單擺實驗的改進畢業(yè)設(shè)計

1、 單擺實驗的改進摘要:介紹了單擺實驗的改進實驗方法，從理論推導(dǎo)上將擺角擴展到任意角；并提高了誤差的修正精度.；介紹了用計算機輔助測量單擺的振幅和周期的關(guān)系；介紹了用”漸進法”加大了周期的測量精度；從實驗裝置上進行了改良；給出了擺角的測量方案；從測量方法上更好的比較了多種測量方法，得出了更好的測量方法。關(guān)鍵詞:單擺；漸進法；計算機輔助測量；線性/非線性振動。 Improvement of the phys, simple pendulum experimentAbstract : Introduce phys, simple pendulum improvement experiment met

2、hod of experiment , derive from theory general wave corner expand wanton corner to; And has improved the precision of revision of the error. Recommend and assist and measure amplitude and relation of cycle of phys, simple pendulum with computer. Recommend with" advance gradually law" and s

3、trengthen the precision of measurement of cycle. Have improved from experimental provision, has got off the measurement scheme which puts the angle; From measure fine many kinds of measurement method at the method, draw kind measurement method.Keyword: Phys, simple pendulum, advancing gradually law,

4、 the computer assists measurement, Linear / non-linear vibration.1引言單擺實驗是一個古老的實驗,伽利略用單擺測出了大約的重力加速度.在單擺實驗測量重力加速度的過程中,存在著許多影響精度測量的因素,我們應(yīng)考慮這些不利因素,改進實驗裝置和實驗方法,推導(dǎo)更合理的理論計算公式,修正系統(tǒng)的誤差.2 單擺實驗的改進2.1 單擺的理論公式，實驗條件和實驗安排單擺的理想模型一根細線上端固定，下端系一金屬小球。細線質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以略不記，球的直徑相比擺長的長度可以忽略不記而作為質(zhì)點.設(shè)擺長L，重力加速度g，其運動方程： 當擺角很小時. ,s

5、in0式中及取決于初始條件。 ，為故單擺周期圓頻率故 可見，理想單擺周期T只與單擺擺長和當?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，若測得擺長和周期，就可求出當?shù)氐闹亓铀俣龋?圖（1） 單擺實驗理論圖 現(xiàn)實的模型（為任意角）不對角進行近似，及回復(fù)力： （a）由機械能守恒： （b）由（a），（b）可得： （1）上式可以寫成： 略去高次項，保留二次小量。有： （2）很小時，取零級近似有： （3） 式（3）中要求擺角的說法欠準確。在此提出質(zhì)疑： 由（2）式算得： 表一 擺角變化對周期的影響 1.000076 1.00017 1.00048 1.0019 1.0075 1.017 1.037式（2）與式（3）比較：當時，

6、有約萬分之五（0.00048）的差別，因此我們不能把式（3）成立的條件寫作；因為如果只計擺角影響，我們要求實驗結(jié)果的精確度高于萬分之五時，就夠了。反之，如果我們?nèi)菰S實驗的不高于千分之二時，式（2）與式（3）差0.0019也是允許的2.1.6 用擺長差求g 在物理實驗中常常不去測量物理量本身，而去測量其改變量。如測量金屬絲在外力下的伸長量，材料受熱膨脹量等。在改變量相對于物理量本身是一個小量的情況下可以得到較好的結(jié)果。這里用測量擺長差來代替直接測量擺長本身（擺球的重心難于準確測定）。如右圖所示：設(shè)l1為懸線的長度，r為擺球的半徑， 周期為T1，則擺長 （4）改變的長度為，相應(yīng)的周期為2則擺長為

7、（5）以上兩式（4）-（5）得： 即 代入（1）式中： 但是擺長差求g有局限性：如果能精確測量擺長，有 用擺線差 有 設(shè) 則 可見越小，結(jié)果越不好；只有在擺球是不規(guī)則物體或直接測不準時，采用擺長差的方法。2.2 實驗裝置及測量儀器 卡線機制 單擺的基本結(jié)構(gòu)是用線吊起一個擺球。單擺的懸點要在一個點上，把擺線緊緊卡住。擺線通過一個小孔垂下（圖5）是不好的。這樣在擺動時的擺長是一個不確定量?？ň€的辦法很多：用螺絲.夾板等都可以。用一個釘在墻上的斜刀也可以（圖6）。 卡線裝置 擺球 擺球常用鐵制。為了吊線，擺球上方會有一個“凸起”圖7a。加工擺球時可以挖出一個空隙與a補償，以免影響質(zhì)心的位置。設(shè)擺球的

8、直徑為28cm，a的線度為4cm，則a與擺球的質(zhì)量的質(zhì)量比為（4/28）3 1/343。a的存在將會使球的質(zhì)心偏離球心（28mm/2）*（1/343）0.04mm，即使沒有補償，也不會影響擺長的測量結(jié)果。為了用光電計時器計時，擺球的底面加一個擋光板圖7（a），也可獲得與“突起”a的補償效果擺球2.2.3 擺線 擺線用很系的鋼絲為好,利用圓周運動的向心力可以計算出擺線在各時刻的受力.估計其最大受力及伸長.可以得到t的改變量及對g的影響的數(shù)量級.擺線的選擇應(yīng)該使其影響可略去.尼龍絲的楊氏摸量小,相對伸長大,是不好的. 計時器.米尺和測擺角裝置 計時器用合格的石英振蕩電子秒表,在常溫下,可以達到10

9、 的精度,所以不需校準;機械秒表就必須校準.隨便的秒表是不可以用的.用光電計時器可以把測得的精確度0提高一個數(shù)量級. 測l要用帶卡口的長于1m的米尺 ,游標尺是不必要的.用測高儀測量擺長可以提高精度.在擺線后面加一塊表面有一豎直的平面鏡(圖8)可以減少視覺差,利用弧度尺(圖9a)或直尺(圖9b)都可以判斷或估算擺角: 擺角測量裝置2.3 測量2.3.1擺長和擺球直徑 用帶卡口的長米尺可以把擺長的估讀誤差降低到小于0.5mm,比較以下三種測量方案:圖10（a）是直接測量。如果擺球半徑，則利用代替的誤差為小于估讀誤差。這種方法的缺點是p點不易找準，帶來較大誤差。 圖10（b）是測量及，這種方法可能

10、會把擺線伸長。圖10（c）是測量及，這種方法較好，是三種方案中最好的。擺球直徑用游標卡尺測量，一次測量以足夠，誤差可以不計。必須測量沿懸線方向的直徑如圖11（a），不能去測量其他方向的。為此，可以把擺球做的略橢，且視看出來、從數(shù)據(jù)上可以看出來，要從不同起點多次測量，各次間相差應(yīng)不超過1cm，這樣如取=100cm，經(jīng)過多次測量的誤差為10-4。 擺角測量裝置2.3.2 周期2.3.2.1 用光電計時器測周期，用累積的方法，每次測n個周期得nT，測幾十個周期的相對誤差可減為測一個周期的1/n，算回到一個周期比測一個周期其絕對誤差亦減少為1/n，如果=100cm. ，則，各次間相差應(yīng)不超過0.2s，

11、則多次平均誤差在10-4 。 可考慮nT中n=？ 共測多少次？如果5次與n=50，測3次，那種好？注意：要在擺球過最底點時計時，這時擺球運動速度最快，理論上誤差最小。光電計時器的接收器進光縫要窄，要放在最低位置以減少阻尼引起的誤差。 .2上面一般常測量幾十個及至n個周期的時間間隔，再除以振動次數(shù)n，即可以得到較精確的周期值。實驗者在累計振動次數(shù)時常因疲勞而數(shù)錯振動次數(shù)，于是產(chǎn)生較大的誤差。這里采用“漸進法”測量單擺的周期：可以數(shù)較少的振動次數(shù)來獲得較高精度的周期值。 先測定n1個周期的時間間隔t1，一般取n1的值較?。ㄈ鏽1=30），由此得到的周期當然不夠精確，但是可以作為一次近似值T01，T

12、01= t1/ n1，當單擺繼續(xù)平穩(wěn)振動通過平衡位置可重新計時，此時實驗者可不必去數(shù)振動次數(shù)，經(jīng)過一段較長時間后當單擺再度與初始相同方向經(jīng)過平衡位置時，記錄該段的時間間隔t2，其間的振動次數(shù)n2理應(yīng)為整數(shù)。但計算t2/T01值時常出現(xiàn)小數(shù)位值。于是將該小數(shù)位值按四舍五入原則處理，其整數(shù)值就選定為n2，這樣就可以的到比T01更精確的周期T02. T02= t2/ n2. 一般取n2值較大（如n2為100左右）。在采用“漸進法”進行教學實踐時，常發(fā)現(xiàn)有些同學由實驗數(shù)據(jù)計算出來的t2/T01其小數(shù)位出現(xiàn)了3，4，5，6和7等數(shù)，并常伴最后得出的重力加速度值有較大的誤差，究其原因：主要是由于時間間隔的

13、測量誤差（t1和t2）較大引起的。如果一擺長的單擺振動周期的正確值T0正好為2s，分別測定這個擺30個， 100個周期的時間間隔t1。t2，在其測量誤差分別為. . 秒時，可以算出相應(yīng)的t2/T01（設(shè)該值為）。其結(jié)果如下表所示：表二 漸進法測周期表 t2t1 n/2200.0200.1199.9200.2199.8200.3199.760.0100.0100.1100.0100.199.9100.299.960.199.999.999.8100.099.8100.099.759.9100.2100.2100.1100.3100.1100.3100.060.299.799.799.699.89

14、9.699.899.559.8100.4100.4100.3100.4100.3100.5*100.260.399.599.699.599.699.499.799.459.7100.5*1006*100.5*100.6*100.4100.7*100.4從表中可知，只有在.均在0.1s以下，n2的小數(shù)位上僅出現(xiàn)1，2，8，9；當.達0.2s時，n2的小數(shù)位上就出現(xiàn)了19各數(shù)；此時由n2小數(shù)位值按四舍五入原則處理得到。如表中打*號的數(shù)，雖然其小數(shù)位數(shù)大于5，但不能進位取n2等于101。表中打號的數(shù)，其小數(shù)位數(shù)小于4，但不能舍去取n2等于99。如n2值計錯一次，將導(dǎo)致g值的相對誤差達百分之二。由于：

15、 一般情況下滿足： .所以 與的偏差為，只有當滿足時才由按四舍五入原則處理得到正確的值，由于/ n11，所以的影響要比大。適當增加t1測量次數(shù)并取其平均值，則可以減小；如/ n1值選取過大，會使變大?？刹捎谩岸綕u進法”來克服這個缺點。如第一次測30個周期（n1=30）的時間間隔t1，第二次根據(jù)T01值測大約65個周期的時間間隔t2（n2=65），第三次再根據(jù)T02值測約140個周期的時間間隔t3（n3=140）。于是根據(jù)n3值計算出的T03值比T02更接近T0值，不難證明，即使t1. t2 . t3的測量誤差絕對值君達0.3秒，相應(yīng)的 和的絕對值也不會超過0.5，這種方法既有較高的測量精度，

16、又允許時間測量可有稍大的誤差，是一種較佳的實驗測量方案。 單擺2.3.3.1 前面已經(jīng)推導(dǎo)了擺角為任意角時的周期公式: 從理論上推導(dǎo)了周期與擺角(振幅)的關(guān)系.但是通常的實驗方法測量單擺的振動周期與振幅的關(guān)系很困難,在本實驗中用計算輔助測量,使實驗的精度和效益大為提高.2.3.3.2 測量裝置簡圖如圖1所示:將兩組高亮度發(fā)光二極管和光電三極管固定在板上,兩組間距4cm,放于o點下方.擺錘在擺動時, 光電三極管會不斷產(chǎn)生脈沖信號,經(jīng)整形與放大電路后變成符合要求的脈沖信號,供計算機測量并計算周期和振幅. 設(shè)發(fā)光二極管被擋住光的時刻為,被擋住光的時刻為;擺錘返回時經(jīng)時刻為,經(jīng)過為; 擺錘又一次改變方

17、向,經(jīng)過被擋光的時刻為,時刻為.則單擺的振動周期為: 擺錘通過第一光門的速度: ;通過第二光電門的速度: .由于空氣的粘度為量級.實驗中所用的擺錘是500g 不銹鋼球,因此空氣阻力的量級為N,故空氣阻力可以忽略.根據(jù)機械能守恒定律,在測量某一擺角周期的時間范圍內(nèi)其振幅的計算公式為: 式中l(wèi)為擺長,g為當?shù)氐闹亓铀俣? 本實驗中擺長為50cm,時間分辨率為16bit.由于篇幅的限制,這里只給出測量的部分數(shù)據(jù): 表三 振幅與周期的關(guān)系表/deg 52.62 54.03 58.56 60.90 65.82 70.10 75.56 77.12 79.08 81.31T/s 1.500 1.504 1

18、.520 1.526 1.549 1.568 1.592 1.600 1.608 1.616由數(shù)據(jù)可知:單擺的周期隨幅度的增加而增加.單擺的振動理論方程為: (6)用龍格-庫塔法解該方程.初始條件為: , 將(3)式二階方程轉(zhuǎn)化為一階方程組的初值問題: 初始條件: 步長h=0.1m, 這時.其四階龍格-庫塔公式有以下形式: (7)其中 由（6）式求出單擺的振動周期和幅度的理論關(guān)系，如下圖中實線所示（圖中表示測量值），從圖中可以看出實驗與理論符合的很好。單擺在擺角小于5度近似線形振動，大于5度明顯非線形振動。 2.4 系統(tǒng)誤差的歸結(jié)和修正2.4.1 復(fù)擺的修正實際上，任何單擺都不是理想的。例如，

19、擺球并非質(zhì)點，繞懸點有轉(zhuǎn)慣量外，還應(yīng)考慮其擺動過程中繞其自身轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；擺線也有一定質(zhì)量，重力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，繞懸點的轉(zhuǎn)動慣量: 。 若不計空氣阻力和浮力，則由轉(zhuǎn)動定理可得： （4.1）當擺角時, 上式變?yōu)楣蕪?fù)擺的周期: 考慮到 .利用二項式展開,再略去高次項有: 浮力的校正設(shè)空氣的密度為,擺球的密度為.由于空氣的浮力的影響。根據(jù)（4.1）式有： （4. 2）考慮到， .利用二項式展開,再略去高次項 擺角的修正 在（4. 2）式中，如果擺角不太小時，根據(jù)振動理論其振動周期： 略去高次項，作二次近似有： （4.3） 阻尼的修正實際上，由于擺球振動時還受到空氣的阻力作用。振幅要逐漸減小，最終要停下

20、來。它不是作簡諧振動，而是作阻尼振動。在擺球運動速度不太大時，阻力與速度成正比，方向總是和速度方向相反，這時擺球的運動方程為： （4.41） 式中：和為最大振幅初相位。由初始條件決定。為阻尼因子，為阻尼振動時的圓頻率。阻尼振動的周期： （4.42）式中的無阻尼時，擺球振動的固有頻率設(shè) （4.43）由 (4.3)式 （4.44）將(4.44)式代入（4.42）中，有： 因而重力加速度： 將（4.43）代入上式，并略去高次項： 由(4.41)式可見：單擺運動的振幅隨時間衰減，振幅越小，說明阻尼越小，振幅隨時間衰減越慢；越大，說明阻尼越大，振幅隨時間衰減越快。設(shè)t時刻和（t+nt）時刻的振幅分別為： 式中n為正整數(shù)。則有： 對上式兩邊取對數(shù)得：ln=令t=0，所以 根據(jù)上式，利用振幅的衰減，就可以測量空氣對單擺運動阻尼因數(shù) 2.5 數(shù)據(jù)處理作圖 可作l-（50T）2，（50T）2l，lT2，T2l或者lT的對數(shù)圖等，得直線這時式得到驗證，圖不必包括原點，從斜率或截距可以求g；如果要求用作圖法驗證單擺公式，則必須滿足：（1）圖為一直線；（2）過原點；（3）從圖中的斜率或截距可以求得g與已知實際g值相等。2.5.2 回歸法及其他 可以用回歸法，平均法，差值法求g。對于4位以上的精度要求不能用作圖法如果使擺長改變?yōu)榈乳g距的，可用逐差法或回歸的簡便方法。2.5