盧同善實(shí)變函數(shù)青島海洋大學(xué)出社習(xí)題答案

1、第一章習(xí)題答案第1-10，17題略. 從11題開始（9，10，11類似）11 證明：任取左邊的元素，則，當(dāng)然對任意的，有，即，. 因此，該含于右邊. 得到左是右的子集；另一方面，任取右邊的元素，則，即. 讓，得到. 因此，該含于左邊. 得到右是左的子集. 綜上，左等于右. 12 設(shè)實(shí)函數(shù)列在上定義，又設(shè). 證明對，成立.證明：因，故當(dāng)時(shí)，必有，這表明，因此. 另一方面，任取，由下極限的定義，知存在，使（若否，則對任意的，有，這表明，矛盾）. 當(dāng)然有，故. 綜上，左等于右. 13 實(shí)函數(shù)列在上收斂到，證明對任意的，成立.證明：任取左邊的元素，則. 由于，所以對任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)有，即有. 也

2、即，對任意的，恒有，所以. 這表明是右邊的元素，所以左是右的子集. 另一方面，任取右邊的元素，則對任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)有. 讓，得到. 再由的任意性，得到. 這表明是左邊的元素，所以右是左的子集. 綜上，左右相等. 14 若集列單減，則. 證明：因?yàn)閱螠p，所以，. 得到，. 即，.15 證明證明：若，顯有; 若，由特征函數(shù)的定義知. 再由下限集的性質(zhì)知存在，使，從而對有，故. 此時(shí). 總之，. 另一方面：若，顯有; 若，又因?yàn)?，? 因此存在，使得 . 由特征函數(shù)的定義知，再由下限集的性質(zhì)知. 因此，也就得到. 總之. 綜合有. 16 證明定理與Bernstein定理等價(jià). 證明：必要性：由

3、假設(shè)知存在到上的雙射, 到上的雙射. 令. 則，且與對等（因?yàn)槭菃紊洌? 又因?yàn)?，因? 由定理知三者對等，又與對等，根據(jù)對等的傳遞性，得到與對等，故Bernstein定理成立. 充分性：設(shè)且. 一方面，另一方面，由Bernstein定理知. 又，根據(jù)對等的傳遞性，得到. 即定理成立. 18 設(shè)為無限集，為有限集，證明. 證明：因?yàn)闉闊o限集，為有限集，所以是無限集. 由知道是有限集. 而，右邊是一個(gè)無限集并上有限集，不改變對等關(guān)系（定理），所以. 19 設(shè)為無限集，為可數(shù)集，若為無限集，證明. 并舉反例說明“為無限集”這一條件不可去. 證明：因?yàn)闉榭蓴?shù)集，所以是至多可數(shù)集. 而，又是無限集，由

4、定理知命題成立（與18題類似）. 20 空間中坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體成一可數(shù)集. 證明：顯然是三個(gè)可數(shù)集的乘積，從而是可數(shù)集. 21 中以互不相交的的開區(qū)間為元素的集合為至多可數(shù)集. 證明：設(shè)該集合為. 因?yàn)閷θ我獾拈_區(qū)間，存在有理數(shù). 這樣，可作一映射，使得. 由于中的開區(qū)間是互不相交的，所以這一映射是一單射. 因此，也就說明了是一至多可數(shù)集. 22 上單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)的全體為至多可數(shù)集. 證明：不妨設(shè)函數(shù)單增. 任取斷點(diǎn). 由于函數(shù)單調(diào)，所以在點(diǎn)的左極限和右極限都存在，且. 讓斷點(diǎn)對應(yīng)于開區(qū)間，由于函數(shù)單增，所以不同斷點(diǎn)所對應(yīng)的開區(qū)間是不相交的. 再利用21題即得.23 設(shè)為無限集，證明

5、必存在，使且為一可數(shù)集. 證明：因?yàn)闊o限集，故有可數(shù)的子集. 令，. 取，則為可數(shù)集，為無限集（因），所以. 24 設(shè)為可數(shù)集，證明的所有有限子集的全體是可數(shù)集. 證明：設(shè). 的所有有限子集的全體為. 對，設(shè)，令與數(shù)組對應(yīng). 因?yàn)椴煌募系脑夭煌耆嗤?，所以它們對?yīng)的數(shù)組也不同. 這樣由編號定理知為至多可數(shù)集. 又因所有的單元素集在中，所以是無限集，因此是可數(shù)集. 25 設(shè)為其長度不等于零的開區(qū)間所組成的不可數(shù)集. 證明：存在，使得中有無限多個(gè)開區(qū)間的長度均大于. 證明：令為中長度不小于的開區(qū)間的全體，則. 因?yàn)闉椴豢蓴?shù)集，所以右端至少有一個(gè)集合是無限集（否則，右邊是至多可數(shù)集）. 取相應(yīng)

6、的的長度為即可. 26 中無理數(shù)的全體成一不可數(shù)集. 證明：反證法. 假設(shè)中無理數(shù)的全體是至多可數(shù)集，而中有理數(shù)的全體是可數(shù)集，這樣是可數(shù)集（可數(shù)集和至多可數(shù)集的并是可數(shù)集）. 這與是不可數(shù)集矛盾. 27整系數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根稱為代數(shù)數(shù)，稱非代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)為超越數(shù). 證明：代數(shù)數(shù)的全體成一可數(shù)集，進(jìn)而證明超越數(shù)的存在. 證明：所有整系數(shù)多項(xiàng)式的實(shí)根全體正是代數(shù)數(shù)的全體. 整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可數(shù)的，而每一個(gè)多項(xiàng)式至多有有限個(gè)實(shí)根. 又可數(shù)個(gè)有限集的并是至多可數(shù)集，這表明代數(shù)數(shù)的全體是至多可數(shù)集. 代數(shù)數(shù)的全體當(dāng)然是無限集（因?yàn)檎麛?shù)是代數(shù)數(shù)），所以它是可數(shù)集. 因而，也表明超越數(shù)的全體是不可數(shù)集（利用

7、19題得到）. 28 證明，其中為可數(shù)基數(shù)，為連續(xù)基數(shù). 證明：設(shè)，即證明的所有子集的全體的勢為. 作從到二進(jìn)位小數(shù)全體的映射為，其中當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 因?yàn)椴煌募系脑夭煌耆嗤?，所以該映射是單射，? 另一方面，作映射為，其中，該映射也是單射，因此. 綜上，有. 29 上連續(xù)函數(shù)的全體的基數(shù)是. 證明：因常函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，故. 設(shè)，則它是可數(shù)集. 不妨設(shè). 對任意的，讓其對應(yīng)于中的實(shí)數(shù)組，則這個(gè)對應(yīng)是從到的一個(gè)單射. 事實(shí)上，若是對應(yīng)于同一數(shù)組的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，即. 對任意的實(shí)數(shù)，存在有理數(shù)序列，使得. 這樣由函數(shù)的連續(xù)性得到，也即，也就是說該對應(yīng)是一個(gè)單射. 因此和的某子集對等，故有.

8、 綜上，. 30 上單調(diào)函數(shù)的全體的基數(shù)是. 證明：類似上一題. 上單調(diào)函數(shù)的全體的基數(shù)顯是不小，因?yàn)槎际侵械脑? 對任一單調(diào)函數(shù)，其斷點(diǎn)的全體是至多可數(shù)集（第22題的結(jié)論）. 令，則是可數(shù)集，設(shè). 讓函數(shù)對應(yīng)于，這個(gè)對應(yīng)是單射（方法類似于上題，不過要多考慮斷點(diǎn)罷了）. 因此，上單調(diào)函數(shù)的全體的基數(shù)不超過的基數(shù). 命題得證. 31 上實(shí)函數(shù)的全體的基數(shù)是. 證明：設(shè)上實(shí)函數(shù)的全體為. 對任意的集合，則其特征函數(shù)，并且不同集合的特征函數(shù)是不同的. 所以的子集的全體對等于的一個(gè)子集，從而. 另一方面，對任意實(shí)函數(shù)，讓其和集合對應(yīng)（該集合是函數(shù)的圖像），當(dāng)然這一對應(yīng)是單射，從而和的某些子集構(gòu)成的集合對等，也即. 綜上，. 32 設(shè)，證明和中至少有一為. 證明：不妨設(shè)不相交. 顯然的勢都不超過. 對任意的，作直線，則的勢均為. 若存在，使得，則的勢不小