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1、第二章 解析函數(shù)1用導(dǎo)數(shù)定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) 解: 因 當(dāng)時,上述極限不存在,故導(dǎo)數(shù)不存在；當(dāng)時,上述極限為0,故導(dǎo)數(shù)為0.2下列函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)?何處解析?何處不解析? (1) 解: 這里要，當(dāng)且當(dāng)而均連續(xù)，故僅在處可導(dǎo)，處處不解析.(2) 解: 這里四個偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且處處成立,故在整個復(fù)平面上處處可導(dǎo),也處處解析.3確定下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點,并求出導(dǎo)數(shù).(1) 解: 當(dāng)時，除外在復(fù)平面上處處解析, 為奇點, 當(dāng)時，顯然有，故在復(fù)平面上處處解析，且.4.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,并滿足下列條件之一,試證必為常數(shù).(1) 在區(qū)域內(nèi)解析;(2) (3) 在內(nèi)為常數(shù);(4) 證

2、(1) 因為在中解析,所以滿足條件又也在中解析,也滿足條件 從而應(yīng)有恒成立,故在中為常數(shù), 為常數(shù).(2) 因在中解析且有,由條件,有則可推出,即(常數(shù)).故必為中常數(shù).(3) 設(shè),由條件知,從而計算得 ， 化簡,利用條件得所以同理即在中為常數(shù),故在中為常數(shù). (4) 法一：設(shè)則求導(dǎo)得 由條件 故必為常數(shù),即在中為常數(shù). 設(shè)則,知為常數(shù),又由條件知也必為常數(shù),所以在中為常數(shù).法二：等式兩邊對求偏導(dǎo)得：，由條件，我們有，而，故，從而為常數(shù)，即有在中為常數(shù).5.設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,試證: 證: 設(shè) 而 又解析,則實部及虛部均為調(diào)和函數(shù).故則6.由下列條件求解解析函數(shù)(1)解: 因所以又 則.故(2) 解: 因由解析,有又而所以則故 (3) 解: 因由的解析性,有 又而所以則故由得推出即 7.設(shè)求的值使為調(diào)和函數(shù),并求出解析函數(shù)解: 要使為調(diào)和函數(shù),則有即所以時,為調(diào)和函數(shù),要使解析,則有所以 即故8試解方程： (1) 解: 故(2) 解

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