數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法(DEA模型)

1、一、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織或項目工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機構(gòu)、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同或相近的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。但當(dāng)被衡量的同類型組織有多項投入和多項產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。例如，大部分機構(gòu)的運營單位有多種投入要素，如職工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產(chǎn)出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難

2、讓經(jīng)理或董事會知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。1.1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的主要思想一個經(jīng)濟系統(tǒng)或者一個生產(chǎn)過程可以看成一個單元在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動。雖然這些活動的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單元被稱為“決策單元”DecisionMakingUnits,DMU?？梢哉J(rèn)為每個DMU都代表一定的經(jīng)濟含義，它的基本特點是具有一定的輸入和輸出，并且在將輸入轉(zhuǎn)換成輸出的過程中，努力實現(xiàn)自身

3、的決策目標(biāo)。1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法的基本模型我們主要介紹DEA中最基本的一個模型一一C2R模型。設(shè)有n個決策單元j=1,2,，n，每個決策單元有相同的m項投入輸入，輸入向量為TXjX1j,X2j,Xmj0，j1，2，n每個決策單元有相同的s項產(chǎn)出輸出，輸出向量為Tyjy1j,y2j,，y.0,j1,2，n即每個決策單元有m種類型的“輸入”及s種類型的“輸出”。Xj表示第j個決策單元對第i種類型輸入的投入量；yij表示第j個決策單元對第i種類型輸出的產(chǎn)出量；為了將所有的投入和所有的產(chǎn)出進(jìn)行綜合統(tǒng)一，即將這個生產(chǎn)過程看作是一個只有一個投入量和一個產(chǎn)出量的簡單生產(chǎn)過程，我們需要對每一個輸入和輸出進(jìn)行

4、賦權(quán)，設(shè)輸入和輸出的權(quán)向量分別為：vv1,v2,，vmt,uu1,u2,"ustovi為第i類,7m,s型輸入的權(quán)重，Ur為第r類型輸出的權(quán)重。ms這時，則第j個決策單元投入的綜合值為vixij,產(chǎn)出的綜合值為uryrj，我i1們定義每個決策單元DMUj的效率評價指數(shù):,rUyrj h j mi1ViXij模型中方, 力為已知數(shù)可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到,于是問題實際上是確定組最正確的權(quán)向量 v和u,使第j個決策單元的效率值 h,最大。這個最大的效率評價值是該 j決策單元相對于其他決策單元來說不可能更高的相對效率評價值。我們限定所有的h.值 j(j=1,2，,n)不超過1,即max

5、hjW1。這意味著，假設(shè)第 k個決策單兀 卜卜=1,則該決策單元相對于其他決策單元來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；假設(shè)hk<1,那么該決策單元相對于其他決策單元來說，生產(chǎn)率還有待于提高， 或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。根據(jù)上述分析，第j0個決策單元的相對效率優(yōu)化評價模型為： s r 1 Uryrj0maXhj0 吃i1ViXjosUryrj r 1ms.t i 1 ViXj1,j 1,2,., nTvM,V2,Vm0TuU1,U2,，Us0這是一個分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此令，rtUr，witviViXjo則模型轉(zhuǎn)化為:maxhj。i1wi

6、Xij0,sryrjr1ms.t1wiXj0r，wi 0， i 1,2,.m;r 1,2,.,s寫成向量形式有：maxhj0TY0TYjwTXj0s.twTX01j1,2,.,nw0,0線性規(guī)劃中一個十分重要，也十分有效的理論是對偶理論，通過建立對偶模型更易于從理論及經(jīng)濟意義上作深入分析，其對偶問題為：minnjxjX0j1ns-tj1yjv。j0,j1,2,n無約束進(jìn)一步引入松弛變量s和剩余變量s,將上面的不等式約束化為等式約束：minnjXjsX0j1ns.t-jVjsV。j0,j1,2，,n無約束s0,s0*設(shè)上述問題的取優(yōu)解為，s,則有如下結(jié)論與經(jīng)濟含義：*1假設(shè)1,且s0,s0,則決

7、策單元DMUj0為DEA有效，即在原線性規(guī)劃的解中存在w*0,*0,并且其最優(yōu)值h*01。此時，決策單元DMUj0的生產(chǎn)活動同時為技術(shù)有效和規(guī)模有效。2，但至少有某個輸入或者輸出松弛變量大于零。則此時原線性規(guī)劃的最優(yōu)值h*1,j0稱DMUj0為弱DEA有效，它不是同時技術(shù)有效和規(guī)模有效。3假設(shè)1,決策單元DMUj0不是DEA有效。其生產(chǎn)活動既不是技術(shù)效率最正確，而不是規(guī)模效率最正確。4另外，我們可以用C2R模型中j的最優(yōu)值來判別DMU的規(guī)模收益情況。假設(shè)存在jj1,2，,n,使j1成乂，則DMUj0為規(guī)模效由不變；假設(shè)不存在*j1,2，n,使*1成立，則假設(shè)*1,那么DMUj0為規(guī)模效益遞增；

8、假設(shè)不存在jj1,2，n,使j1成立，則假設(shè)j1,那么DMUj0為規(guī)模效益遞減。技術(shù)有效：輸出相對輸入而言已達(dá)最大，即該決策單元位于生產(chǎn)函數(shù)的曲線上。規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀DMU1、DMU2、DMU3都處于技術(shù)有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是.相應(yīng)決策單元所對應(yīng)的點規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應(yīng)的最優(yōu)值60=1。可見，在C2R模型下的DEA有效，其經(jīng)濟含義是：既為“技術(shù)有效”，也為“規(guī)模有效”。例題：下面是具有3個決策單元的單輸入數(shù)據(jù)和單輸出數(shù)據(jù)以A,B,C表示，其中點A、C在生產(chǎn)曲線上，點B在生產(chǎn)曲線下方。由3個決策單元所確定的生產(chǎn)可能集T也在圖中標(biāo)出來。對于決策點A,它是“技術(shù)有效”和“規(guī)模有效”，它所對應(yīng)的C2R模型為min2i42532st2123.5321,2,30其最優(yōu)解為：0（IQ,。）:01對于決策點B，它不是“技術(shù)有效”，因為點B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，也不是“規(guī)模有效”這是因為它的投資規(guī)模太大.其對應(yīng)的C2R模型如下：min2 ist 2 15343.5310其最優(yōu)解為0(1/2,0,0)T,01/4：3由于0<1故B點不是DEA有效，由j1，知該部門的規(guī)模收益是遞增的對于決