數(shù)列的綜合問(wèn)題

1、10數(shù)列的綜合問(wèn)題突破點(diǎn)(一)數(shù)列求和1.公式法與分組轉(zhuǎn)化法：(1)公式法；(2)分組轉(zhuǎn)化法；2.倒序相加法與并項(xiàng)求和法：(1)倒序相加法；(2)并項(xiàng)求和法：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn=1002992+982972+2212=(1002992)+(982972)+(2212)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.3.裂項(xiàng)相消法：(1)把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.(2)常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：一1=-'.一1nn+1nn+1nn+2=墨-

2、六)正玲M2!2nh-2nh；加十局=歷f.4錯(cuò)位相減法分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知數(shù)列an,bn滿足a1=5,an=2anM+3n1(n>2,nCN*),bn=an3n(nCN*).(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)an=2an1+3n1(nCN*,n>2),.an-3n=2(an1-3n1),.bn=2bn1(nCN,n>2).>*b1=a13=20,.bnW0(n>2)=2)bi1bn是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.bn=22n1=2n.(2)由(1)知 an=bn+ 3n = 2n+3n,Sn=(2+22+2n)+(3+32+

3、3n)=2n1 +3n+172.方法技巧分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若an=bniCn,且bn,Cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求an的前n項(xiàng)和.'bn,n為奇數(shù)，(2)通項(xiàng)公式為an=J的數(shù)列，其中數(shù)列bn,Cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.fn,n為偶數(shù)錯(cuò)位相減法求和例2(2016山東高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,bn是等差數(shù)列，且an=bn+bn1.fan+1(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令Cn=.2W，求數(shù)列Cn的刖n項(xiàng)和Tn.(bn十2J解(1)由題意知，當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSn1=6n+5,當(dāng)n=1時(shí)，a1=S=11,滿足

4、上式，a1=b1+b2,11=2加+d,所以an=6n+5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即所以bn=3n+1.I.a2=b2+b3,17=2b1+3d,6一笆上6上np一(2)由(1)知Cn=n=3(n+1)2+,又Tn=C1+C2+-+Cn,3n+3得Tn=3X2>22+3X23+(n+1)>2n+1,2Tn=3X2>23+3X24+(n+1)>2n+2,兩式作差，得一Tn=3X2>22+23+24+2n+1(n+1)>2n+2=-3n2n+2,所以Tn=3n2n+2方法技巧錯(cuò)位相減法求和的策略（1）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n

5、項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比,然后作差求解.（2）在寫(xiě)Sn”與qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式.（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.裂項(xiàng)相消法求和例3數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1-2,數(shù)列bn是首項(xiàng)為ai,公差為d（d0）的等差數(shù)列，且bi,b3,b9成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)若cn=-2T(nN*),求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.(n十1bn解(1)當(dāng)n>2時(shí),an=SnSn1=2n+12n=2、又a1=S1=21

6、+12=2=21,也滿足上式,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n.則b1=a1=2.由b1,b3,b9成等比數(shù)列，得（2+2d）2=2x（2+8d）,解得d=0（舍去）或d=2,所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n.2(2)由(1)得 Cn=n+ 1 bn11=n n+1n1n+ 1,所以數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn=1,1,1, + + + . . +1X2 2X3 3X41,1,11,1_J_/Jnnxn+1223nn+1n+1n+1突破點(diǎn)（二）數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題'1.等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，主要有：（1冊(cè)合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定.義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差（

7、比）中項(xiàng)、等差（比利列的，f質(zhì)；（2浮點(diǎn)考查基本量（即“知三求二,解方程（組用勺計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題12.數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系，決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性，是高考命題的易考點(diǎn)，主要考查方1式有：（1a數(shù)列為載體，考查函數(shù)解析式的求法，或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系來(lái)求數(shù)列的通'項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和；（2強(qiáng)據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題，考查利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列的單調(diào):性、最值等問(wèn)題.:3.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn).考查方式主要有三種：（1判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān),系，如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等.（2數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立

8、問(wèn)題，求不等式中的參數(shù)的取值范圍等.（3度查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例1在等差數(shù)列an中,a10=30,a20=50.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;（2）令bn=2an-10,證明:數(shù)列bn為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn.a1+9d=30,解（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d,則an=a+（n1）d,由由。=30,a20=50,得方程組Sla1+19d=50,a1=12,解得1所以an=12+(n-1)x2=2n+10.(2)證明：由(1),得bn=2an-10=22n+1010=22n=d=2.b4門(mén)+14n,所以"bj=丁-=4.所以b

9、n是首項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.由nbn=nX4n,得Tn=1X4+2X42+nX4n,4Tn=1X42+(n-1)X4n+nX4n+1,，得3Tn=4+ 42+4n nX 4n+14f1 4nn 1f3n1 戶 4n 1+4L-所以 Tn= l一一方法技巧等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的兩大解題策略(1)設(shè)置中間問(wèn)題：分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問(wèn)題設(shè)置中間問(wèn)題，例如求和需要先求出通項(xiàng)、求通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意解題細(xì)節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同

10、一個(gè)公式表示等，這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題例2設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(nN*)(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為12/,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)證明：由已知，bn=2an>0.當(dāng)n>1時(shí)，bn=2an+1an=2d.bn所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為2a1,公比為2d的等比數(shù)列.x1(2)函數(shù)f(x)=2在(a2,b2)處的切線萬(wàn)程為y2a2=(2a21n2)(x-a2),它在x軸上的截距為a2-n2.由題意，a2|n萬(wàn)=2|ng

11、',解得a2=2.所以d=a2a1=1,所以an=n,bn=2n,則anbn=n4n.于是Sn=1X4+2X42+3X43+(n1)X4n-1+nX4n,4Sn=1X42+2X43+(n-1)X4n+nX4n1一2nn14n+1_4n.(1_3n.1_4一(3n-1廣1+4因此，Sn4Sn=4+4+4n4+=n4+='.所以Sn=-Q339方法技巧數(shù)列與函數(shù)問(wèn)題的解題技巧(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變

12、形.(2)解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問(wèn)題的解決.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題例3(2016鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=log2ai+log2a2+log2an,求使(n8)bn>nk對(duì)任意nCN*恒成立白實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(2)由 an=2n+1 可知 bn =anan +1由Sn=2an2可彳導(dǎo)ai=2.因?yàn)镾n=2an2,所以，當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSni=2an2ani,即=2.所以an=2(nC

13、N).an-1一nnn+1(2)由(1)知an=2,則bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+n=2.要使(n 8)bn>nk對(duì)任思nCN恒成立，即一一*， 一nC N恒成立.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=anan+1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.設(shè)Cn=J(n8)(n+1),則當(dāng)n=3或4時(shí)，cn取得最小值，為一10,所以kw10.即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(一8,10.方法技巧數(shù)列與不等式相結(jié)合問(wèn)題的處理方法(1)如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.(2)如果是解不等式問(wèn)題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等.

14、總之解決這類問(wèn)題把數(shù)列和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合起來(lái)綜合處理就行了.全國(guó)卷5年真題集中演練1.(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an+1+(1)nan=2n1,則an的前60項(xiàng)和為()A.3690B.3660C.1845D.1830解析：選D不妨令即=1,根據(jù)題意，得a2=2,a3=a5=a7=1,a4=6,a6=10,，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2=2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列.所以前60項(xiàng)和為S60=3030X(301)+2X30+X4=1830.2解：(1)由an+2an=4Sn+3)可知an+1+2an+1=4Sn+1+3.22一一,付an+1an+2(an+1a

15、n)=4an+1)即2(an+1+an)=an+1an=(an+1+an)(an+1an).由an>0,得an+1an=2.一2又a1+2a1=4a1+3,Il牛付a1=1(舍去)或a1=3.所以an=2n+1.(2n+1R2n+3) 22n+1 2n +.3 2n+ 313. （2014新課標(biāo)全國(guó)卷n）已知數(shù)列an滿足ai=1,an+i=3an+1.11113證明產(chǎn)+2定等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；證明：石+玄<2.解：由an+1=3an+1得an+1+：=33n+;.又a1+所以間，是首項(xiàng)為宗公比為3的等比212f22l2.2一13n一3nT12nn1數(shù)列.所以an+2=&q

16、uot;2"，即an=-2.（2）證明：由（1）知£=/一.因?yàn)楫?dāng)n>1時(shí)，312X3-，111113,&7.3n13n于是+：+3+/=2(-4. （2013新課標(biāo)全國(guó)卷I）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sa=0,Ss=5.求an的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列,1a2n1a2n+ 1的前n項(xiàng)和.n(n-13a1+3d=0,解：(1)設(shè)an的公差為d,則Sn=na1十七一d.由已知可得f解得a1=1,d=-1.2|5a1+10d=5,故an的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)由(1)知一1=1=%L_L),從而數(shù)列七一1一1的前n項(xiàng)和為一n-a2n1a2n1(3-2n

17、J1-2n)22n-32n-1|a2n1a2n+1-2n檢驗(yàn)高考能力一、選擇題2n-13211. (2017皖西七校聯(lián)考)在數(shù)列an中，an=2n-,若an的前n項(xiàng)和Sn=茜，則n=()1 .3B.4C.5D.62n-1解析：選D由an=1=1+則Sn：3：n1一2nJ,將各選項(xiàng)中的彳1代入驗(yàn)證得n=6.2 .在數(shù)列an中，a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值為()A.2500B.2600C.2700D.2800解析：選B當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=0,所以an=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2an=2,所以an=n,(1(n為奇數(shù))-(2+100)x50故an=1

18、于是S100=50+o=2600.1n(n為偶數(shù))23 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,即=1,當(dāng)n>2時(shí)，an+2Sn1=n,則S2017的值為()A.2017B.2016C.1009D,1007解析：選C因?yàn)閍n+2Sn-1=n,n>2,所以an+1+2Sn=n+1,n>1,兩式相減得an+1+an=1,n>2.又a1=1,所以S2017=a1+(a2+a3)+(a2016+a2017)=1009,故選C.的前n項(xiàng)和Tn=(B. C.2n+ 12n+ 12n2nD.二2n+ 12n+ 11n+ 14 .設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Si,S2,S4成等

19、比數(shù)列，且a3=號(hào),則數(shù)列i5151斛析：選Ca=2或a1=2.當(dāng)a1=2時(shí)，公差d=0不符合題息，舍去；當(dāng)a1=2時(shí)，公差da3a1111=-2=1,所以an=-2+(n-1)x(-1)=-n+2=-2(2n-1),故選C.二、填空題5 .已知數(shù)列an滿足an1=2+.anan,且a1=2,則該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和等于.1121斛析：因?yàn)閍1=2,又an+1=2+>Janan,所以a2=1,從而a3=2,a4=1,即得an=1 .*2 ,n=2k-1(keN)f1、i故數(shù)列的前2016項(xiàng)的和等于S2016=1008X，+2尸1512.答案：15121,n=2k(kN*)6.對(duì)于數(shù)列an,定義數(shù)列an+1an為數(shù)列an的“差數(shù)列"，若a1=2,an的“差數(shù)列”的通