北師大八年級下冊數(shù)學證明二知識點及習題

1、1等腰三角形知識點1 等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡述為等邊對等角)用符號語言表示為：如圖11所示，在ABC中，ABAC，BC定理的證明： 取BC的中點D，連接AD ABDACD(SSS)BC(全等三角形的對應角相等)定理的作用：證明同一個三角形中的兩個內(nèi)角相等拓展 等腰三角形還具有其他性質(zhì)(1)等腰直角三角形的兩個底角相等，都等于45°(2)等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角(3)等腰三角形的三邊關(guān)系：設腰長為a，底邊長為b，則a(4)等腰三角形的三角關(guān)系：設頂角為A，底角為B，C，則A180°

2、;BC180°2B180°2C知識點2 等腰三角形的性質(zhì)定理的推論推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱“三線合一”)(1)用符號語言表示為：如圖13所示，在ABC中，ABAC，12，ADBCBDDC；在ABC中，ABAC，ADBC，12，BDDC；在ABC中，ABAC，BDDC，12，ADBC(2)推論1的證明在ABC中，ABAC，12，ADAD，ABDACD(SAS)BDDC，ADBADC90°ADBC在ABC中，ADBC，ADBADC90°ABAC，BC又ADAD，RtADBRtADC(AAS)12，BDCD在ABC

3、中，ABAC，ADAD，BDCD，ABDACD(SSS)12，ADBADC90°，ADBC.(3)推論1的作用：證明角相等、線段相等或垂直.推論2：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°(1)用符號語言表示為：如圖14所示，在ABC中，ABBCAC，ABC60°(2)推論2的證明：ABAC，BCABBC，ACABC又A+B+C180°，即3A180°，ABC60°知識點3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡述為等角對等邊)用符號語言表示為：如圖16所示，在ABC中，BC，ABAC判

4、定定理的證明：如圖16所示過A作ADBC于D，則ADBADC90°BC，ADAD，ABDACD(AAS)，ABAC判定定理的作用：證明同一個三角形中的邊相等拓展 如圖16所示，在ABC中，(1)如果ADBC，12，那么ABAC；(2)如果ADBC，BDDC，那么ABAC；(3)如果12，BDDC，那么ABAC知識點4 等腰三角形的判定定理的推論推論1(1)推論1的內(nèi)容：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形(2)用符號語言表示為：如圖18所示，在ABC中，ABAC，A60°(或B60°或C60°)，ABACBC(3)推論1的證明：在ABC中

5、，ABAC，BC又A60°，BC60°ABACBC(或B60°，A180°2B60°ABACBC或C60°，A180°2C60°ABACBC)推論2(1)推論2的內(nèi)容：三個角都相等的三角形是等邊三角形(2)用符號語言表示為：如圖18所示，在ABC中，ABC，ABACBC(3)推論2的證明：在ABC中，AB，BCAC(等角對等邊)又BC，ABAC(等角對等邊)ABACBC(4)推論1和推論2的作用：證明一個三角形是等邊三角形拓展 判定一個三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：(1)根據(jù)等邊三角形的定義，證明三條邊相等

6、；(2)根據(jù)推論1，證明兩條邊相等，有一個角是60°；(3)根據(jù)推論2，證明三個角都相等推論3(1)推論3的內(nèi)容：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半(2)用符號語言表示為：如圖19所示，在RtABC中，C90°，A30°，BCAB (3)推論3的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2倍知識點5 反證法先假設命題的結(jié)論不成立，然后從假設出發(fā)，推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而否定假設，證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法拓展 反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是： (1)假設命題

7、不成立； (2)從假設出發(fā)推導出矛盾； (3)否定假設，從而肯定命題的結(jié)論 規(guī)律方法小結(jié) 1轉(zhuǎn)化思想：在等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理的證明過程中，都是通過構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化為全等得以證明的2類比思想：采用類比思想，把等腰三角形的性質(zhì)和判定對照著學習3用反證法進行證明時，注意推理的規(guī)范性和邏輯的嚴密性，不能忽略任何一種可能的情況探究交流 想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質(zhì)定理嗎？解析 有，作等腰三角形ABC的頂角平分線AD，如圖12所示.ABDACD(SAS).BC(全等三角形的對應角相等)課堂檢測1、如圖110所示，在ABC中，ABAC，ADAC，AEAB求證BDCE2、如圖112所

8、示，已知點D，E在ABC的邊BC上，ABAC，ADAE求證BDCE3、如圖113所示，已知CAE是ABC的一個外角，12，ADBC，求證ABC是等腰三角形4、下面是數(shù)學課堂的一個學習片段，閱讀后，回答問題學習等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學們交流討論這樣一個問題：已知等腰三角形ABC的A等于30°，求其余兩角同學們經(jīng)過片刻的思考與交流后，李明同學舉手說：“其余兩角是30°和120°”王華同學說：“其余兩角是75°和75°”還有一些同學也提出了不同的看法假如你也在課堂上，你的意見如何?為什么?5、已知等邊三角形ABC和點P，設點P到ABC三邊

9、AB，AC，BC的距離分別是h1，h2，h3，ABC的高為h，若點P在邊BC上，如圖117(1)所示，此時h30，可得結(jié)論：h1+h2+h3h請直接應用上述信息解決下列問題：點P在ABC內(nèi)，如圖117(2)所示點P在ABC外，如圖117(3)所示，這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給出證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明體驗中考1、已知等腰三角形ABC的周長為10若設腰長為x，則x的取值范圍是 2、如圖120所示，在ABC和DEF中，ABDE，BECF，B1求證ACDF(要求：寫出證明過程中的重要依據(jù))2直角三角形勾股定理：a2+b2c2（

10、a，b為直角邊長，c為斜邊長）勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形互逆命題與互逆定理直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊定理（）直角三角形知識概覽圖知識點1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即c2a2+b2(c為斜邊長)勾股定理的作用(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(2)已知直角三角形的一條邊，求另外兩條邊的數(shù)量關(guān)系(3)用于證明平方關(guān)系的問題(4)利用勾股定理作出長為的線段勾股定理的各種表達形式在RtABC中，C90°，A，B，C的對邊長分別為a，b，c，則a2c2b2，b2c2a2，c2a2+

11、b2，c，a，b勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先確定最大邊(如c)(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系若c2a2+b2，則ABC是直角三角形；若c2a2+b2，則ABC不是直角三角形勾股數(shù)(1)能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)或勾股弦數(shù)(2)勾股數(shù)必須是正整數(shù)如3，4，5；5，12，13等拓展 應用勾股定理時，必須是在同一直角三角形中；應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直

12、角三角形時，一定是最長邊所對的角是直角，其他兩邊所對的角是銳角知識點2 互逆命題與互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題拓展 每個命題都有逆命題原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理拓展 每個命題都有逆命題但不是所有的定理都有逆定理.知識點3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對應

13、相等的兩個直角三角形全等這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示定理的作用：判定兩個直角三角形全等定理的證明：如圖130所示，已知RtABC，RtABC，CC90°，ABAB，ACAC，求證RtABCRtABC證明：在ABC和ABC中，CC90°， BC，BC. ABAB，ACAC，BCBC RtABCRtABC(SSS)知識拓展 “HL”是直角三角形所獨有的判定定理，對于一般三角形不成立判定兩個直角三角形全等時，這兩個直角三角形已經(jīng)有一對直角相等的條件，只需找出另外兩個條件即可，而這兩個條件中必須有一個是邊對應相等與一般三角形全等一樣，只有三個角相等的兩個直角三角形不一定全等課堂檢測1、寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題，并判斷真假2、如圖131所示，在RtABC中，ACB90°，AB50，BC30，CDAB于點D，求CD的長3、在正方形ABCD中，如圖132所示，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且ECBC，求證EFA90°4、試判斷三邊長分別為2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如圖1-38所示，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得MAD30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到