第三講 多維隨機(jī)變量及其分布文檔

1、聲明：本資料由 考試吧（E） 收集整理，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出自 服務(wù)：面向校園，提供計(jì)算機(jī)等級(jí)考試，計(jì)算機(jī)軟件水平考試,英語四六級(jí)，研究生考試 等校園相關(guān)考試信息。 特色：提供歷年試題，模擬試題，模擬盤，教程，專業(yè)課試題 下載等。資料豐富，更新快！ 考試交流論壇：考試吧(E)-第一個(gè)極力推崇人性化服務(wù)的綜合考試網(wǎng)站！服務(wù)：面向較高學(xué)歷人群，提供計(jì)算機(jī)類，外語類，學(xué)歷類，資格類，四大類考試的全套考試信息服務(wù).特色：極力推崇人性化服務(wù)！讓您最便捷的在最短時(shí)間內(nèi)得到對(duì)您最有價(jià)值考試信息！堅(jiān)持每日更新!第三講 多維隨機(jī)變量及其分布考試要求1. 理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì)，理解二

2、維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度.會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率.2. 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件. 3. 掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義 . 4. 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布.一、 各種分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 各種分布（1）一般二維隨機(jī)變量 F （x, y）=P X x, Y y , x （, +）, y （, +）的性質(zhì)F （x, y）為聯(lián)合分布函數(shù) 1） 0 F （x, y）1 , x （, +）,

3、 y （, +）; 2） F（, y ）= F（x, ）=0, F（+,+）=1;3） F （x, y）關(guān)于x, y 均為單調(diào)不減函數(shù)；4） F （x, y）關(guān)于x, y 均分別右連續(xù). （2）二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布、條件分布聯(lián)合概率分布律 PX = xi , Y = yj = pi j , i, j =1, 2 , , pi j 0, .邊緣分布律 pi = PX = xi =, i =1, 2 , , p j = P Y = yj =, j =1, 2 , , 條件分布律 PX = xi |Y = yj =, P Y = yj | X = xi =. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量

4、的聯(lián)合概率密度、邊緣密度和條件密度f（x, y）為聯(lián)合概率密度 1 f（x, y）0, 2 .設(shè)（ X, Y） f（x, y）則分布函數(shù): ;邊緣概率密度: , .條件概率密度: , . 2. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性X和Y相互獨(dú)立 F （x, y）= FX （x）F Y （y）; pi j = pi p j （離散型） f （x, y）= f X （x）f Y （y） （連續(xù)型）【注】1 X與Y獨(dú)立, f （x）, g （x）為連續(xù)函數(shù) f （X）與g （Y）也獨(dú)立. 2 若X1, , Xm, Y1, , Yn相互獨(dú)立, f , g分別為m 元與 n元連續(xù)函數(shù) f （X1, , Xm）與g

5、（Y1, , Yn）也獨(dú)立.3 常數(shù)與任何隨機(jī)變量獨(dú)立. 3. 常見的二維分布（1）二維均勻分布 （X, Y ） U （D）, D為一平面區(qū)域. 聯(lián)合概率密度為 （2）二維正態(tài)分布 （X, Y ） N （1 , 2, s12 ,s22, r ）, 1, 2 0, s2 0, | r | 1. 聯(lián)合概率密度為性質(zhì):（ a ） X N （1, s12 ）, Y N （2, s22 ）（ b ） X與Y相互獨(dú)立 rX Y =0 , 即 X與Y不相關(guān).（ c ） C1X+C2Y N （C1 1+ C2 2, C12 s12 + C22s22 +2C1C2 r s1 s2 ）.（ d ） X關(guān)于Y=y的

6、條件分布為正態(tài)分布: 【 例1 】 設(shè)A，B為事件，且P（A）, P（B|A）, P（A|B） 令 X, Y（1） 試求（X, Y）的聯(lián)合分布律；（2）計(jì)算Cov（ X, Y ）；（3） 計(jì)算 .【 例2 】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X, Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X【 例3 】設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布, 且X的概率分布為 記.（I）求（U, V）的概率分布;（II）求（U, V）的協(xié)方差Cov（U, V）.【詳解】（I）易知U, V 的可能取值均為: 1, 2. 且,故（U, V）的概率分布為: V

7、U1 212 0 （II） ,而 , .故 .【 例4】 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間（0, 1）上服從均勻分布, 在的條件下,隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布, 求（）隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度; （）的概率密度; （）概率. 二、 二維（或兩個(gè)）隨機(jī)變量函數(shù)的分布1分布的可加性（1）若XB（m, p）, YB（n, p）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y B （m+n, p）.（2）若XP（1）, YP（2）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y P （1+2）.（3）若XN（）, YP（）, 且X與Y相互獨(dú)立，則 X+Y N （）.一般地，若XiN（）, i=1, 2, , n, 且X1，X2，Xn相互獨(dú)立，則Y

8、=C1X1+C2X2+CnXn+C仍服從正態(tài)分布，且此正態(tài)分布為 其中C1，Cn為不全為零的常數(shù).2. 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.【例5】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 且 則 【 例6】 設(shè)X與Y相互獨(dú)立, 其密度函數(shù)分別為: 求Z2XY 的概率密度.【 例7】設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為 （I）求；（II）求Z+的概率密度.【詳解】（I）.（II）方法一： 先求Z的分布函數(shù): 當(dāng)z0時(shí), ;當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), .故Z+的概率密度=方法二： ，當(dāng)z 0 或z 2時(shí), ;當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；故Z+的概率密度【例8】 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立, X有密度函數(shù)f （x）, Y的分布律為 試求ZXY 的概率分布.聲明：本資料由 考試吧（E） 收集整理，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出自 服務(wù)：面向校園，提供計(jì)算機(jī)等級(jí)考試，計(jì)算機(jī)軟件水平考試,英語四六級(jí)，研究生考試 等校園相關(guān)考試信息。 特色：提供歷年試題，模擬試題，模擬盤，教程，專業(yè)課試題 下載等。資料豐