圓錐曲線筆記D

1、D.解析圓錐曲線（上）（用解析幾何研究圓錐曲線）1.圓錐曲線的準(zhǔn)圓a. 橢圓的內(nèi)準(zhǔn)園與外準(zhǔn)圓 y P A o x B設(shè)橢圓的方程為內(nèi)準(zhǔn)圓定義：在橢圓內(nèi)部存在使與其相切的橢圓的弦的中心角都為90度稱為內(nèi)準(zhǔn)圓外準(zhǔn)圓定義：橢圓兩條垂直切線交點(diǎn)的軌跡b.雙曲線的虛實(shí)準(zhǔn)圓設(shè)雙曲線的方程為虛準(zhǔn)圓定義：與橢圓的內(nèi)準(zhǔn)圓相似一個(gè)以雙曲線的中心為圓心使與其相切的雙曲線的弦的中心角為90的圓被稱為雙曲線的虛準(zhǔn)圓（必須有b>a>0,否則不存虛準(zhǔn)圓） 設(shè)雙曲線弦AB方程為y=kx+m實(shí)準(zhǔn)圓定義：類似與橢圓的外準(zhǔn)圓，雙曲線兩條相互垂直的切線交點(diǎn)的軌跡（必須有：a>b>0,否則不存在實(shí)準(zhǔn)圓）C.拋物

2、線的準(zhǔn)線是特殊的準(zhǔn)圓準(zhǔn)確來說拋物線并沒有類似于有心圓錐曲線的準(zhǔn)圓存在，但是拋物線兩條垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡為其準(zhǔn)線，可以理解為半徑無大的圓結(jié)合上節(jié)幾何中的拋物線結(jié)論容易的出這一結(jié)論此處便不再贅述（用解析法同樣可以輕松得到）2. 圓錐曲線直線過定點(diǎn)問題圓錐曲線的定點(diǎn)問題是讓很多人感到頭疼的問題，以至于對(duì)此類問題形成畏懼心理，觀其本質(zhì)其實(shí)并不復(fù)雜，主要問題是在于計(jì)算量過大，本節(jié)將介紹圓錐曲線幾個(gè)典型過定點(diǎn)問題希望能對(duì)大家有所幫助。對(duì)于直線過定點(diǎn)我們其實(shí)應(yīng)該知曉其在解析幾何上的表現(xiàn)形式，一般將直線設(shè)為斜截式y(tǒng)=kx+m或x=ky+n只要找出斜率與截距的一次線性關(guān)系即可確定直線過定點(diǎn)，明確此節(jié)我們尋找

3、定點(diǎn)也就轉(zhuǎn)化成了在方程變換中找到一個(gè)關(guān)于斜率與截距的關(guān)系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3則直線過（3，3）點(diǎn)）a. 斜率定積當(dāng)圓錐曲線上一定點(diǎn)于兩動(dòng)點(diǎn)滿足定點(diǎn)與兩動(dòng)點(diǎn)的連線的斜率乘積（乘積不等于0，以及）為一定值時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)的連線必然過定點(diǎn)1. 橢圓2.雙曲線3.拋物線附加：圓錐曲線的共軛性質(zhì)1.直線定向本節(jié)中證明了當(dāng)斜率乘積為定值（不等于0，不等于）對(duì)于定值等于時(shí)，有心圓錐曲線會(huì)使上節(jié)中兩動(dòng)點(diǎn)的連線定向（斜率為定值）而不過定點(diǎn)。（以橢圓為例）下證明之（條件同上節(jié)，只是）雙曲線證明過程幾乎一樣不再贅述（也可以曲線方程為一般的有心圓錐曲線直接證明）2. 中垂定理于圓錐曲線的推廣 圓的任意一

4、條弦中點(diǎn)于圓心的連線必與弦垂直，橢圓其實(shí)被壓扁的圓，也該存在類似的性質(zhì)，進(jìn)而推廣至其他圓錐曲線。 Dfijf 事實(shí)證明也確實(shí)如此橢圓雙曲線拋物線圓0-1由此我們還可以得到另一性質(zhì) P T B O A如圖:T為PB的中點(diǎn)，AB過圓錐曲線的中心我們已經(jīng)證明了（拋物線無中心）這與斜率乘積為定值中定值=不謀而合！3. 圓錐曲線共軛弦性質(zhì) y P O x A B過圓錐曲線上一定點(diǎn)P引兩條動(dòng)弦PA,PB,若有則AB定向且（下以橢圓，拋物線為例以不同的方法證之）a. 橢圓 P T H A S O Q B法二:如圖T,H,S分別為AP,BP,AB的中點(diǎn)法三：如圖P點(diǎn)關(guān)于橢圓對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q()或（）2. 雙曲線與拋物線圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題還有另一種 Y o 定點(diǎn) x 如圖所示：圓錐曲線（橢圓為圖例）外有一定直線t,T為t上一動(dòng)點(diǎn)過t作圓錐曲線的兩條切線，連接切點(diǎn)形成圓錐曲線的弦稱為T關(guān)于的圓錐曲線的切點(diǎn)弦，當(dāng)T點(diǎn)在t上運(yùn)動(dòng)時(shí)切點(diǎn)弦也隨之變化，但無論如何T點(diǎn)的切點(diǎn)弦必然過