數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形輔助線

1、PARTA知識(shí)講解六類與平行四邊形有關(guān)的常見(jiàn)輔助線，供借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE=CF,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié)BFBF=DE證明：連結(jié)DB,DF，設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形AO=OC,DO=OB.AE=FC.AO-AE=OC-FC即OE=OF四邊形EBFD為平行四邊形.BF=DE第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC

2、和BD相交于點(diǎn)O,如果AC=12,BD=10,AB=m，那么m的取值范圍是（）A1：二m：二11b2:二m:二22c10:二m：二12d5:二m:二6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB=CE,DC=BE,則有四邊形CDBE為平行四邊形”在MCE中，AC=12,CE=BD=10,AE=2AB=2m12-10<2m<12+10,IP2<2m<22解得1<m<11故選A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形_222_2_22求證：AC2BD2=AB2BC2CD2DA2證明：過(guò)A

3、,D分另ij作AE_LBC于點(diǎn)E,DF_LBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FAC2-AE2CE2-AB2-BE2(BC-BE)2-AB2BC2-2BEBCBD2=DF2BF2=(CD2-CF2)(BCCF)2=CD2BC22BCCF則AC2BD2=AB2BC2CD2DA22BCCF-2BCBE四邊形ABCD為平行四邊形AB/CD且AB=CD,AD=BC ./ABC=/DCF./AEB=/DFC=90° MBE三ADCFBE=CF_22_222_2ACBD=ABBCCDDA第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)

4、，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP=AB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K 四邊形ABCD為正方形AB/CD且AB=CD,CD=AD,/BAD=NBCD=/D=90°/1=/K又:/D=/DAK=90°,DF=AF/.ACDFAKAF-1-1AK=CD=ABCE=-CDDF=-AD.CE=DF2'2N CPB = 900,則 / KPB = 900/BCD=/D=90°ABCEzACDF./=N2/1+N3=90。N2+/3=90。AP=AB第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E

5、為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于F,則有MEDsAFEC,&FABs&FEC,MEDsAFAB第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1一例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，AN=BN,BE=BCNE3，交BD于F,求BF:BD解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連ZON四邊形ABCD為平行四邊形BDOA =OC,OB = OD =. AN = BN1 - BE-BC31 _1 _ON /BC 且 ON =1BC22.BE :ON =2:3BE BFON FOBF 2FO 一 3BF 2BO 一

6、5 . BF : BD =1:5綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對(duì)角線，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形,為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。PARTB綜合演練一、一般多邊行1、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H是四邊形各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平2、某風(fēng)箏廠準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏色不同的布料生產(chǎn)形狀如圖所示的風(fēng)箏，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的中點(diǎn)，其陰影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪兩種布料時(shí)，均不計(jì)余料），若生產(chǎn)這批風(fēng)箏需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？3、提出問(wèn)題：如圖所示，在

7、四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PBC與4ABC和DBC的面積之間有什么關(guān)系？探究問(wèn)題：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的，特殊的情形入手：（1）當(dāng)AP=-AD時(shí)（如圖）：211八-AP=-AD,ABP和4ABD的圖相等，Sbp=S巒bd。11八-PD=ADAP=-AD,CDP和CDA的圖相等，S療DP=-Sda。S.PBC - S3邊形 ABCDS ABP - S CDP一S四邊形ABCD一S四邊形ABCD-2 S ABD - 2 S. CDA1cc 1cc一2 S四邊形 ABCD - S. DBC -2 S四邊形 ABCD - S. ABC_ 1-=2 S . DBC 2 S

8、 ABC1(2)當(dāng)Ap= AD時(shí)，探求S點(diǎn)bc與S%BC與SmBC之間的關(guān)系，寫(xiě)出求解過(guò)程;(3)當(dāng) AP=1AD 時(shí)，Sbc S 6BC和S#BC之間的關(guān)系式為（4） 一般地,，.1當(dāng)AP= - AD （ n表不正整數(shù)）時(shí)，探求S&BC與S&BC和S#bcn間的關(guān)系,寫(xiě)出求解過(guò)程;問(wèn)題解決：當(dāng)AP=mAD 0 Mn Im 1一 <1 I.時(shí), nSb與Sb cF口 SJd bc之間的關(guān)系為二、多邊形1、如圖，如果直線m是多邊形ABCDE的對(duì)稱軸，其中/A=130那么/BCD的度數(shù)等于（）A、40°B、50°C、60°2、一個(gè)零件的形狀如圖所

9、示，按規(guī)定/A應(yīng)等于90/B、/C應(yīng)分別為21-和32檢驗(yàn)工人量得/BDC=148=,就斷定這個(gè)零件不合格，這是為什么呢?3、王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)為60cm的正方形板子，另一塊是上底為30cm,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板子(如圖)，王師傅想將這兩塊板子裁剪成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域(如圖)，由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)。(1)求BC的長(zhǎng)。(2)利用圖求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離X(cm)為多少時(shí)，矩形的面積y,2

10、(cm)最大？最大面積是多少？(3)若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長(zhǎng)。三、平行四邊形(矩形、菱形、正方形與其相同)1、如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在BC、AC上，且CD=CE,連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE,連結(jié)AF、BE和CF。(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“且”表示，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由；(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積。2、如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=1DC。2若AB=10,BC=12,則圖中陰影部分的面積為。3、如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD所在直線上兩點(diǎn)，DE=BF,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并