換后系統(tǒng)傳遞矩陣為 表明變換前后的系統(tǒng)傳遞矩陣相同。（2） 線性變換后系統(tǒng)特征值不變證明 列出變換后系統(tǒng)的特征多項式 表明變換前后的特征多項式相同，故特征值

3、不變。由此可以推出，非奇異變換后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變。（3） 變換后系統(tǒng)可控性不變證明 列出變換后系統(tǒng)可控性陣的秩 表明變換前后的可控性矩陣的秩相同，故可控性不變。（4） 變換后系統(tǒng)可觀測性不變證明 列出變換后可可觀測性矩陣的秩 表明變換前后可觀測性矩陣的秩相同，故可觀測性不變。（5） （8-138）證明 幾種常用的線性變換1.化A為對角陣（1）A陣為任意方陣，且有互異實數(shù)特征根。則由非奇異變換可將其化為對角陣 （8-139）P由特征向量組成， （8-140）特征向量滿足 （8-141）（2）A矩陣為友矩陣，且有互異實數(shù)特征根。則用范德蒙特（Vandermode）矩陣P可以將A對角化。 （8-1

4、42） （3）A矩陣為任意方陣，有m重實數(shù)特征根（），其余（nm）個特征根為互異實數(shù)特征根，但在求解時，仍有m個獨立的特征向量，則仍可以將A矩陣化為對角陣。 （8-143） （8-144）式中，是互異實數(shù)特征根對應的特征向量。2.化A矩陣為約當陣 （1）A矩陣有m重實數(shù)特征根（），其余（nm）個特征根為互異實數(shù)特征根，但重根只有一個獨立的特征向量時，只能將A矩陣化為約當陣J。 （8-145） （8-146）式中，分別是互異實數(shù)特征根對應的特征向量，而是廣義特征向量，可由下式求得 （8-147）（2）當A矩陣為友矩陣，具有m重實數(shù)特征根（），其余（nm）個特征根為互異實數(shù)特征根，但重根只有一個獨

5、立的特征向量時，將A矩陣約當陣化的P矩陣為 （8-148）（3）A矩陣有五重特征根，但有兩個獨立特征向量，其余（n5）個特征根為互異特征根，一般可化A矩陣為如下形式的約當陣J （8-149） （8-150）3.化可控狀態(tài)方程為可控標準型前面曾對單輸入-單輸出建立了可控標準型狀態(tài)方程，即 （8-151）與該狀態(tài)方程對應的可控性矩陣是一個右下三角陣，且其副對角線元素均為1 （8-152）一個可控系統(tǒng)，當A，b不具有可控標準型時，定可選擇適當?shù)木€性變換化為可控標準型。設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-153）進行變換，即令 （8-154）狀態(tài)方程變換為 （8-155）要求 （8-156）設變換矩陣為 （8-1

6、57）根據(jù)A矩陣變換要求，變換矩陣P矩陣應滿足式（8-156），即 （8-158）展開之 增補一個方程 整理后，得到變換矩陣為 （8-159）另根據(jù)b矩陣變換要求，P應滿足式（8-156），有 （8-160）即 （8-161）故 (8-162) 該式表示是可控性矩陣逆陣的最后一行。于是可以得到變換矩陣P的求法如下：（1） 計算可控性矩陣 （2） 計算可控性矩陣的逆陣 （3） 取出的最后一行（即第n行）構(gòu)成行向量 （4） 按下列方式構(gòu)造P陣 （5） 便是將普通可控狀態(tài)方程可化為可控標準型狀態(tài)方程的變換矩陣。當然，也可先將任意矩陣A化為對角型，然后再將對角陣化為友矩陣的方法將A化為友矩陣。 對偶原

7、理 設有系統(tǒng)，則稱系統(tǒng)為系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)。其動態(tài)方程分別為系統(tǒng)：系統(tǒng)： (8-163)式中，x、z均為n維狀態(tài)向量，u、w均為p維，y、v均為q維狀態(tài)向量。注意，系統(tǒng)與對偶系統(tǒng)之間，其輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。當為的對偶系統(tǒng)時，也是的對偶系統(tǒng)。如果系統(tǒng)可控，則必然可觀測；如果系統(tǒng)可觀測，則必然可控；反之亦然，這就是對偶原理。實際上，不難驗證：系統(tǒng)的可控性矩陣與對偶系統(tǒng)的可觀測性矩陣完全相同；系統(tǒng)的可觀測性矩陣與對偶系統(tǒng)的可控性矩陣完全相同。在動態(tài)方程建模、系統(tǒng)可控性和可觀測性的判別、系統(tǒng)線性變換等問題上，應用對偶原理，往往可以使問題得到簡化。應用對偶原理，可以把可觀測的單輸入-單輸出系統(tǒng)化

8、為可觀測標準型的問題，轉(zhuǎn)化為將其對偶系統(tǒng)化為可控標準型的問題。設單輸入-單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程為 （8-164）系統(tǒng)可觀測，但 不是可觀測標準型。其對偶系統(tǒng)動態(tài)方程為 （8-165）對偶系統(tǒng)一定可控，但不是可控標準型?？衫每煽貥藴市妥儞Q的原理和步驟，先將對偶系統(tǒng)化為可控標準型，再一次使用對偶原理，便可獲得可觀測標準型，下面僅給出其計算步驟。（1）列出對偶系統(tǒng)的可控性矩陣（即原系統(tǒng)的可觀測性矩陣） （8-166）（2）求的逆陣，且記為行向量組 （8-167）（3）取的第n行，并按下列規(guī)則構(gòu)造變換矩陣 （8-168）（4）求矩陣P 的逆陣，并引入變換即，變換后動態(tài)方程為 （8-169）（5）對對偶系

9、統(tǒng)再利用對偶原理，便可獲得原系統(tǒng)的可觀測標準型，結(jié)果為 （8-170）與原系統(tǒng)動態(tài)方程相比較，可知將原系統(tǒng)化為可觀測標準型須進行變換，即令 （8-171）式中， （8-172）為原系統(tǒng)可觀測性矩陣的逆陣中第n行的轉(zhuǎn)置。 線性系統(tǒng)的規(guī)范分解不可控系統(tǒng)含有可控、不可控兩種狀態(tài)變量；狀態(tài)變量可以分解成可控、不可控兩類，與之相應，系統(tǒng)和狀態(tài)空間可分成可控子系統(tǒng)和不可控子系統(tǒng)、可控子空間和不可控子空間。同樣，不可觀測系統(tǒng)狀態(tài)變量可以分解成可觀、不可觀兩類，系統(tǒng)和狀態(tài)空間也分成可觀子系統(tǒng)和不可觀子系統(tǒng)、可觀子空間和不可觀子空間。這個分解過程稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。通過規(guī)范分解能明晰系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性，簡

10、化系統(tǒng)的分析與設計。具體方法是選取一種特殊的線性變換，使原動態(tài)方程中的A，B，C矩陣變換成某種標準構(gòu)造的形式。上述分解過程還可以進一步深入，狀態(tài)變量可以分解成可控可觀測、可控不可觀測、不可控可觀測、不可控不可觀測四類，對應的狀態(tài)子空間和子系統(tǒng)也分成四類。規(guī)范分解過程可以先從系統(tǒng)的可控性分解開始，將可控，不可控的狀態(tài)變量分離開，繼而分別對可控和不可控的子系統(tǒng)再進行可觀測性分解，便可以分離出四類狀態(tài)變量及四類子系統(tǒng)。當然，也可以先對系統(tǒng)進行可觀測性分解，然后再進行可控性分解。下面僅介紹可控性分解和可觀測性分解的方法，有關(guān)證明從略。1.可控性分解 設不可控系統(tǒng)動態(tài)方程為 （8-173）假定可控性矩陣

11、的秩為，從可控性矩陣中選出r個線性無關(guān)列向量，再附加上任意盡可能簡單的（n-r）個列向量，構(gòu)成非奇異陣的變換矩陣，那么，只須引入變換矩陣，即令 （8-174）式（8-173）就可變換成如下的標準構(gòu)造，即 （8-175）式中，為 r維可控狀態(tài)子向量，為(n-r)維不可控狀態(tài)子向量 （8-176） 展開式(8-175)，得 將輸出向量進行分解，可得子系統(tǒng)狀態(tài)方程?？煽刈酉到y(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-177）不可控子系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-178）由于u僅通過可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，故u至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部分的特性。但是可控子系統(tǒng)的狀態(tài)響應及系統(tǒng)輸出響應均與有關(guān)，不可控子系統(tǒng)對整個系統(tǒng)的影

12、響依然存在，如要求整個系統(tǒng)穩(wěn)定，應僅含穩(wěn)定特征值。至于選擇怎樣的(n-r)個附加列向量是無關(guān)緊要的，只要構(gòu)成的非奇異，并不會改變規(guī)范分解的結(jié)果。例8-34 已知系統(tǒng)，試按可控性進行規(guī)范分解。 解 計算可控性矩陣的秩 故系統(tǒng)不可控。從中選出兩個線性無關(guān)列，附加任意列向量 ，構(gòu)成非奇異變換矩陣，并計算變換后的各矩陣 , , , 可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程為 2.可觀測性分解 設系統(tǒng)可觀測矩陣的秩為，從可觀測性矩陣中選出l個線性無關(guān)列向量，再附加上任意盡可能簡單的個列向量，構(gòu)成非奇異的變換矩陣，那么，只須引入變換，即令式（8-173）便變換成下列標準構(gòu)造，即 (8-179)式中，為l維可觀測狀態(tài)子向量