反常積分與含參變量的積分

1、第十二章 反常積分與含參變量的積分§12.1 .無窮積分一、無窮積分收斂和發(fā)散概念實例：設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的半徑為R.若火箭距離地心為，則將質(zhì)量為m的火箭，從地面發(fā)射到距離地心為b處，§8.5例21給出了火箭克服地球引力所作的功 為了使火箭脫離地球的引力范圍，即，火箭克服地球引力F所作的功 定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間（或有定義，符號（或）稱為函數(shù)的無窮積分.設(shè)函數(shù)在a,p可積，若極限存在（不存在），則稱無窮積分收斂（發(fā)散），其極限稱為無窮積分（的值），即 .設(shè)函數(shù)在q,b可積，若極限存在（不存在），則稱無窮積分收斂（發(fā)散），其極限稱為無窮積分（的值），即 .若，兩個無窮積分 與

2、 都收斂（至少由一個發(fā)散），則稱無窮積分收斂（發(fā)散），且. 顯然，火箭脫離地球引力所作的功是函數(shù)的無窮積分，即 例1 . 求下列無窮積分.解 ：例2.求下列無窮積分；.解： .若函數(shù)在區(qū)間存在原函數(shù)，則其中符號例3 .判別無窮積分的斂散性解： 當有當有 于是，當時，無窮積分收斂，無窮積分的值是；當時，無窮積分發(fā)散例4.判別無窮積分的斂散性.解：當，有 當，有 二、無窮積分與級數(shù)上述三種形式的無窮積分： 其中 ， 于是，討論三種形式的無窮積分的斂散性只須討論無窮積分的斂散性即可. 觀察下表：收 斂收 斂 發(fā) 散發(fā) 散無窮積分與廣義調(diào)和級數(shù)，對都收斂，對都發(fā)散.這說明無窮積分與級數(shù)之間存在著內(nèi)在的

3、聯(lián)系.定理1 .無窮積分收斂對任意數(shù)列有而，級數(shù)收斂于同一個數(shù)，且.證明：必要性 已知無窮積分收斂，即.充分性 已知對任意數(shù)列，而時，級數(shù)收斂于同一個數(shù)，根據(jù)海涅極限定理，無窮積分收斂，且. 三、無窮積分的性質(zhì) 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，且，函數(shù)在可積.由無窮積分定義，無窮積分收斂當時，函數(shù)存在極限.定理2（柯西收斂準則） 無窮積分收斂有.推論1.若無窮積分收斂，則.證明：根據(jù)定理2，有令，即或推論2 若無窮積分收斂，則無窮積分 也收斂.證明 ：根據(jù)定理2 有 從而，有，即無窮積分收斂.推論3.無窮積分收斂，無窮積分也收斂定理3.無窮積分收斂，則無窮積分也收斂，其中c是常數(shù)，且.定理4.若無窮積分

4、與都收斂，則無窮積分也收斂，且.定理5 .若函數(shù)與在區(qū)間存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，極限存在，且無窮積分收斂，則無窮積分也收斂，有.或這是無窮積分的分部積分公式.定理6 .若函數(shù)在在區(qū)間連續(xù)，無窮積分收斂，且函數(shù)在嚴格增加，存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而，則.這是無窮積分的換元公式.例5 .求無窮積分.解：根據(jù)定理5，有有，或，即.例6. 求無窮積分.解： 設(shè)，根據(jù)定理6，有. 另解：.（湊微分法）四、無窮積分的斂散性判別法定理7 . 設(shè)有 .1） 若無窮積分收斂，則無窮積分也收斂；2） 若無窮積分發(fā)散，則無窮積分也發(fā)散.推論 設(shè)，且極限 . （3）1） 若則無窮積分收斂.2） 若則無窮積分發(fā)散.說明：應(yīng)用此推論判別某些

5、無窮積分的斂散性比較簡便，但要注意觀察被積函數(shù)，從中找出合適的（利用無窮小階的比較），使（3）式的極限存在，然后再由數(shù)確定無窮積分的斂散性.例7.判別無窮積分的斂散性解：已知有.由例1知，無窮積分收斂，根據(jù)定理7 ，無窮積分收斂，再根據(jù)定理2的推論3，無窮積分也收斂.例8. 判別無窮積分的斂散性.解：已知極限 ，其中則無窮積分發(fā)散.例9.判別無窮積分的斂散性解：已知有 ，又 ，其中，則無窮積分收斂，根據(jù)定理2的推論2 ，無窮積分也收斂.例10 .判別無窮積分的斂散性（是參數(shù)）。解：已知有極限，其中，則無窮積分都收斂.定義 若無窮積分收斂，則稱無窮積分絕對收斂.定義 若無窮積分收斂，而發(fā)散，則稱無窮積分條件收斂.定理8 .若函數(shù)在連續(xù)且函數(shù)在有界，即有 ，則當時，無窮積分收斂.例11 .證明 ：無窮積分條件收斂證明： 在被積函數(shù)沒有定義，已知，將函數(shù)在0作連續(xù)開拓，當時，令=1，于是被積函數(shù)在區(qū)間連續(xù)首先，證明無窮積分收斂已知函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，有根據(jù)定理8 ，無窮積分收斂，從而，無窮積分也收斂其次，證明無窮積分發(fā)散已知，從而，有 以上右端無窮積分收斂，而無窮積分發(fā)散，根據(jù)定理7，無窮積分發(fā)散，從而無窮積分也