雙曲線知識點(diǎn)總結(jié)例題

1、（二）雙曲線知識點(diǎn)及鞏固復(fù)習(xí)1.雙曲線的定義 如果平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于正的常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離），那么動點(diǎn)的軌跡是雙曲線 若一個(gè)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差等于一個(gè)常數(shù)，常數(shù)的絕對值小于兩定點(diǎn)間的距離，那么動點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支F1，F(xiàn)2為兩定點(diǎn)，P為一動點(diǎn)，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=0則動點(diǎn)P的軌跡是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=0則動點(diǎn)P的軌跡是 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

2、方程 3.雙曲線的性質(zhì) （1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 對稱軸 對稱中心 實(shí)半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn))（1） 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 對稱軸 對稱中心 實(shí)半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的下上兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn))1. 等軸雙

3、曲線：特點(diǎn)實(shí)軸與虛軸長相等漸近線互相垂直離心率為 2. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點(diǎn)有共同的漸近線四焦點(diǎn)共圓 雙曲線的共軛雙曲線是 6.雙曲線系（1） 共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為(0<k<c2,c為半焦距)（2） 共漸近線的雙曲線的方程為例題在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點(diǎn)1、雙曲線定義例1、已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程【例2】若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF

4、1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例3】已知雙曲線與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P，使最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為考點(diǎn)2、求雙曲線的方程求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程2待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為t(t0)；若雙曲線的漸近線方程是y±x，則雙曲線的方程可表示為t(t0)；與雙曲線1共焦點(diǎn)的方程可表示為1(b2ka2)；過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為1(mn0)；與橢圓1(ab0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可表示為1(b2

5、a2)例4、求下列條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)1.在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，且對于雙曲線，a不一定大于b.2若不能確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2ny21(mn0)，以避免分類討論考點(diǎn)3、雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切，解題時(shí)要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個(gè)主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程例5、(12

6、分)雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0)，若C上存在一點(diǎn)P，使·0，求此雙曲線離心率的取值范圍例6、【活學(xué)活用】 3.(2012北京期末檢測)若雙曲線1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_【例7】直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2.若與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【例8】設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C. D【評

7、注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個(gè)考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨(dú)有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例9】過點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點(diǎn)，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實(shí)、虛

8、軸的位置. 共軛雙曲線 虛、實(shí)易位的孿生弟兄將雙曲線的實(shí)、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個(gè)雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例10】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計(jì)算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請看下例：【例11】雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. “設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個(gè)步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不

9、求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：【例12】在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：練習(xí)1(2011安徽高考)雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是( )A2 B2 C4 D42(2011山東高考)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為( )A.1 B.1 C.1 D.13.(2012嘉興測試)如圖，P是雙曲線y21右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn)，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)

10、，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)4(金榜預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線1上，則為( )A. B. C. D.5P為雙曲線1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為( )A6 B7 C8 D96(2012南寧模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該曲線上一點(diǎn)，若PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.1 B.1 C2 D27方程1表示雙曲線那

11、么m的取值范圍是_8(2012大連測試)在雙曲線4x2y21的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是_9雙曲線1(a0，b0)的離心率是2，則的最小值是_10(2012肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(3,0)，一條漸近線的方程是 x2y0.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍11(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若

12、直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍12已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 13已知雙曲線,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。14已知點(diǎn)N（1，2），過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩

13、點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？ （二）雙曲線知識點(diǎn)及鞏固復(fù)習(xí)1.雙曲線的定義 如果平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于正的常數(shù)（小于兩定點(diǎn)間的距離），那么動點(diǎn)的軌跡是雙曲線 若一個(gè)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差等于一個(gè)常數(shù)，常數(shù)的絕對值小于兩定點(diǎn)間的距離，那么動點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支F1，F(xiàn)2為兩定點(diǎn)，P為一動點(diǎn)，(1)若|PF1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=0則動點(diǎn)P的軌跡是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a0<2a<|F1F2|則動點(diǎn)P的軌跡是 2a=|F1F2|則動點(diǎn)P的

14、軌跡是 2a=0則動點(diǎn)P的軌跡是 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3.雙曲線的性質(zhì) （1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 對稱軸 對稱中心 實(shí)半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn))（2） 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點(diǎn) 焦點(diǎn) 對稱軸 對稱中心 實(shí)半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為

15、雙曲線的下上兩焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn))3. 等軸雙曲線：特點(diǎn)實(shí)軸與虛軸長相等漸近線互相垂直離心率為 4. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點(diǎn)有共同的漸近線四焦點(diǎn)共圓 雙曲線的共軛雙曲線是 6.雙曲線系（3） 共焦點(diǎn)的雙曲線的方程為(0<k<c2,c為半焦距)（4） 共漸近線的雙曲線的方程為考點(diǎn)1。雙曲線的定義及應(yīng)用在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點(diǎn)1、雙曲線定義例1、已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程【自主

16、解答】設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(4,0)、C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支a，c4，b2c2a214，點(diǎn)M的軌跡方程是：1(x)【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實(shí)半軸為，故選A.【評注】嚴(yán)格區(qū)分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P

17、，使最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的倒數(shù).由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)F（6，0），離心率右準(zhǔn)線為.作于N，交雙曲線右支于P，連FP，則.此時(shí)為最小.在中，令，得取.所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)2、求雙曲線的方程求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程2待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為t(t0)；若雙曲線的漸近線方程是y±x，則雙曲線的方程可表示為t(t0)；與雙曲線1共焦點(diǎn)的方程可表示為1(b2ka2)；過兩個(gè)已知點(diǎn)的

18、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為1(mn0)；與橢圓1(ab0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可表示為1(b2a2)例2、求下列條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)【自主解答】(1)解法一：經(jīng)檢驗(yàn)知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，故設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24，所以雙曲線的方程為1.(2)解法一：設(shè)雙曲線方程為1，由題意易求c2，又雙曲線過點(diǎn)(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28. 1.解法二：設(shè)所求雙曲線方程為(0)，將點(diǎn)(3,2)代入得.所以雙曲線方程為，即1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，且16k0,4k0

19、.將點(diǎn)(3，2)代入得k4，且滿足上面的不等式，所以雙曲線方程為1.1.在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上，且對于雙曲線，a不一定大于b.2若不能確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2ny21(mn0)，以避免分類討論考點(diǎn)3、雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切，解題時(shí)要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個(gè)主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程例3、(12分)雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0

20、)，若C上存在一點(diǎn)P，使·0，求此雙曲線離心率的取值范圍【規(guī)范解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則由·0，得APPQ，即P點(diǎn)在以AQ為直徑的圓上，(x)2y2()2.又P點(diǎn)在雙曲線上，得1.(a2b2)x23a3x2a4a2b20.即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0.6分當(dāng)xa時(shí)，P與A重合，不符合題意，舍去當(dāng)x時(shí)，滿足題意的P點(diǎn)存在，需xa，化簡得a22b2，即3a22c2，.10分離心率e(1，).12分例4、【活學(xué)活用】 3.(2012北京期末檢測)若雙曲線1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線的離心率e

21、的取值范圍是_解析：依題意得，由此解得|PF2|aca，即c2a，e2，即該雙曲線的離心率不超過2.又雙曲線的離心率大于1，因此該雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,2【例5】直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2.若與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D.e>【分析】就題論題的去解這道題，確實(shí)難以下手，那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點(diǎn)不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點(diǎn)卻很好掌握.其二，因?yàn)橐阎本€的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮

22、傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設(shè)直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾斜角為.顯然。當(dāng)時(shí)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上.由. 雙曲線中，故取e>.選D. 【例6】設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C. D【解析】雙曲線的實(shí)、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90°.選B.【評注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個(gè)考生都能臨場發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.漸近線雙曲線與直線

23、相約天涯對于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨(dú)有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開.雙曲線的左、右兩支都無限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問題比處理曲線問題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例7】過點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點(diǎn)（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點(diǎn)，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實(shí)、虛軸的位置. 共軛雙曲線 虛、實(shí)易位的孿生弟兄將雙曲線的實(shí)、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個(gè)雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦

24、距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例8】兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.【證明】雙曲線的離心率；雙曲線的離心率. 考點(diǎn)5、直線與雙曲線位置關(guān)系 設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計(jì)算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請看下例：【例9】雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點(diǎn)為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個(gè)步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而

25、不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：【例10】在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個(gè)結(jié)論對不對呢？我們只須注意如下兩點(diǎn)就夠了：其一：將點(diǎn)M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點(diǎn)M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直

26、線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點(diǎn)的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.由這里，故方程（2）無實(shí)根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點(diǎn)：只有當(dāng)時(shí)才可能求出k=2.若.說明這時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線. 練習(xí)1(2011安徽高考)雙曲線2x2y28的實(shí)軸長是( )A2 B2 C4 D4解析：2x2y28化為標(biāo)準(zhǔn)形式：1，a24.a2.實(shí)軸長2a4.2(2011山東高考)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓

27、心，則該雙曲線的方程為( )A.1 B.1 C.1 D.1解析：由題意得，1(a0，b0)的兩條漸近線方程為y±x，即bx±ay0，又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x3)2y24，半徑為2，圓心坐標(biāo)為(3,0)a2b2329，且2，解得a25，b24.該雙曲線的方程為1.3.(2012嘉興測試)如圖，P是雙曲線y21右支(在第一象限內(nèi))上的任意一點(diǎn)，A1，A2分別是左、右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA1，PO，PA2的斜率分別為k1，k2，k3，則斜率之積k1k2k3的取值范圍是( )A(0,1) B(0，) C(0，) D(0，)解析：設(shè)P(x，y)，則(0，)，且x244y2(x0

28、，y0)，k1k2k3(0，)4(金榜預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)和C(5,0)，頂點(diǎn)B在雙曲線1上，則為( )A. B. C. D.解析：由題意得a4，b3，c5. A、C為雙曲線的焦點(diǎn)，|BC|BA|8，|AC|10.由正弦定理得.5P為雙曲線1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為( )A6 B7 C8 D9解析：易知兩圓圓心為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)由雙曲線方程知a3，b4，則c5，故兩圓心恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)|PM|PN|的最大值為如圖所示的情況，即|PM|PN|PF1|F1M|(|PF

29、2|NF2|)|PF1|2|PF2|12a32×339.6(2012南寧模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該曲線上一點(diǎn)，若PF1F2為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.1 B.1C2 D2解析：不妨設(shè)P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a.PF1F2是等腰直角三角形，只能是PF2F190°，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a|PF2|2a2c，(2a2c)22·(2c)2，即c22aca20，兩邊同除以a2，得e22e10.e1，e1.7方程1表示雙曲線那么m的取值范圍是_解析：注意分兩種情況一是實(shí)軸在x軸上，二是實(shí)軸在y

30、軸上依題意有或得m3或3m2.8(2012大連測試)在雙曲線4x2y21的兩條漸近線上分別取點(diǎn)A和B，使得|OA|·|OB|15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點(diǎn)的軌跡方程是_解析：雙曲線4x2y21的兩條漸近線方程為2x±y0，設(shè)A(m,2m)，B(n，2n)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則即所以4x2y24mn.由|OA|·|OB|×|m|×|n|15，得|mn|3，所以AB中點(diǎn)的軌跡方程是4x2y2±12，即±1.9雙曲線1(a0，b0)的離心率是2，則的最小值是_解析：24a2b24a23a2b2，則a2，當(dāng)a，即a時(shí)取最

31、小值. 10(2012肇慶模擬)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(3,0)，一條漸近線的方程是 x2y0.(1)求雙曲線C的方程；(2)若以k(k0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a0，b0)，由題設(shè)得5解得所以雙曲線C的方程為： (2)設(shè)直線l的方程為：1. ykxm(k0)，則點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐標(biāo)滿足方程組得1，整理得(54k2)x28kmx4m2200.此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是54k20，且(8km)24(54k2)(4m220)0，整理

32、得m254k20.由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)滿足x0，y0kx0m，從而線段MN的垂直平分線的方程為y(x)此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，0)，(0，)，由題設(shè)可得|·|，整理得m2，k0.將上式代入式得54k20，整理得(4k25)(4k2|k|5)0，k0，解得0|k|或|k|.所以k的取值范圍是(，)(，0)(0，)(，)10(文用)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線：ykxm(k0，m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A(0，1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由