數(shù)學物理方法卷

1、數(shù)學物理方法英文版原序摘譯第一章引論§ 1 關于各種解的一般知識21 .例22 .已給函數(shù)族的微分方程6§ 2 微分方程組91 .微分方程組和單個的微分方程等價的問題92 .常系數(shù)線性方程組的消去法113,確定的、超定的、欠定的方程組12§ 3 特殊微分方程的求積法141 .分離變量法142 .用疊加法構造更多的解.傳熱方程的基本解.Poisson積分16§ 4 兩個自變量的一階偏微分方程的幾何解釋.完全積分171 .一階偏微分方程的幾何解釋172 .完全枳分183 .奇異積分204 .例21§ 5 一階線性和擬線性微分方程的理論221 .線性

2、微分方程222 .擬線性微分方程24§ 6 Legendre變換251 .對于二元函數(shù)的Legendre變換252 .對于n元函數(shù)的Legendre變換27$Legeudie變換在偏微分方程上的應用27§7.Cauchy和Kowalewsky存在定理301 .引言和例302 .化為以線性微分方程組343 .初始流形上的導致的確定法364 .解析微分方程的解的存在性的證明385 a.關于線性微分方程的一件注急事項426 b.關干非解析微分方程的一個附注427 .關于臨界初始數(shù)據(jù)的幾點注記.特征43第一章附錄I關于極小曲面的支持函數(shù)的Uplace微分方程44第一章附錄fl一階微

3、分方程組和高階微分方程組451 .啟發(fā)性的話-452 .兩個一階偏微分方程所成的組和一個二階微分方程等價的條件46第二章一階偏微分方程的一般理論§ 1 兩個自變量的擬線性微分方程的幾何理論491 .特征曲線492 .初值問題503 .例52§ 2 個自變量的擬線性微分方程54§ 3 兩個自變量的一般微分方程591 .特征曲線和焦線.Monge誰592,初值問題的解633 .符征作為分枝元素.補充說明.積分劈錐面.急聚流形65§ 4 完全積分66§ 5焦線和Monge方程68§ 6例691 .直光線的微分方程，(grad«)&

4、#187;-1692 .方程夕(ug,uy)=0-723 .Chiraw微分方程74目錄Vil4 .管狀曲面的微分方程755齊性關系式76§ 7 個自變最的一般微分方程76§ 8 完全積分及Hamilton-Jacobi理論811 .包絡和特征曲線的造法812 .特征微分方程的典則形式-843 .Hamilton-Jacobi理論854 .例.二體問題866例.橢球面上的短程線88§ 9 Hamihon-Jacobi理論及變分法901 .典則形式的Euler微分方程902 .短程距離或短時距及其導數(shù).Hamilsn-Jasbi偏微分方程923 .齊次被積函數(shù)944

5、 .極值曲線場.Hamilton-Jasbi微分方程965 .射線錐面.Huyghens構造法996 .對于短時距的表示式的Hilberi不變積分1007 .Hamihon-Jacobi定理101§ 10 典則變換和應用1021 .典則變換1022 .Hamihon-Jacobi定理的新證明1033 .常數(shù)的變易（典則擾動理愴）104第二章附錄I104§ 1 特征流形的進一步討愴1041 .關于在維空間中求導的一些注釋1042 .初值問題,特征流形107§ 2 具有相同主要部分的擬線性微分方程組.理論的新推演111§ 3 Haar的唯一性的證明116第二

6、章附錄U令恒定律的理論118目錄第三章高階微分方程§ 1 兩個自變量的二階線性和擬線性微分算子的標準形式123L楠喇型、雙曲型、和拋物型的標準形式.混合型1232 .例1283 .兩個自變量的二階擬線性微分方程的標準形式1314 .例.極小曲面1345 .兩個一階微分方程的方程組135§ 2 一般的分類和特征1361 .記號1362 .兩個自變量的一階方程組.特征1373 .。個自變量的一階方程組1394 .高階微分方程.雙曲性1405樸注1416,例.Maxwell方程和Dir&c方程141§ 3 常系數(shù)線性微分方程1451 .二階方程的分類和標準形14

7、52 .二階方程的基本解1483 .平面波1514 .平面波（續(xù)）前進波.彌散1525 .例,電報方程.電袋中的無畸變波1556 .柱面波和球面波156§4,初值問題.波動方程的羯射問題1591 .熱傳導的初值問題.6函數(shù)的變換1592 .波動方程的初值問題1623 .Duhamel原理.非齊次方程.推遲勢1633a.一階方程組的Duhamel原理1654 .二維空間里的波動方程的初值問題.降維法1655 輻時問迤1676 .傳播現(xiàn)象和沖ea原理168§5用Fourier積分解初值問題1691.1?？诖蜇攴e分的Cauchy方法1692 .例1713 .Cauchy方法的證明

8、173§6.數(shù)學物理微分方程的典型問題1791 .引言1792 .基本原理1833 .關于“不適定的”問題的注記1854 .關于線性問題的一般注記186第三章附錄I187§ 1 Sobolev引理187§ 2 伴隨算子1891 .矩陣算子1892 .伴隨微分算干190第三章附錄UHolmgren的唯一性定理192第四章勢論及橢圓型微分方程§ 1 基本概念1951 .Laplace方程.Poiwon方程及有關方程1952 .質量分布的勢1993 .Green公式和應用2054 .質量分布的勢的導數(shù):210§ 2 Poiwon積分及其應用2121

9、.邊值問題及Green函數(shù)2122 .對于圓和球的Green函數(shù).對于球和半空間的PoU«m積分2143 .Poison公式的一些推愴218§ 3 平均值定理及其應用2241 .齊次的及非齊次的平均值方程2242 .平均值定理的逆定理2263 .對于空間分布的勢的Poison方程231«數(shù)學物理方法_.一_4 .其它橢IHI型微分方程的平均值定理233I.邊值問踮2361 .準備知識.對邊界值和區(qū)域的連續(xù)依賴性2362 .用注bwarz交替法求邊值向題的解2393-對于具有充分光滑邊界的平面域的積分方程法2434 .關于邊界值的注圮2464a.容最和邊界值的取得2

10、485 .Perron的下調(diào)和函數(shù)法249§5 約化的波動方程.散射2541 背景2542 .Sommerfeld的輻射條件2563 .散射258§6 更一般的橢圓型微分方程的邊值問題解的唯一性2601 .線性微分方程2602 .非線性方程2623 .關于Monge-Empire微分方程的Hellicb定理2634,極大值原理及應用265§7 Scbauder的先驗估算及其應用2691 .Schauder的估算2702 .邊值問題的解2733 .強閘函數(shù)及并應用2784 .心口0=/的解的某些性質2805 .關于橢圓型方程的進一步的結果，在邊界上的性態(tài)282

11、67;8 Rehrami方程的解285§9關于一個特殊擬線性方程的邊值問題,Leray和Schauder的不動點法291§10 用積分方程法解橢圓型微分方程2951 .特解的構造.基本解.參助函數(shù)2962 .附注299第四章附錄非線性方程3001 .擾動理論3002 .方程u)301第四章的補充材料橢圓型偏激分方程理論的函數(shù)論蛻306§1 準解析函數(shù)的定義306§2 一個積分方程308§3 相似性原理309§4 相似性原理的應用312§5 形式舞314§6,準解析函數(shù)的微分與積分316§7 例.混合型方程

12、318§8 準解析函數(shù)的一般定義320§9 擬保形性和一個一般表示定理321§10 一個非線性邊值問題323§U.Riemann映射定理的一個推廣326§12 關于極小曲面的兩個定理327§13 具有解析系數(shù)的方程328§14 Privaloff的定理的證明329§15 Schauder不動點定理的證明330第五優(yōu)兩個自變量的雙曲型微分方程引言334§ 1 關于主要是二階的微分方程的特征3351 .基本概念.擬線性方程3352 .積分曲面上的特征3403 .特征線是間斷性的曲線.波前.間斷性的傳播3414

13、 .一般的二階微分方程3435 .高階微分方程3446 特征在點變換下的不變性3467 .化為一階擬線性方程組346§ 2 一階雙曲型方程組的特征標準形式3471 .線性、半線性、及擬線性方程組347目錄2 .4=2的情形，用速矢端線變換法達到線性化350§ 3 在可壓縮流體動力學上的應用3511 .一維等嫡流3512 .球面對稱流3533 .定常無旋流3544 .關于非等嫡流的三個方程的組3555線性化的方程357§ 4 唯一性.依賴區(qū)域3581 .依賴區(qū)域、影響區(qū)域及決定區(qū)域3582 .對于二階線性微分方程解的唯一性的證明3603 .對于一階線性組的一般唯一性

14、定理3644 .關于擬線性組的唯一性3665能量不等式367§ 5 解的母emann表示3671. 初值問題3672. Riemann函數(shù)3683. Riemann函數(shù)的對稱性3714. Riemann函數(shù)及由一點發(fā)出的輻射向高階問題的推廣3725. 例373§ 6 用迭代法解線性和半線性雙曲型的初值問題3771 .二階方程的解的構造3772 .對于一階線性及半線性組的記號和結果3793 解的構造3804 .附注.解對參數(shù)的依籟性3835 .混合初值及邊值問膻384§ 7 關于擬線性組的Cauchy向gj388§ 8 對于單個的高階雙曲型微分方程的Ca&

15、quot;by問題3901 .化為一階特征組3912 .的特征表示3923 .Cauchy問題的解3944 .其它解法.HUngar給出的一個定理3955附注396§ 9 解的間斷性.激波3971 .廣義解.弱解3972 .表現(xiàn)守恒定律的擬線性組的間斷性.激波399第五章附錄I特征作為坐標的應用401§ 1 關于一般二階非線性方程的附注4011擬線性微分方程4012. 一般的非線性方程404§ 2 Monge-Ampere方程的特殊性質405§ 3 利用復數(shù)域由橢18型轉變?yōu)殡p曲型的情形408§4在橢圓型情形中解的解析性4091 .函I數(shù)論的注

16、記4092 .=y.u,p,q）的解的解析性4103 .關于一般微分方程"（"，夕,AP，%廠，$，£）=0的注記413§5.對于解的延拓使用復數(shù)量413第五章附錄II瞬態(tài)問垣與Heaviside運算微積415§ 1 用積分表示解瞬態(tài)問題4151 .顯例.波動方程4152 .問題的一般性提法:4173 .Duhamel積分4184 .實驗解疊加法421§ 2 Heaviside算子法4231 .最簡單的算子4232 .算子實例及應用4253 .應用于傳熱問題4294 .波動方程4315 .運算微積的原理所在,其他一些算子的解釋432&

17、#167; 3 瞬態(tài)問題的一般理愴4371 .Laplace變換438目錄k2 .用lapEce變換解瞬態(tài)問題4403 .舉例.波動方程與電報方程444第六章多于兩個自變最的雙曲型方程引言450第一部分解的唯一性，構造，與幾何性質451§1二階微分方程.特征的幾何性質4511 .二階擬線性微分方程4512 .線性微分方程4543 .射線或雙特征4564 .特征曲面作為波前4575 .特征的不變性4586 .射線卷面,法錐面，射線劈錐面4597 .與Riemann尺度的聯(lián)系4618 .對射變換4629 .Huyghem的波前構圖法46410 .類空間曲面.類時間方向465§

18、2 二階方程.特征的作用4651 .二階間斷性4662 .沿特征曲面的微分方程4673 .間斷性沿射線的傳播4684 .例證.三維空間里波動方程Cauchy問題的解469§ 3 高階算子的特征流形的幾何性質4711 .記號4712 .特征曲面,特征形，特征矩陣4733 .特征條件在時空中的解擇.法錐面與法曲面.特征零化矢量與本征值4744 .特征曲面一波前一的構造.射線，射線鏈而，射線劈垂面4765 .波前與Huyghens的構圖法.射線曲面與法曲面4786 a例.4806不變性4817 .雙曲性.類空間流形，類時間方向4818 .對稱雙曲型算子4849 .高階對稱雙曲型方程4851

19、0 .多重特征曲面葉和可約化性48611 .關于雙特征方向的引理487§3a.例.流體動力學，晶體光學.碳流體動力學4891 .引言4892 .流體動力學微分方程組4903 .晶體光學4924,法曲面和射線曲面的形狀4945 .晶體光學的Cauchy問題4986 .磁流體動力學500§ 4 間斷性的傳播和Gauchy問腰5041 引言5042 .一階方程組的一階導數(shù)的間斷性輸運方程5043 .初始值的間斷性.理想函數(shù)的引入.前進波5064 .一階方程組的間斷性的傳播5095-重數(shù)不變的特征5115 a.間斷性沿高于一維的流形而傳播的例子.錐形折射5126 .初始間斷的分解和

20、Cauchy問題的解5136a.恃征曲面作為波前5157 .用收斂的波展開式解Cauchy問愚5168 .二階和高階的方程組5169 .補注.弱解.激波518§ 5 振蕩的初始值.解的漸近展開式.向幾何光學的過渡5191 .前注.高階前進波5192,漸近解的構造5203 .幾何光學523§ 6 初值問題的唯一性定理和依賴區(qū)域的例子525目錄1 .波動方程527分方程“一A"+7f=0（Darboux方程）3.真空中的Maxwell方程528§ 7 雙曲型問題的依賴區(qū)域5301 .引言5302 .依賴區(qū)域的描述531§ 8 能量積分和一階線性對稱

21、雙曲型方程組的唯一性定理5321 .能量積分和Gaucby問題的唯一性5322 .一階的和高階的能量積分5343 .混合初邊值間煙的能量不等式5364,對于單個二階方程的能量積分539§ 9 高階方程的能址估計5401 .引言5402 .關于高階雙曲型算子的解的能量恒等式和不等式.Leray與GArdiog的方法5413 .其它方法544§ 10 存在定理5461 .引言5462 .存在定理5473 .關于初始值性質的持久性和關于相應的半群的一些注記Huyghens小原理5494 .聚焦.可微性非持久的例子5515 .關于擬線性方程組的注記5526 .關于高階方程或非對稱方

22、程組的注記552第二郃分解的表示553§ 11 引言5531 .概述.記號5532 .一些積分公式.函數(shù)的平面波分解式554§ 12 常系數(shù)二階方程5581 .Cauchy問題5582 .波動方程的解的構造5593 .降維法5634 .解的進一步的討論.Huyghem的理5645 非齊次方程.Duhamel積分5676 一般二階線性方程的Cauchy問題5687 .輻射問題571§ 13 球面平均法.波動方程與Darboux方程5741 .關于平均值的Darboux微分方程5742 .與波動方程的聯(lián)系5753 .波動方程的播射問題5784 .廣義前進球面波579&

23、#167;13 a.用球面平均法解彈性波的初值問題580§14 平面平均值法.對于一般常系數(shù)雙曲型方程的應用5841 .一般方法5852 .在解波動方程上的應用588§14 a.在晶體光學方程和其它四階方程上的應用5901 .Cauchy問題的解5902 .解的進一步的討愴.依賴區(qū)域.隙嘉595§15 Cauchy問題的解作為數(shù)據(jù)的線性泛函.基本解5981 .說明.記號5982 .借助于d函數(shù)的分解來構造輯射函數(shù)6013 .輾射矩陣的正則性6033 a.Huyghens一般原理6044 .例子.特殊的常系數(shù)線性方程組.隙窩定理6055.例子.波動方程6066 .例

24、子.關于單個二階方程的Hadamard的理論6097 .進一步的例子.兩個自變量.注記613§ 16 超雙曲型微分方程和一般常系數(shù)二階方程6131 .Asgeirsson的一般平均值定理613目錄xix2 .平均值定理的別證6163 .在波動方程上的應用6174 .波動方程的特征初值問題的解6175 .其它應用.關于共焦橢球族的平均值定理619§ 17 對于非類空間初始流形的初值問題6211 .由中心在一個平面上的球上的平均值確定的函數(shù)6212 .在初值同踮上的應用623§ 18 關于前進波的注記，信號的傳播和Huyghens原理6261 .無畸變前進波6262

25、.球面波6283 .輻射與Huyghens原理629第六章附錄廣義函數(shù)分布631§1 .基本定義和概念6311 .引言6312 .理想元6313 .記號和定義6324 .叁積分6335 .線性泛函與算子一一雙一次形6336 .泛函的連續(xù)性.試探函數(shù)的支集6357 .關于連續(xù)性的引理6368 .幾個輔助函數(shù)6369例637§ 2 廣義函數(shù)6381 .引言6382 .用線性微分算子去定義6383 .用弱極限去定義6404 .用線性泛函去定義6415 .等價性.泛函的表示6426 .幾個結論6447 .例子.d函數(shù)6448 .廣義函數(shù)與通常函數(shù)的等同6459 .定積分.有限部分6

26、47§ 3 廣義函數(shù)的演算:6491 .線性運算6502 .自變量的代換6503 .例子.d函數(shù)的變換6514 .廣義函數(shù)的相乘與裕積652§ 4 撲注.理愴的飾修6531 .引言6532 .試探函數(shù)的它種空間.空間.Pourier變換6533 .周期函數(shù)6554 .廣義函數(shù)與Hilbert空間.負范數(shù).強定義6565關于其它種類的廣義函數(shù)的注記657文獻目錄:659英漢名詞對照表676本卷實質上與第一卷無關，是從數(shù)學物理的觀點來處理偏微分方程理論的.在簡短的第三卷中將論及存在性的證明和用有限差分法以及其它方法構造解.第一章引論我們從描述基本概念、基本問題以及求解的拓本路線

27、這樣入門的一章開始.一個偏微分方程是以形如歹（M,乂，“，”中Uy.，"”，）=0（1）的關系式給出的.這里，"是變量乜夕，名勺/，爐”“，的函數(shù)；自變量叫6的函數(shù)MW多）是要尋求的這種函數(shù)，就是當我們把“（MV。和它的偏導數(shù)dudu“常力=可，,d2ud2u“必，”=硒？，代入"時，能使得方程（1）對于這些自變量恒成立.這種函數(shù)”（兄外）叫做罩承？點手的"我們不僅要注意單個的“特軍舉而且要研究¥的串件，特別是&突出#（i）再增加若干條件時的城性一''當自變量的;數(shù).為一時，偏微分方程（D就變成常微分方程.在微分方程中出

28、現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階.我門經(jīng)常把自變量科夕，-限制在叫丹空間的一個特定域內(nèi)；同樣，我們也只在心外,/,“廣空間的被限定的一部分內(nèi)來考慮吃這種限制表明，我打只考慮在X，»空間的基本域上滿足對尸的相應變元所設的條件的那些函數(shù)“（4,”）我們從此規(guī)定，我們的一切考慮都是對選取得足夠小的區(qū)域而言#數(shù)學物理方法的.同樣，除非有相反的聲明，我們總假定一切遇到的函數(shù)都是連續(xù)的并具有所遇到的各階連續(xù)導數(shù)上如果V對于變量4"V，-是線性的且系數(shù)只依賴于自變量巴的話，微分方程就叫做多性弧如果"對于最高階S階）導致是線性的，而系數(shù)依賴于明”并可能依法早二以及“的一直到一

29、1階導數(shù)的話，那末微分方程就叫做擬線性的.我們主要是討論線件的或擬線性的微分方程，對千更一般的微分方程，通常都是杷它們化為這種類型的方程再作討愴.在只有兩個自變量心少的情形下，可以把微分方程（1）的解夕）想象為一張幾何曲面機外“空間中的一張“積分曲面”.§ 1 關于各種解的一般知收.1.例對于一個階常微分方程來說，它的解的總體（除掉可能的“奇異”解外）是自變最的函數(shù)，它還依賴于個任意的積分常數(shù)q,.,呢反之，對于每一含個參數(shù)的函數(shù)族“=0（%;qg,7）,有一個以“=6為解的階常微分方程，這微分方程可由方程“=6（力；，,、,c”）和，個方程（牝ct,C2，一,J）,仆）=。5（力；

30、Cg,C2,Cn）消去參數(shù)%,“而得到.對于偏微分方程來說，情形要復雜得多.這里我們也可以尋求解的總體或“一般單。也就是可以尋求這樣的解，當某些“任意的”元素被固定后，它就表示每個個別的.（仍舊要把某些“奇異”解除外）.在偏微分方程的情形中，這種任意元素不能再以積分常數(shù)的形式出現(xiàn)，而必定含有任意函數(shù)，一般晚來,這些任意函數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù).這些任意函數(shù)所依賴的自變量比解“少一個.這種狀況的莫確切的敘述包含于§7的存在定理之中.在本節(jié)中，我們只通過探討幾個例千來羅列一些知識.1）在求解方程組14,我們也愈是考慮一個點的鄰城，在這個點處相亶的Ja8bi式不為零.數(shù)學物理方法笫一章

31、引 論i）函數(shù)“a，刃的微分方程獷嶗褻明“不依賴于川因此“=w.這里卬（”）是4的任意函數(shù).2）對于方程，尸0,可立即得到一般解”=w（4）+0（夕）.3）同樣，非齊次微分方程=/（#y）的解是夕）=J,J,/延，q）+”（y）,其中卬和加是任意函數(shù)產(chǎn)。和九是常數(shù).一般說來，我們可以用二重積分來代替這個積分，只要取口，如圖1所示的“三角形”，作為積分域就行.這域的曲邊是曲線G夕=8（町或/=氣力，它與直線”=常數(shù)，或，=常數(shù)中的任一條相交不超過一次.這樣一來，就有，“（"，）="'（卻叩）dfd牛+卬（*）+»（y）,Q"£/（&quo

32、t;"）"""（）+：/紇，）延+“（八這微分方程當卬（%）="=0時的特解對曲線C上所有點（斫y(tǒng)）滿足條件=4）偏微分方程經(jīng)變最代換%+夕=，*一，=%"(與y)=(f>v)231t=0.這個變換后的方程的“通解”為紛=以與；所以m=ip（«+y）9同樣，如果。和F是常數(shù)，那末微分方程叫+,與=0的通解就是u=w（x一ay）95）根據(jù)微分學的基本定理，當g（*.y）是心，的任意已給函數(shù)時，偏微分方程“夕廣濟=0表示出夕關于明夕的Jacobi式翳整等于零.這就意味著“依賴于g,即y）其中是最R的任意函數(shù)反之，由于每個形

33、如（3）的函數(shù)“都滿足微分方程。一“述=0,所以我們?nèi)】跒槿挝液瘮?shù)就得到解的總體.值得注意的是，對于更一般的一擬線性的微分方程。«»（明,，“）一”*（ay.“）=0,有同樣的結果，這里4不僅明顯地依賴干*外而且也儂賴于未知函數(shù)（象yW為，我們知道,任何解為*y）&為*，,的Jacobi式為零，這是由于的緣故.所以，在此情形下，方程的解由關系式“（去，夕）亍引03,，“）給出，這是用任意函數(shù)歷規(guī)定的“的隱函數(shù).例如，微分方程的解是用“=ifq(u),+8(4)/（或用a（“）y+800"=卬（"）規(guī)定的隱函數(shù)，所以“以更覽晦的方式依賴于任意隋數(shù)卬

34、（在§7,1中將給出一個應用）.方程是微分方程a（u）人一次”>>=0的一種特殊情形.晦函數(shù)#數(shù)學物理 方法給出它的解.其中正是任意函數(shù).如果把，）解擇成在點4=以/處的質點隨時間y運動的速度，那末上述激分方程就說明一切質點的加速度都等于零.6）二階偏微分方程“"一”=0經(jīng)過作變換4+“=§，>=.“（力，）=口（占I?）后,變?yōu)?-=0.因此,根據(jù)例2）,它的解是“（明,）=卬（+夕）+”（*-，）7）仿此可知，微分方程JL*yy=O對于參數(shù)，的任何值有通解“二卬（%+少）+”（力一少）.特別是，函數(shù)“=（%+少尸和u=（%一，夕尸都是解，也就

35、是"修，一“yy對于一切明夕以及一切實的f都等干零8）根據(jù)初等代數(shù)，如果一個，的多項式對干一切實的'值為零，那末它對于一切復的，值也為零.因此，如果作代換'=：=/=?,則例7）的微分方程變?yōu)槎鄽q程A“三%,+"燈=0對于這個方程，我們得到形如（x+iy）n+£（?（*.辦（x-iy）n=Pn（x,夕）-iQ£*,y）的解，這里P”及Q”是具有實系數(shù)的多項式，它們本身必定都滿足位勢方程叱令。取遍0、1、2、等數(shù)，就得到勢方程的無窮多個解，但與前面的例子相比所不同的是，到此為止只有可數(shù)個解.使用由牛8仇,=廠*詒。規(guī)定的極坐標。，則蹲P式*

36、.夕）=廠"88/1&Q”（,夕）=，"sin"8.（6）對于任何實的。，函數(shù)Po（«,夕）=7金nag.Q9（x,y）=ra«inad在*,夕平面的除去原點/=y=o的任何域上，也都滿足勢方程.在把變換為極坐標（參考卷1第174頁）.之后立即就可以驗證這一點.如果我1這樣選取兩個函數(shù)wQ）及“。），使得積分Jw（a）r“cota,da和Jv（a）r®siaa8da的一階及二階導數(shù)能第在積分號下微分而得到，那末我們就能造出依賴于兩個任意函數(shù)卬和”的解族，它的形狀是J'r（w（a）cos+v（a）sina0）da99）作

37、為高階微分方程的例子，我們考慮U9yy-01它的通解是y）=卬（夕）+%卬1（,）+沙（力）+?j（/）.10）如果自變量的個數(shù)大于2,那末在通解中就會出現(xiàn)依賴于兩個或更多個變量的任意函數(shù).例如，關于“（*名）的微分方程“=0的通解是“=卬（欠.夕）.2.巳給函數(shù)族的微分方程在第1小節(jié)中說過，我們能夠造出為一個已給的依賴于幾個任意參敏的函數(shù)族0這些解說明一個愛變W的W折函數(shù)的實描與啜部都濡足處方程，即它們是調(diào)即函數(shù)這個事r實.第一章引 論所滿足的常微分方程.現(xiàn)在提出如下的問題：能否造出一個含“個自變量的偏微分方程，為一個依賴于一個任意函數(shù)（一1個自變量的函數(shù)）的函數(shù)族所滿足呢？作為例子，考慮形

38、如“=/，夕，卬（4，夕）（7）的函數(shù)集合，其中/是變元力，外卬的已知函數(shù),g（W夕）是孫夕的已知函數(shù)，例如4=#夕.要想得到一個關于這個函數(shù)集的偏微分方程，我們將方程（7）對#和夕微分8，=/.+f3Mzg.,Uy=fy+ffgy.消去“，就得到所需要的微分方程（%一/“）gy-（Uy-fy）g產(chǎn)0,（8）這里出現(xiàn)在3和fy中的任意函數(shù)”是利用方程（7）把它表示為與多U的函數(shù)的.這樣得到的偏微分方程是一種特殊類型的、即擬線性的方程，因為它所含有的導數(shù)是線性地出現(xiàn)的.因此，像（7）這樣的函數(shù)集對于引出各種一階微分方程尚不夠一般.不過，如果我們由兩個參數(shù)的函數(shù)族=/（%.yChB）出發(fā)，而不用依

39、賴于一個任憊函數(shù)的函數(shù)集，并做出導數(shù)%=/（4,；aB），%=/,（明第a夕），那末我們就有三個方程,從它們通常都能消去a和萬（一定要3Jye-f"/尸#o）.這樣就得到偏微分方程（“，”“，%“0=0,這方程一般說來，對憶和不會是線性的.上述這類限制得更窄了的解卻引出了更一般類型的微分方程，這個疑問將在§4中解決.知1）對于函數(shù)集uw（xy）來說，由方程UyXUZ第一章引 愴9消去"，就得到微分方程力.一尹尸0.若將叫y解釋為直角坐標，則這集合中的每個函數(shù)在幾何上都表示一張曲面，這曲面與水平面質交線是等軸雙曲線.2)一平面曲線繞“軸旋轉所產(chǎn)生的一切旋轉曲面由“=

40、卬(42+,)給出.相應的微分方程是%一“與=03)類似地，,是由經(jīng)過軸的水平直線所形成的直紋曲面即用uw(x/y)所表示的曲面的微分方程.4)可展曲面是單參數(shù)平面族的包絡.一切可展曲面的微分方程是由這個定義推出的.除掉垂直于明夕平面的柱面外，所有這種曲面都由函數(shù)M=a#+w(a)夕+D(a)(9)給出，其中。由方程0=*+u/(a)夕+t/(a)(10)定義為與及”的政函數(shù).因此以更覽晦的方式依賴于兩個任意函數(shù).由(9)立即得到一階導致。gaK=a,產(chǎn)w(a),故得“產(chǎn)卬(%).(11)為了消去任意函數(shù)卬，我們再微分一次，得到(12)它就是所求的除去垂直于夕平面的柱面以外的一切可展曲面的微分

41、方程.在所有這些例子中，容易證明反過來也是正確的，即相應微分方程的一切解都屬于給定的函數(shù)集.5)變最犯，啊,，“的一切。次的才直審鳥“(孫，外.Q)由對，恒滿足的條件“。孫，."幣)=尸”(與，42,，*/»)(13)描繪出來.若令，=4,則得“(孫，/?./")祗：,.1<,1)3因此“可用某個函數(shù)卬表示為“=岬住，言至)反之，由干用«-1個變元的一個任意函數(shù)所形成的每個這種函數(shù)U都滿足上面的齊性條件，所以(14)式表示所有的a次齊次函數(shù).為了得到這個函數(shù)集的偏微分方程，我們?nèi)》匠?14)的關于變量/I，筮方，3的導致并消去函數(shù)匕這就產(chǎn)生了Eul

42、er齊性關系式*4+%/+*/,=au.9(15)/T不過,將方程(13)對，微分并令，=1就能直接得到關系式(15).反之，函數(shù)”(與，。一，%)的齊性關系式(15)意味著所以表達式“a町，次小，)/產(chǎn)是不依賴于，的函數(shù)，因此它等于它在<=1時的值，這值就是“(近，匕,時).但根據(jù)(13),這就表明“是齊次的.§ 2 微分方程組1 .微分方程組和單個的微分方程等價的問題對于常微分方程來說，單個微分方程的理論與微分方程組的理論是等價的.對于偏微分方程來說情況就不同了.二階常微分方程夕.夕'，夕")=0(1)經(jīng)過代換，'=z后，就能化為對于兩個函數(shù)夕8)

43、，z(%)的兩個一階微分方程所成的方程組夕，«.吟=0,j-夕一z=0.微分方程（1）的每個屏導致微分方程組（2）的一個解，反之亦然.一般晚來，對于兩個函數(shù)八#）和z（Q的兩個一階常微分方程所成的組z.y，）=0,g（明,，«.y.«,）=0（3）都可化為對于一個函數(shù)（*）的一個二階微分方程，只要在所論域內(nèi)，聲0.這樣就能夠由方程（3）解出“和z而成為=6（科夕,夕'），="（/,，/）（3a）微分第二個方程并消去/就得到6（明夕，,'）一".一，'一"）/，"=0,（3%這是一個只對的二階微分方程.

44、如果將這方程（3b）的解代人關系式名=W（陽片/）,那末就得到相應的函數(shù)駕它和夕一起，就是原來的方程組（3）或（3a）的解.因此，只要假定六0,方程組（3）就確實等價于單個的微分方程.現(xiàn)在考慮關于函數(shù)”（應夕）的二階偏微分方程但夕，/，“y%,%，«yy）=0.（4）作代換%得到關于三個函數(shù)"，p,。的三個一階偏微分方程所成的組，（品”",P，%P中Py9y）=0,yP=0,（5）”,q=o,由這方程組的每個解MB9所得到的“就是微分方程（4）的一個解，反之，由（4）的每個解“可導出（5）的一個解組出與.因此,一個二階偏微分方程等價于三個一階微分方程所成的組（不過

45、是一個特殊形式高組）.但反過來并不對.含兩個一階偏微分方程的方程組并不都等價于一個二階微分方程；,：蒜用說含三個一階微分方程的方程組了.一般說來,不能用微分法和消去法由對兩個未知函數(shù)“總）和火冬夕）的含兩個偏微分方程1）不過,我們在§7中將51到對微分方程組曲上某些限制解縱的“協(xié)始條件”,就能得的這種等價性有關等價性的向JH見附錄2.數(shù)學物理方法/(*,y,u,5弓,右,vy.vv)=0,(6)g(航y(tǒng)tu.”，y.%,urvy)=0t的方程組揖出只對"的一個等價的二階偏微分方程.對“和尸求導又得出四個方程,為了用一個等價的對“的二階偏微分方程來代替方程組(6)，必需從這六

46、個方程消去六個量L不過，由六個方程消去六個量一般是不可能的.舉個反例就可說明再微分并比較方程的個數(shù)和所要消去的fit的個數(shù)，我們看出，無法找到代替方程組(6)的單獨一個方程，即使我們不限制它的階數(shù).例如，若再對這六個方程的每一個求導，就得到十二個關系式，要想得到一個只對的三階微分方程，我們必需消去十個量5匕,.V”.V9tr%,»"九因為由十二個方程消去十個量往往得到兩個獨立的關系式，所以，除了特殊情形外，消去的結果必然處單獨對“的兩個不同的三階方程2,.2.常系數(shù)線性方程組的消去法值得注意的是，與一般情況相反，下面的定理對一種質要的特殊情形成立，由任何含個未知函數(shù)的具有常

47、系數(shù)的線性微分方程組”能夠得到對任一個未知函數(shù)的二有常系鼠的第個后、性質分方良.*j是自變量=；,：漏未知函數(shù),并設&q是微分符號備，言，言,的多項式，例如入(備備,備,)=EX"扁；嬴；系數(shù)是常數(shù)，那么方程組可形式地寫做p(備,備,X+Q|(條,備,+=g/4.,)U經(jīng)過消去法和微分法不能導至一個二階方程的這種方程組的一個例子是方程組，+。外。+巧->%這兒我們得到對一個(超定的)函數(shù)U的兩個三階方也d(興”，廠3u+u”_H0.2)見上面的附注3)定義見笫3小節(jié).匕（含,4'）”+q«島,去,卜+=&式%多）,右邊的陽北一是已知的.現(xiàn)在使用

48、形式的代數(shù)消去法（Cramer法則），得到對于客個函數(shù)的微分方程8Du=G1.Dv=G其中是符號瑪.Q,.的行列式，而。是函數(shù)心的一個適當?shù)姆柧€性組合.顯然D是一個線性微分算子，它的階就是符號多項式。的次數(shù)（而D的次數(shù)依賴于P,，Q”的次數(shù)）.符號。表示對應干行列式。的子式的微分算子.在特殊情形下,若原方程組是八個一階方程組成的，即，若多項式P”Q,是線性的，則運算結果所得到的方程一般說來是“階的假定是運算結果所得較高階方程之一的一個解，那末將“代入已給方程組后，就可略去原方程之一，因為這時方程組是相關的了.于是就得到減少一個方程的關于以的方程紈.這個組可象原來的方程組一樣處理，并且經(jīng)過消去

49、法性到微分方程O'=G叫這里D*是行列式D的一個子式.循此繼續(xù)做下去,原方程組就可用階數(shù)遞減的獨立方程的序列Du=G1.0"=G",來代替.3.確定的、超定的、欠定的方程組、兩個自變量的偏微分方程組的一般形式是瑪（4.y.“3,“？，“"*，讓啰，4）4/）=0«=1,2,力就是.由自變量力和，加m個函數(shù)"”小幻，.的h個方程所構成的方程組.假定這個方程是獨立的，就是說,它們之中沒有一個能從其它的方程經(jīng)過微分法和消去法而推導出來.若&=九這方程組就稱為確定的方程組,若h>m、則方程組稱為是超定的，若4<肛則稱為是欠定

50、的.兩個函數(shù)夕），（#,）的Gauchy-Riomann微分方程，一%=o,9+%=0是確定的方程組之例.對于這個特殊的方程組經(jīng)過微分法和消去法容易得出“和”分別滿足的偏微分方程A=0和A”=0（參考第1小節(jié)），即“和。是“調(diào)和”函數(shù).對于一個函數(shù)”（科外的超定方程組的最簡單的例子是#數(shù)學物理方“，=/（*,）.,=g（多，）.如所周知，它當且僅當于產(chǎn)g*時才能解.由兩個復變量Z=*|+0,叼=%+£夕2的解析函數(shù)/（Z，Z2）的理愴亮供了一個更有趣的例子,表示函數(shù)/“rzD=+0的解析性的Gauchy-Kiefnano微分方程組是(8)%=，%=%.，%,=一%/%，=-4，經(jīng)過微

51、分之后，這幾個方程導致如下的對一個函數(shù)”的超定方程組，+“九，,=0，%.+u，、，,=0，（8'）“跖+。，%=0，。,力一“,，,=°這個方程組是高度超定的，這件并表明多個復變量的函數(shù)的理論本質上比一個復變我的函數(shù)的古典理論復雜得多.如果我們用關系式引入+1個“齊性變量”孫，«!.，/7來代替n個變量夕,一，我打就得到超定方程組的第三個例子.函數(shù)”（居夕，）就變?yōu)楹瘮?shù)8（句，叼，），它是新變量的零次齊次式，所以，它滿足的齊性關系式4|S.+*w.+=（）函數(shù)”（M“）關于名,，的一階偏導致可用函數(shù)S（孫，4）的導數(shù)表示出來.”,=盯3/，因此,已給的對“的一階偏

52、微分方程/（4,y.-«.a.u9.）=0變?yōu)閷瘮?shù)3（%.孫）的如下形式的一階偏微分方程，.（#,盯，）,S.,）=（）,而齊性關系武孫（0%+=（）是一個附加的方程,代替一個微分方程，我外得到兩個方程組成的超定方程組.如果我們引入齊性變量來變換微分方程組的活，當然，會得到類似的情形.我們知道，方程是表示兩個函數(shù)“夕）和火水的Jaabi式恒等于零的.這方程是欠定方程組的一個例.這方程蘊含著”在“和"之間有關系式'.1/）=0,這關系式不顯含自變量/和”它就表示這個欠定微分方程組的“通解”,對于變量航，沙，時的個函數(shù)“八小”，“g來說,Ja8bl式為零.一般地表示&

53、#171;個函數(shù)小叫，的°之間有依賴關系,(10)因此,關系式（10）可以看做是欠定微分方程組（9）的通解.以后，在第二章和第三章中我們將回到解各種類型的欠定先分方程組的問8L§ 3 特殊微分方程的求積法1 .分離變量法對于數(shù)學物理中的許多微分方程問題來說，可用特殊的方法求得依賴于任意參數(shù)的解族，不過這些方法不能直接給出全部解.這些方法中最重要的是分離變量法.這個方法將用一些例子來說明.1）考慮方程U，看§1,1,例5）.2）同樣地.我示的«.y平面到平面的保積變換（即保持面做不變的變換）的欠定方程y,、匕】的解培。力伊其中8是朝足F為條件的任意函數(shù)：蕓

54、嗡'*T,"*一.、,/吼第一章引 論15假定夕）=6（%）+叭,），則得9'>+加夕=1或SO=1-（"），.因為右邊不依懶于乂而左邊不依賴于%所以兩邊都不依賴于*也不依賴于>.即等于同一常數(shù)因此立即得到含有兩個任意參數(shù)。和f的解族“（4,y）=，#+/1-a,夕+f.（1）2）類似地，對于三個變量叫夕，名的函數(shù)”的微分方程來說，如果假定u=O（%）+WG）+Z（z）,則得到依第于三個任意參數(shù)a,d，的解.族u=a%+f，+/i一砂一夕一九（2）3）把這種試驗性的假設+叭夕）用于微分方程/（%）+«（，）-=（%）+"夕）象

55、前面的例子一樣，得到3）=£/嚼必若+/：/薩向+夕，其中a和f是任意常數(shù).4）將自變置變換后，往往能使變量分離,例如，將天體力學的.華用手中出現(xiàn)的對于“（瑞夕）的方程.藝+嶺=9-A（八=蠟+夕。4/是常數(shù)），變換為對極坐標，&的函數(shù)“&，8）的方程磅十&u；=J*_h或r哨+嗎二版"2.用公式（3）就得到依賴于兩個任意參數(shù)a,F的解族'18學物理方法y-一h-%dp+a8+B（4）5）在線性微分方程的情形中，特別見對那些二階的來說，假設“（上，,）=6（力）叭，）往往是有用的（在卷I第五章§3-§9中給出了幾個例子）,

56、對于傳熱方程%叼=0，（5）我們得到色）'（夕）叩（，）,所以左右兩邊必定都是常數(shù).我們可以假定這常數(shù)是正的，也可以假定它是負的，因此可用"或一"來表示,于是就得到兩個解族“=asinh，（"一a）e-，u=asin”（k-a）。一"，.后者在數(shù)學物理中起著特殊的作用；如果是溫度力是時間產(chǎn)是空間坐標，它就表示隨著時間的推移而趨向零的溫度分布.2 .用集加法構造更多的解.傳熱方程的基本解.Poi=。口積分由線性微分方程的含有參數(shù)的解，用累加法,積分法，和微分法可作出更多的解因為在卷I第五章中給出了許多這種例子，這里只再討論幾個.要想得到傳熱方程的另一個解，我們將解ef'，8s”對參數(shù)/從一8到8積分,就得到新的解u=J*e-*ycosTfXdr（夕0）.容易算出右邊的積分“，得到“=/牝(6)1）力了算出這個積分，作換吁，得到枳分其中而J（a）（aZ）cU.為了定出J（a）,我們在取分號下微分以求出/（，）Z（a）->J*小Ztin.HZ：用分部積分法，立即得到，（<0-又由月按計算出知0）_一由此得到因此（6）成立.19數(shù)學物理方法這就是傳熱方程的“基本解”.作為疊加原理的第二個例子，我們給出關于網(wǎng)片T=”斗，Ui上的?與隼A=0的