數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義極限與導(dǎo)數(shù)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第十四章極限與導(dǎo)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)1 .極限定義：(1)若數(shù)列un滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)£，總存在正數(shù)m當(dāng)n>m且nCN時(shí)，恒有|Un-A|<£成立(A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列Un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為limf(x),limf(x),另外limf(x)=A表示x大于x()且趨向于x()時(shí)f(x)極限為A,稱右x.x.x_x0'極限。類似地limf(x)表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。x_xo-2 極限的四則運(yùn)算：如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么limf(x)±g(x)=a土X閻X/x及b,lim

2、f(x)?g(x)=ab,lim-f-(-x)=a(b=0).x及x為g(x)b3 .連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x。處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0),則稱f(x)xrx0x-x0在x=x0處連續(xù)。4 .最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5 .導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在xo處取得一個(gè)增量Ax時(shí)(Ax充分y小)，因變重y也隨之取得增重Ay(Ay=f(x0+Ax)-f(x0).右史0t存在，則稱f(x)在x。處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x。處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作f'

3、(x。)或y'x=x?；騞y,dx&x0即f'(x0)=limf(x)f(x。)。由定義知f(x)在點(diǎn)x。連續(xù)是f(x)在x?？蓪?dǎo)的必要條件。Xfx_x。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x。處導(dǎo)數(shù)f'(x。)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xo,f(x0)處切線的斜率。6 .幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(c)=0(c為常數(shù))；(2)(xa)'=axa，(a為任意常數(shù))；(3)xxxx(sinx)'=cosx;(4)(cosx)'=sinx；(5)(a)'=alna；(6)(

4、e)'=e；(7),、，11(logax)=-logax；(8)(lnx)'=一.xx7 .導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)W0,則(1) u(x)±v(x)'=u'(x)±v'(x)；(2)u(x)v(x)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；(3)u(x)v'(x) -u'(x)v(x)u2(x)1-u'(x)u(x)cu(x)=cU(x)(c為常數(shù))；(4)=-2；(5)=u(x)u(x)u(x)8 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=中(x)

5、,已知中(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(X(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f中(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且(f中(x)'=f'平(x)怦'(x).9 .導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；(2)若對(duì)一切xC(a,b)有f'(x)>0,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(3)若對(duì)一切xC(a,b)有f'(x)<0,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10 .極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f'(x0)=0.11 .極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x。鄰域(

6、x。-8,x0+8)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若當(dāng)xe(x-8,x0)時(shí)f'(x)«0,當(dāng)xe(x0,x0+8)時(shí)f'(x)之0,則f(x)在x0處取得極小值;(2)若當(dāng)xC(x0-8,x°)時(shí)f'(x)之0,當(dāng)xC(x0,x0+8)時(shí)f'(x)M0,則f(x)在x0處取得極大值。12 .極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-8,x0+8)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且f'(x0)=0,f''(x0)#0。(1)若f''(x0)>0,則f(x)在x0處取得極小值；(2)若f'

7、9;(x0)<0,則f(x)在x0處取得極大值。13 .羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則存在EC(a,b),使f'(與=0.證明若當(dāng)xC(a,b),f(x)=f(a),則對(duì)任意xC(a,b),f'(x)=0.若當(dāng)xC(a,b)時(shí)，f(x)wf(a),因?yàn)閒(x)在a,b上連續(xù)，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則cC(a,b),且f(c)為最大值，故f'(c)=0,綜上得證。14 .Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，

8、在(a,b)上可導(dǎo)，則存在WC(a,b),使f()_f(b)-f(a)b。a證明令F(x)=f(x)-f(b)二f(a)(xa),則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且b-aF(a)=F(b),所以由13知存在EC(a,b)使F')=0,即f'3)=f(b)-f.b-a15 .曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果對(duì)任意xCI,f''(x)A0,貝U曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對(duì)任意xCI,f''(x)<0,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16.

9、琴生不等式：設(shè)0C1,0C2,anR,a1+a2+an=1。(1)若f(x)是a,b上的凸函數(shù)，則x1,x2,xnCa,b有f(a1x1+22x2+anxn)waf(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法與例題1.極限的求法。求下列極限：(1)lim口十W+十:i；(2)n：n2n2n2na.lim (a a 0) ; ( 3)nf：1 a/lim,n(.n1-n).n.二二I.I“2222n例2求下列極限：(1)lim(i+x)(i+x)(1+x)-(1+x)(|x|<i)；n:,331'x2-1limi；(3)lim711x1-x)xTJ3xT1+x2,連續(xù)性的討論

10、。例3設(shè)f(x)在(-8,+8)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x),又當(dāng)x0,1)時(shí),f(x)=x(1-x)2,試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。3 .利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。4 .導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。5x23x-xic、，例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=sin(3x+1);(2)y=;(3)y=e;(4)xy =ln(x + Jx2 -1) ； (5) y=(1-2x)x1(x>0且x<一)。25.用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)=Jx-ln(x+a)(xC(0,+8)的單調(diào)區(qū)間。6.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7設(shè)xw(0,二)，求證：sinx+

11、tanx>2x.27.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在xi=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值,在xi與x2處是取得極大值還是極小值。并指出這時(shí)f(x)例9設(shè)xC0,兀,y0,1,試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題2n13n1nim2n+3n2.已知1nman-bn13.limn)二ji1cos2(n1)33x2-4x13x-2x224.lxmxn1(n1)xn_(x-1)25.計(jì)算lim-(1)lim(x21-x2-1)-n>二nj二6.若f(x)是定義在(-8,+oo)上的偶函數(shù)，且f&

12、#39;(0)存在，則f'(0)=7.8.9.函數(shù)f(x)在(-8,+ oo)上可導(dǎo)，且 f'(2)=1,則 lim h 0f(2 h) - f (2 - h)2h若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P坐標(biāo)為函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是,10. 函數(shù) f (x) =ln.x2的導(dǎo)數(shù)為11,1，11 .若曲線y=-r在點(diǎn)M(2,一)處的切線的斜率為一，求實(shí)數(shù)a.(x-ax)44sin a atana< <sinb btanb12 .求sin290的近似值。13 .設(shè)0<b<a<土，求證:四、高考水平練習(xí)題

13、_n-1124+21 .計(jì)算lim2二1332-3n322 .計(jì)算lim-=.xT/2x2-12x+13 .函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是x-xe_e4 .函數(shù)y=-的導(dǎo)數(shù)是ee5 .函數(shù)f(x)在x。鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù)，若f'(x0)=c,則f(x°ax)-f(x0-b奴)ljm=.-x0-x1x6.函數(shù)f(x)=e(sinx+cosx),xx=0,的值域?yàn)?27 .過(guò)拋物線x2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為.8 .當(dāng)x>0時(shí)，比較大?。簂n(x+1)x.9 .函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,xC-1,2的最大值為,最小值為

14、.10 .曲線y=e-x(x>0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為.11 .若x>0,求證：(x2-1)lnx>(x-1)2.12 .函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)f'(x)是減函數(shù)，且f'(x)>0,x°C(0,+00).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,f(x0)處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用X0,f(x0),f'(x0)表示m；(2)證明：當(dāng)xC(0,+8)時(shí)，g(x)>f(x);(3)若關(guān)于x的不等2式x2+1>ax

15、+b>2x3在(o,+8)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。113 .設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)否數(shù)列xn滿足lnxn+<1(n=NJ,證明：xnWi(nCN).xn1五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1 .設(shè)M=(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0?a1a2ian|ai只取0或1(i=1,2,n-1),an=1,Tn是M中元素的個(gè)數(shù)，S是M中所有元素的和，則limSnnf2 .若(1-2x)9展開式的第3項(xiàng)為288,則lim仕+12+L)=.nxxxn3 .設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>

16、;0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為.一101Q4 .曲線y=2x2與y=x32的交點(diǎn)處的切線夾角是245 .已知aCR+,函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為.x6 .已知f(x)=F在(a3a)上有最大值，則a的取值范圍是.1-x7 .當(dāng)xe(1,2時(shí)，f(x)=x>a(a>0)恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為.2x-18 .已知f(x)=ln(ex+a)(a>0),若對(duì)任意xCln(3a),ln(4a),不等式|m-f-1(x)|+lnf'(x)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是.9 .已知函數(shù)f(x)=ln(1+

17、x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0<a<b,證明：/、心c'a+b'0<g(a)+g(b)-2g|<(b-a)ln2.<2)10 .(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值；(2)設(shè)正數(shù)P1,P2,，p2n滿足P1+P2+P3+-+p2n=1,求證：P1lOg2p1+p2lOg2P2+p2n10g2P2n>川.2.211 .若函數(shù)gA(x)的定義域A=a,b),且gA(x)=-1i1十'一一1i,其中a,b為任意的正實(shí)la)lx)數(shù)，且a<