基于MATLAB的科學計算—數(shù)值微積分

1、科學計算理論、方法及其基于MATLAB的實現(xiàn)與分析數(shù)值微積分1數(shù)值微分對于給定的函數(shù)，如果、的函數(shù)關(guān)系式比較復雜時；、未知，而僅僅知道在個相異點，處的函數(shù)值；則希望能用相對簡單的計算方法，求得導數(shù)的（近似）值?；谏鲜隹紤]，選擇的方法之一是利用函數(shù)的插值多項式的導數(shù)作為函數(shù)導數(shù)的近似值，例如Lagrange插值多項式，由于（）因而有 （）這里需要說明一點的是，盡管和的函數(shù)值可能相差不多，但是它們的導數(shù)有可能相差很大，如下面的例子例1： 考慮函數(shù)在區(qū)間-1，1的插值問題，取區(qū)間-1，1的11個點，作函數(shù)的10次插值多項式：函數(shù)和插值多項式的導數(shù)分別為 對函數(shù)和插值多項式及其導數(shù)分別比較，結(jié)果如圖

2、所示：Derivative_Runge 下面我們基于Taylor公式 (3)討論導數(shù)的近似計算問題1 一階導數(shù)的近似計算令,可得一階向前有限差商公式(First Forward Finite Divided Difference): (4)類似地,當時,可得一階向后有限差商公式(First Backward Finite Divided Difference): (5)由近似計算公式(4)和(5),可得可得一階中心有限差商公式(First Centered Finite Divided Difference): (6)2 二階導數(shù)的近似計算在Taylor公式中，用代替可得 (7)式(7)與式(

3、4)結(jié)合可得二階向前有限差商公式(Second Forward Finite Divided Difference): (8) (9)類似地利用可得二階向后有限差商公式(Second Backward Finite Divided Difference): (10)進一步底，由公式 (11)可得二階中心有限差商公式(Second Centered Finite Divided Difference): (12)2數(shù)值積分2.1 Newton-Cotes 數(shù)值積分公式基于數(shù)值微分的同樣原因，當函數(shù)在上的定積分不易計算時，利用函數(shù)的Lagrange插值多項式，有 (13)由于Lagrange插值多

4、項式的插值基函數(shù)只依賴插值節(jié)點，所以當，取定后，就是完全確定的多項式函數(shù)，令，(14)則由式(13)得到Newton-Cotes求積公式：(15)特別地，當取插值節(jié)點為， (16)時有） 兩點公式（Trapezoidal Rule）：(17)2） 三點公式（Simpsons 1/3 Rule）：， (18)3） 四點公式（Simpsons 3/8 Rule）： (19)4） 誤差估計： 利用Lagrange插值的誤差公式： (20)容易得到Trapezoidal Rule的誤差估計： (21)Simpsons 1/3 Rule以及Simpsons 3/8 Rule的誤差估計分別為： (22)

5、(23)其中.注 數(shù)值積分公式(13)表明，數(shù)值積分方法最大的優(yōu)點是將復雜的函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為相對簡單的加、減、乘、除運算；注從幾何的角度看，上述三種求積公式（17）、（18）和（19）（在積分區(qū)間上）分別用直線（24）拋物線（25）三次立方曲線 （26）代替曲線:例1 計算積分，并估計誤差.解 1） 用梯形公式計算，.由于，所以，于是，梯形公式的誤差.2） 用辛普森公式計算，.由于，于是，辛普森公式的誤差.【注】 （1） 當時，梯形求積公式準確成立；當=0時，辛普森公式準確成立.即梯形公式對一次多項式準確成立，而辛普森公式對三次多項式準確成立.（2） 一般地，由余項公式(7.9)知，當是次多項式

6、時，積分余項為零，從而牛頓-柯特斯求積公式準確成立.（3） 數(shù)值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式對盡可能多的被積函數(shù)能準確計算積分值.作為衡量公式逼近好壞的標準之一，下面給出代數(shù)精度(the Degree of Precision of the Quadrature Formula)的概念.2.1.2 代數(shù)精度【定義1】 如果某求積公式對于次數(shù)小于等于的多項式能準確求出積分值，而對某個次多項式就不能準確求出積分，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度.由定義1，具有次代數(shù)精度的求積公式（7.3）對時精確成立，而對不能精確成立.為了構(gòu)造形如公式（7.3）的求積公式，通過解方程組可得求積節(jié)點與求積

7、系數(shù)，由此求得具有次代數(shù)精度的求積公式.不難驗證，梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度，而辛普森公式具有三次代數(shù)精度.對牛頓-柯特斯求積公式，有下面結(jié)論.【定理1】 牛頓-柯特斯求積公式（7.4）至少具有次代數(shù)精度，而當為偶數(shù)時，至少具有次代數(shù)精度.證明 當為任何次數(shù)不高于的多項式時，所以,顯然結(jié)論成立.當為偶數(shù)時，只須對時的結(jié)論驗證.因為，由截斷誤差公式，若令，則有.注意到是的奇函數(shù)（為偶數(shù)），因此，結(jié)論成立.例2 對于求積公式，試確定，使此求積公式有最高的代數(shù)精度，是幾階的？2.2復化求積公式由前面分析知道，在整個積分區(qū)間上用直線或用拋物線代替原曲線做積分，盡管計算簡單，但精度較差，結(jié)果不

8、好，因此，一個自然的想法是：在盡可能保持公式(17)、和(18)計算簡單、易于計算機實現(xiàn)的優(yōu)點的前提下，尋找提高誤差精度的途徑和方法。下面給出的“復化求積公式”就是有效的方法之一受“利用低次多項式分段插值”能夠提高逼近精度且計算簡單的事實啟發(fā)，將上述的“在整個積分區(qū)間上用一個插值多項式代替被積函數(shù)”的做法變?yōu)椤坝梅侄尾逯刀囗検酱姹环e函數(shù)”，方法具體如下：首先，用個點將區(qū)間分成個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上用插值多項式代替被積函數(shù)做積分，也即在整個積分區(qū)間上用分段插值多項式代替被積函數(shù)做積分。如果所取的節(jié)點，那么在每個小區(qū)間上做線性插值時，就得到） 復化的梯形求積公式 (27)） 復化的Simp

9、sons 1/3 求積公式 (28)3） 復化的Simpsons 3/8 求積公式 (29) 復化求積公式的截斷誤差設(shè)，則復化梯形公式的截斷誤差，其中.證明 因為在上梯形公式的截斷誤差為，所以.在上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知，在中存在點，使，因此.證畢.類似于復化梯形公式截斷誤差的推導，可得復化辛普森公式的截斷誤差. 復化的Simpsons 3/8 求積公式的截斷誤差.【注】 復化梯形公式、復化辛普森公式和復化的Simpsons 3/8 公式都是有效的求積計算公式.（1） 收斂性.由截斷誤差公式（可知，復化梯形公式、復化辛普森公式和復化的Simpsons 3/8 公式的誤差階分別為、，收斂性都是顯

10、然的.實際上，只要，則可得到收斂性，即，.（2） 穩(wěn)定性.由于、和的求積系數(shù)均為正數(shù)，所以由定理2可知復化梯形公式、復化辛普森公式和復化的Simpsons 3/8 公式均是穩(wěn)定的求積公式.例2 計算積分.解 1） 將積分區(qū)間0，1八等分，分點及分點處的函數(shù)值見表7-3，用復化梯形公式計算，得.表7-3 例2數(shù)據(jù) 0 1/8 1/4 3/8 1/24.00000000 3.93846154 3.76470588 3.50684932 3.20000000 5/8 3/8 7/8 12.87640449 2.56000000 2.26548673 2.000000002） 將積分區(qū)間0，1四等分，

11、用復化辛普森公式計算，得.兩種復化方法都用到表7-3中九個點上的函數(shù)值，它們的計算工作量基本上相同，但所得結(jié)果與積分真值相比較，復化辛普森所得近似值遠比復化梯形所得近似值要精確.因此，在實際計算時，較多地應用復化辛普森公式.例3 分別用復化梯形公式和復化辛普森公式計算，使誤差不超過，問各取多少個節(jié)點？解 由復化梯形公式的截斷誤差，有，所以，因此，復化梯形公式至少應取361個節(jié)點.由復化辛普森公式的截斷誤差，有，所以，因此，復化辛普森公式至少應取10個節(jié)點.4） 變步長的梯形求積公式（1） 一般復化求積公式的不足：數(shù)值積分是積分近似計算的一類方法，在滿足精度要求的前下，人們希望計算工作量盡可能的

12、小，而計算量大小的主要標志就是積分區(qū)間分割數(shù)，對于給定的精度要求，由于沒有確定適當?shù)膮^(qū)間分割數(shù)的準則，所以，可能會出現(xiàn)：區(qū)間分割數(shù)太小，達不到精度要求；區(qū)間分割數(shù)太大，造成不必要的浪費。()改進的辦法以復化的梯形求積公式為例，將區(qū)間按分成小區(qū)間，則有 (30) (31)即有， (32)例5 利用遞推公式（32）重新計算積分. 解 1） 首先對區(qū)間0，1使用梯形公式，得.2） 將區(qū)間二等分，新增分點，由遞推公式（32）得. 3） 再將各小區(qū)間二等分，新增分點，由遞推公式（32）得.4） 將區(qū)間八等分，新增分點，由遞推公式（32）得.這樣不斷二分下去，計算結(jié)果見表7-4，其中代表二分的次數(shù)，區(qū)間等

13、分數(shù).表7-4 梯形法遞推計算值0 1 2 3 4 5 63 3.1 3.13117647 3.13898849 3.14094161 3.14142989 3.14155196 7 8 93.14158248, 3.14159011, 3.14159202 表7-4說明用復化梯形公式計算積分，將區(qū)間二分9次，即有分點513個，達到7位有效數(shù)字，計算量很大.2.3Romberg求積公式梯形求積公式包括復化的梯形求積公式由于是利用分段線性插值多項式代替被積函數(shù)做積分，所以是低階的方法，一般來說，為獲得較高的精度，區(qū)間分割數(shù)要取得很大，基于這樣的事實，人們考慮這樣一個問題：在不增加區(qū)間分割數(shù)的前提

14、下，適當?shù)厥褂玫碗A的方法提高計算精度，為此，我們考察復化的梯形求積公式的誤差估計：由此得到下面的估計和結(jié)果： （33） (34)即有 （35）（36）將上述公式用于變步長的復化梯形求積公式，（37）按上述的思路，還有(38)以及 (39)特別地 (40) (41)上述的遞推公式(37)、(38)和(40)統(tǒng)稱為（Romberg Quadrature）求積法，公式(40)稱為Romberg求積公式。2.4Gauss求積法）代數(shù)精度：衡量數(shù)值積分方法優(yōu)劣的重要標準定義：如果由計算公式 （41）給出的數(shù)值積分方法對次數(shù)不超過次的多項式函數(shù)是精確的，而對次數(shù)大于次的多項式函數(shù)不一定精確，那么稱該數(shù)值積

15、分方法具有階的代數(shù)精度。顯然，梯形求積公式具有階的代數(shù)精度；Simpson求積公式具有階的代數(shù)精度。按著代數(shù)精度的標準，自然要產(chǎn)生一個想法：（） 能否在不增加插值節(jié)點的前提下，盡可能地提高數(shù)值積分方法的代數(shù)精度？（） 在插值節(jié)點的個數(shù)固定的前提下，代數(shù)精度最高能達到多高？我們先來研究第二個問題，由于討論的前提是插值節(jié)點的個數(shù)固定，所以，能夠做的只能是通過對插值節(jié)點的選擇來提高計算的代數(shù)精度。設(shè)用次插值多項式代替被積函數(shù)，插值節(jié)點為，那么當數(shù)值積分公式具有階的代數(shù)精度時，就應該使下列個等式成立：，（42）由于在等式（42）中，有和，總共個參數(shù)可共選擇，或者說方程組（42）中總共有個未知數(shù)，唯一確定這個未知數(shù)需要且僅需要個方程，因此，代數(shù)精度最高可達到階。定義 在積分區(qū)間上用次插值多項式代替被積函數(shù)且具有階代數(shù)精度的數(shù)值積分方法稱為Gauss求積法。其插值節(jié)點稱為Gauss點。現(xiàn)在我們來討論第一個問題， 方程組（42）是非線性方程組，一般求精確解很難。當積分區(qū)間是特殊的區(qū)間時，方程組（42）就成為下面的情形：，（43）已經(jīng)證明，在區(qū)間上Gauss點是次Legendre多項式（44）的個零點。據(jù)此，非線性方程組（43）的求解可分兩步來完成：） 求