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1、海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí) 數(shù)學(xué)(理)答案及評(píng)分參考 2015.1一、選擇題(共8小題,每小題5分,共40分)(1)C (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)C (8)B二、填空題(共6小題,每小題5分,共30分。有兩空的小題,第一空2分,第二空3分)(9) (10) (11) (12) (13);4 (14)三、解答題(共6小題,共80分) (15)(共13分) 解:()的值是. 2分的值是. 5分()由題意可得:. 7分所以 8分 . 10分因?yàn)?,所以 .所以 當(dāng),即時(shí),取得最大值;當(dāng),即時(shí),取得最小值. 13分(16)(共13分)解:()抽取的5人中男同學(xué)的人數(shù)為
2、,女同學(xué)的人數(shù)為. 4分()由題意可得:. 6分 因?yàn)?, 所以 . 8分 所以 . 10分(). 13分(17)(共14分)證明:()連接. 在正方形中,.因?yàn)?平面平面,平面平面,平面,所以 平面. 1分因?yàn)?平面, 所以 . 2分在菱形中,.因?yàn)?平面,平面,所以 平面. 4分因?yàn)?平面, 所以 . 5分()平面,理由如下: 6分取的中點(diǎn),連接.因?yàn)?是的中點(diǎn),所以 ,且.因?yàn)?是的中點(diǎn),所以 .在正方形中,.所以 ,且.所以 四邊形為平行四邊形.所以 . 8分因?yàn)?平面,平面, 所以 平面. 9分()在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作.由()可知:平面. 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在的直線為軸,建立如圖所示
3、的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則.在菱形中,所以 ,. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?即所以 即. 11分 由()可知:是平面的一個(gè)法向量. 12分所以 . 所以 二面角的余弦值為. 14分(18)(共13分)解:()由得:.所以 橢圓的短軸長(zhǎng)為. 2分因?yàn)?,所以 ,即的離心率為. 4分()由題意知:,設(shè),則. 7分因?yàn)?9分 , 11分所以 .所以 點(diǎn)不在以為直徑的圓上,即:不存在直線,使得點(diǎn)在以為直徑的圓上. 13分另解:由題意可設(shè)直線的方程為,.由可得:.所以 ,. 7分所以 . 9分因?yàn)?, 所以 . 11分所以 .所以 點(diǎn)不在以為直徑的圓上,即:不存在直線,使得點(diǎn)在以為直徑的圓上. 13分
4、(19)(共13分)解:()函數(shù)是偶函數(shù),證明如下: 1分 對(duì)于,則. 2分 因?yàn)?, 所以 是偶函數(shù). 4分()當(dāng)時(shí),因?yàn)?,恒成立,所以 集合中元素的個(gè)數(shù)為0. 5分當(dāng)時(shí),令,由,得 .所以 集合中元素的個(gè)數(shù)為1. 6分當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以 函數(shù)是上的增函數(shù). 8分因?yàn)?,所以 在上只有一個(gè)零點(diǎn). 由是偶函數(shù)可知,集合中元素的個(gè)數(shù)為2. 10分綜上所述,當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為0;當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為1;當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為2.()函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn). 13分(20)(共14分)解:()因?yàn)?,所以 ,故. 1分 因?yàn)?,所以 . 所以 .所以 當(dāng)時(shí),取得最大值. 3分()由的定義可知:. 所以 . 6分設(shè)刪去的兩個(gè)數(shù)為,則.由題意可知:,且當(dāng)其中一個(gè)不等式中等號(hào)成立,不放設(shè)時(shí),.所以 . 7分所以.所以 ,即.8分()對(duì)于滿足()的每一個(gè)集合,集合中都存在三個(gè)不同的元素,使得恒成立,理由如下:任取集合,由()可知, 中存在最大數(shù),不妨記為
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