在不平的地面放穩(wěn)椅子

1、在不平的地面放穩(wěn)椅子摘 要針對(duì)在不平的地面將椅子放平穩(wěn)的問(wèn)題，文章建立了三個(gè)模型來(lái)解決該問(wèn)題。將椅子的四腳連線看作特殊的四邊形進(jìn)行求解。對(duì)于問(wèn)題1，正方形是最簡(jiǎn)單也是最特殊的一種情況，我們用連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，證明出一定可以使椅子放穩(wěn)。對(duì)于問(wèn)題2，我們采用和問(wèn)題1相同的方法與過(guò)程，證明出可以放穩(wěn)。對(duì)于問(wèn)題3，等腰梯形和正方形、長(zhǎng)方形有一些區(qū)別，它更加一般化，旋轉(zhuǎn)的區(qū)間范圍更大，在上進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，也可以找出能放穩(wěn)的點(diǎn)，方法與問(wèn)題1、問(wèn)題2相同。文章在解決這些特殊化問(wèn)題后，對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行了猜想與論證，并最終得出結(jié)論，對(duì)一般的四邊形，也能使它在不平的地面上放穩(wěn)。關(guān)鍵詞：椅子；不平地面；放穩(wěn)；數(shù)學(xué)模型

2、；連續(xù)函數(shù)；零點(diǎn)存在1.問(wèn)題的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只腳著地，只需稍挪動(dòng)幾次，就能使四只腳同時(shí)著地，即放穩(wěn)了。問(wèn)題1：椅子四腳連線呈正方形；問(wèn)題2：椅子四腳連線呈長(zhǎng)方形；問(wèn)題3：椅子四腳連線呈等腰梯形。2.問(wèn)題的分析當(dāng)椅子放穩(wěn)時(shí)應(yīng)為椅子的四條腿同時(shí)著地（即椅子的四條腿腳與地面的的距離為零），用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，找出在某一范圍內(nèi)一定存在的點(diǎn)，能讓四條腿同時(shí)著地。3模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明31 模型的假設(shè)（1）假設(shè)一：椅子的四條腿一樣長(zhǎng)，將椅子與地面的接觸看作一個(gè)點(diǎn)。（2）假設(shè)二：將不平的地面看作連續(xù)的曲面，沒(méi)有間斷點(diǎn)。（3）假設(shè)三：椅子在任何位置至少有三腳著地，才能保證椅子能放平穩(wěn)

3、。32 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)一：為四邊形上四點(diǎn)，為旋轉(zhuǎn)后四邊形上四點(diǎn)。符號(hào)二：為四邊形的中心。符號(hào)三：為旋轉(zhuǎn)角度。4模型的準(zhǔn)備連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：對(duì)，若在上為連續(xù)函數(shù)，且，則，使得.5模型的建立與求解51 問(wèn)題1的模型建立與求解模型建立：1.正方形為椅子四腳的連線， 2.椅子中心為點(diǎn)， 3.當(dāng)椅子繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后，椅子從正方形變?yōu)檎?形，旋轉(zhuǎn)角度為.設(shè)椅腳與地面的距離之和為，兩腳與地面距離之和為，其中、。模型求解：由假設(shè)可知，地面為連續(xù)曲面,為連續(xù)函數(shù).至少三個(gè)腳著地,中至少有一個(gè)為零，不妨令, 當(dāng)時(shí)，.將此問(wèn)題轉(zhuǎn)換為證明下列結(jié)論：已知和為連續(xù)函數(shù)，.證明：使證：令則和連續(xù)，也連續(xù)，使,即52 問(wèn)

4、題2的模型建立與求解模型建立：1.長(zhǎng)方形為椅子四腳的連線， 2.椅子中心為點(diǎn)， 3.當(dāng)椅子繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后，椅子從長(zhǎng)方形變?yōu)殚L(zhǎng)方形 ，旋轉(zhuǎn)角度為.設(shè)椅腳與地面的距離之和為，兩腳與地面距離之和為，其中、。模型求解：由假設(shè)可知，地面為連續(xù)曲面，為連續(xù)函數(shù)至少三個(gè)腳著地，中至少有一個(gè)為零，不妨令當(dāng)時(shí)，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)換為證明下列結(jié)論：已知和為連續(xù)函數(shù)，證明：使證：令則和連續(xù)，也連續(xù)，使，即53 問(wèn)題3的模型建立與求解 兩腳與地面的距離和為兩腳與地面的距離和為，在任何情況下至少三腳著地，即至少有一個(gè)為，并且. 當(dāng)時(shí)，不妨設(shè).以對(duì)角線、的交點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)，使與原來(lái)的重合，此時(shí)不考慮所處的位置，則邊所對(duì)應(yīng)的函數(shù)

5、值由原來(lái)的變?yōu)椋?構(gòu)造輔助函數(shù)則.有連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知：之間一正一負(fù)，至少有一個(gè)在任何情況下至少三腳著地，即至少有一個(gè)為，故.所以，也存在一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌饶苁顾哪_連線呈等腰梯形的椅子在不平的地面放平穩(wěn).6模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn) 椅子問(wèn)題雖然是日常生活中一件非常普通的事，但在實(shí)際中卻有指導(dǎo)意義。因?yàn)槲覀兪孪炔恢酪岩巫臃旁谑裁礃拥牡孛嫔希砸膊豢赡軐?duì)地面提出任何要求，這對(duì)椅子的設(shè)計(jì)提出了一定的要求。上述結(jié)論不只是對(duì)制作椅子有用，對(duì)很多四腳物體，如桌子，家用電器，四腳機(jī)器或設(shè)備等，都有設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用價(jià)值。 用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，引入合適的函數(shù)式關(guān)鍵。本題用變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函

6、數(shù)表示椅子四腳與地面的豎直距離，較為準(zhǔn)確與合適。7模型的推廣與改進(jìn)方向 如果將椅子的四腳連線看作一般的四邊形而非特殊的，下面我們進(jìn)行分析與討論。分析：首先，椅子繞中心軸旋轉(zhuǎn)一周，顯然，椅子與地面的接觸點(diǎn)組成了三維空間中的一條封閉曲線，下面考慮這條封閉曲線的性質(zhì)其次，選擇一個(gè)水平面，那么曲線中的每一個(gè)點(diǎn)與水平面都有一個(gè)距離，并且這個(gè)距離是椅子位置變量的連續(xù)函數(shù)。如圖，記封閉曲線上關(guān)于中心軸對(duì)稱的、兩點(diǎn)與水平面的距離之和為，而對(duì)稱的、兩點(diǎn)與水平面的距離之和為，都是連續(xù)函數(shù)，顯然，四只腳同時(shí)著地也就是兩個(gè)距離和相等。最后，歸結(jié)為數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知是的周期為的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于，證明：，使得證明：構(gòu)造函數(shù)顯然

7、連續(xù)，是的周期為的連續(xù)函數(shù)，那么根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值得性質(zhì)，使那么如果兩個(gè)不等式有一個(gè)等號(hào)成立，那么問(wèn)題得證；否則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，使，即對(duì)于一般的四邊形，如圖，讓、兩點(diǎn)保持定長(zhǎng)在封閉曲面上移動(dòng)，點(diǎn)與水平面的距離是一個(gè)雙變量的連續(xù)函數(shù)；讓、兩點(diǎn)保持定長(zhǎng)在封閉曲面上移動(dòng)，點(diǎn)與水平面的距離是一個(gè)雙變量的連續(xù)函數(shù).具體結(jié)論：在封閉曲面上，在保持定長(zhǎng)的移動(dòng)過(guò)程中，線段中的點(diǎn)與水平面的距離是一個(gè)雙變量的連續(xù)函數(shù)可以取到最大值和最小值，線段中的點(diǎn)與水平面的距離是一個(gè)雙變量的連續(xù)函數(shù)可以取到最大值和最小值.如果，那么一定存在一點(diǎn)，使得，即椅子可以放平。8模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：該模型較全面的研究了在不平的地面上如何使椅子放平，對(duì)椅子四腳連線所稱的形狀進(jìn)行了分別討論，同時(shí)也對(duì)一般四邊形的問(wèn)題進(jìn)行了推廣。缺點(diǎn)：在構(gòu)建模型時(shí)，對(duì)這種符號(hào)以及函數(shù)所表達(dá)的意義表述不是太清晰，在推廣到一般問(wèn)題時(shí)，只是證明了可以放平，但沒(méi)