第四講趨勢外推法

1、 趨趨 勢勢 外外 推推 法法 一、趨勢外推法概念： 如果通過對時間序列的分析和計算, 能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經(jīng)濟(jì)變量y關(guān)于時間t的變化和趨勢,那么當(dāng)有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時,便可用此模型對該社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測,這就是趨勢外推法。 趨勢外推法的兩個假定：（1）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進(jìn)的,沒有跳躍式突變；（2）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來與過去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。 二 、趨勢模型的種類 多項式曲線外推模型：一次（線性）預(yù)測模型：二次（二次拋物線）預(yù)測模型：三次（三次拋物線）預(yù)測模型：一般形式：01tybb t2012tybb tb t230123tybbt

2、 btbt2012ktkybb tb tb t 指數(shù)曲線預(yù)測模型： 一般形式 ： 修正的指數(shù)曲線預(yù)測模型 ：bttyaettyabc對數(shù)曲線預(yù)測模型：生長曲線趨勢外推法： 皮爾曲線預(yù)測模型 ：龔珀茲曲線預(yù)測模型 ： lntyabt1tbtLyaetbtyka 三、趨勢模型的選擇方法 經(jīng)驗法: 數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)分析結(jié)合,選定模型 圖形識別法： 這種方法是通過繪制散點圖來進(jìn)行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型。 有時所繪圖形與幾種數(shù)學(xué)模型的曲線相近,可試算,計算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。

3、差分法： 利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。 差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類。 一階、二階、k階差分 廣義差分法就是先計算時間序列的廣義差分(時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分,以及相鄰項的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時間序列差分的特點,選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。 差分法識別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型環(huán)比相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型 多項式趨勢預(yù)測模型及應(yīng)用 特別:直線(一元時間回歸)模型參數(shù)估計的簡捷算法 套用參數(shù)估計公式,注意到,yt一

4、般都是等間隔的時期或時點指標(biāo)值,它與時間t并無嚴(yán)格的因果關(guān)系。時間t的取值只起到一種標(biāo)明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個取值以原點為對稱,從而有 化簡公式為 btayt0tttyTattyb12例1:某市最近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如下表所列,試預(yù)測1999年該市的工業(yè)總產(chǎn)值。年份年份199019911992199319941995199619971998t值值-4-3-2-101234工業(yè)總工業(yè)總產(chǎn)值產(chǎn)值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差一階差分分_0.60.50.70.60.80.60.8 0.8解

5、:若畫出散點圖,看出,時間序列呈明顯的線性趨勢。計算一階差分,基本上接近一個常數(shù),其波動范圍在0.50.8之間。因此,可配一元線性時間回歸模型進(jìn)行預(yù)測。 利用如上公式,易得 回歸模型為 1999年對應(yīng)的t=5 預(yù)測該年的工業(yè)總產(chǎn)值 54. 7,67. 0abtyt67. 054. 789.10567. 054. 71999y 指指 數(shù)數(shù) 曲曲 線線 趨趨 勢勢 外外 推推 法法 一、常見的指數(shù)曲線模型 指數(shù)曲線預(yù)測模型： 修正指數(shù)曲線預(yù)測模型: bttAeyttABKy 二、模型的選擇 廣義差分法 對于指數(shù)曲線,一階差比率(也稱環(huán)比)為常數(shù) 對修正的指數(shù)曲線,一階差分比率 當(dāng)時間序列算得的一階

6、差分比率大致相等時,就可以配修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測。Byyyyyytttttt2111指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應(yīng)用對指數(shù)曲線模型 取對數(shù),作變換,轉(zhuǎn)化為直線模型。為計算方便,仍然約定于是 bttAey btaYAayYbtAyttttln,lnlnln0tttttyTYTatytttYbln11ln22aeAtbteAy例2:某自行車廠最近幾年產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表所列,試預(yù)測該廠1999年的產(chǎn)量。指數(shù)曲線預(yù)測模型:預(yù)測1999年的產(chǎn)量年份19931994199519961997 1998t值-5-3-1135產(chǎn)量yt (萬輛)8.710.613.316.520.626.0環(huán)比_1.21.31.21

7、.21.3ttey1098. 08768.141 .328768.1471098. 01999ey 曲線的擬合優(yōu)度分析曲線的擬合優(yōu)度分析 實際的預(yù)測對象往往無法通過圖形直觀確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。 評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來作 為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：2()yySEn例例3:下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額(按當(dāng)年價格計算），分析預(yù)測我國社會商品零售總額 。年份時序（t）總額 （ yt ）年份時序（t）總額 （ yt ）年份時序（t）總額（ yt ）19521276.8196312604.5

8、1974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31

9、983322849.4196211604.01973221106.7（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為 y軸，年份為x軸。（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合 的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確 定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將 分別對該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。 適用的二次曲線模型為： 適用的指數(shù)曲線模型為： 2012tybbtb tbttyae（3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列 ，得到估計模型為： 其中調(diào)整的 ， ， 則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。 (4) 進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對模型 兩邊取對數(shù)： 產(chǎn)生序列 ，之后進(jìn)行普通最小

10、二乘估計該模型,最終得到估計模型為： bttyae2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29)FFlnlntya btlnty0.0627303.69ttye 其中調(diào)整的 ， ，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程： 進(jìn)行預(yù)測將會取得較好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1 ,30)FF2577.24 44.333.29tytt修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應(yīng)用對于修正指數(shù)曲線模型 一般0B1, y=K為其漸進(jìn)線水平。用三段總

11、和法來估計參數(shù),設(shè)時間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計式為ttABKy13, 2 , 1 , 0nt,ty1323122101,nnttnnttnttySySyS1111111121121211223nnnnBSSSnBBASnKBSSBASSSSB修正指數(shù)曲線預(yù)測模型 1）模型的形式 ttyKab2）模型的識別例例4 4 我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)人員總數(shù)如表4.13所示，試預(yù)測2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)。解: 繪制散點圖，如圖4.13所示。得: 所以我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)修正指數(shù)曲線模型為: 將 代入模型,得到2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)的預(yù)測值:615.641 205.667 (0.9172)tty1

12、9t 1919615.641 205.667 (0.9172)575.832y例例5:某商品1991年投放市場以來,社會總需求量統(tǒng)計資料如下表所列,試預(yù)測2000年的社會總需求量。解:描散點圖,初步確定模型;計算一階差分比率,進(jìn)一步驗證選用修正指數(shù)曲線模型是否合適; 估計模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線預(yù)測模型:預(yù)測2000年的社會總需求量:年份年份199119921993199419951996199719981999總需求量總需求量50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一階差分一階差分_1081.61.50.60.60.50.4一階差分一階差分比率比率_0.80

13、.20.940.41.00.830.8tty5556. 02719.221738.731 .735556. 02719.221738.739ty 此例反映了這樣的時間序列變化規(guī)律: 初期迅速增加,一段時期后增長量逐漸降低,而逐增長量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時間序列的發(fā)展趨勢就適宜用修正指數(shù)曲線來描述和預(yù)測。 生生 長長 曲曲 線線 趨趨 勢勢 外外 推推 法法一般產(chǎn)品(或技術(shù))的發(fā)展,基本上都要經(jīng)歷一個萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過程。這里介紹兩種能夠較好地描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型:皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。一、皮爾曲線模型及其

14、應(yīng)用皮爾(Pearl)是美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家,提出了著名的S型生長曲線模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。1tbtLyae皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預(yù)測皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預(yù)測; ;尤其適合處尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢分析與預(yù)測于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢分析與預(yù)測。 模型的識別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計及應(yīng)用模型的參數(shù)估計及應(yīng)用:令則有于是于是,可套用修正指數(shù)曲線的估計參數(shù)公式可套用修正指數(shù)曲線的估計參數(shù)公式。注意,L是生長曲線的上限,有時通過定性分析或?qū)＜易稍兯ǖ腖值往往比由公式計算得到的L值更接近實際,預(yù)測效果更好。 bttt

15、teyyyy2111111btteLaLy11btteBLaALKyY,1,1ttABKY例6:吉林省19661983年年度人口數(shù)如下表所列,試預(yù)測該省1984年以后年度人口數(shù)。年份年份t值值人口人口年份年份t值值人口人口年份年份t值值人口人口196601679.3197261962.71978122149.3196711722.1197372007.91979132184.6196821766.3197482034.51980142210.7196931808.2197592063.91981152230.9197041860.41976102092.61982162257.61971519

16、15.21977112117.91983172269.5解解:人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。通過計算時間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線趨勢預(yù)測模型為:通過計算回溯擬合值回溯擬合值與觀察擬合誤差擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當(dāng)好。但是1988年以后,預(yù)測誤差越來越大。通過調(diào)整吉林省2010年人口的上限值L,重新計算模型中相應(yīng)的參數(shù)a,修正皮爾曲線模型。對照模型調(diào)整后模型調(diào)整后的人口預(yù)測值與實際值,計算預(yù)測誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開始,修正模型的預(yù)測效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢宜用兩個皮爾曲線模型刻畫,分

17、時間段使用。tttey9016519.0475242.017625.2454475242.017625.24541035268.0二、龔珀茲曲線預(yù)測模型及應(yīng)用龔珀茲曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:其中參數(shù):0a1,0b0與皮爾曲線類似,龔珀茲曲線也適于對產(chǎn)品或技術(shù)作生命周期分析,尤其適于對各種新技術(shù)或產(chǎn)品市場容量的發(fā)展趨勢作分析與預(yù)測。模型的識別:所以,當(dāng)算得的時間序列各項對數(shù)的一階差分比率各項對數(shù)的一階差分比率幾近相等時,就可配以龔珀茲曲線模型進(jìn)行預(yù)測。模型的參數(shù)與應(yīng)用:經(jīng)變換,可化為修正指數(shù)曲線。tbtLaybyyyyyytttttt2111lnlnlnlnlnln龔珀茲(Compertz)是英國統(tǒng)計學(xué)家和數(shù)學(xué)家。龔珀茲曲線預(yù)測模型 1）模型的形式 tbtyK a2）模型的識別將其變換為對數(shù)形式abbbSnKbbbSSaSSSSbnnnlg111lg11lg121211223nnttnnttnttySySyS312321211lg,lg,lgttbaKy)(lglglg例例7 7 某品牌手機(jī)在一個中等城市的銷售量統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表4.15所示，