西工大、西交大自動控制原理 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型3-4

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-5試列寫圖示速度控制系統(tǒng)的微分方程。負(fù)負(fù)載載功功率率放放大大器器電位器電位器運算放大器運算放大器運算放大器運算放大器電動機電動機減速器減速器測速發(fā)電機測速發(fā)電機反饋聯(lián)接反饋聯(lián)接gu2uaufucM控制系統(tǒng)微分方程的建立21u第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)微分方程的建立2運算放運算放大器大器運算放運算放大器大器功率功率放大器放大器電動機電動機測速電機測速電機gu1u2uaufueu-K1-K2第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型列寫各元部件的微分方程：efguKuuKu1111122udtduKu2

2、3uKuaccammmmMKuKdtdTtfKu運算放大器運算放大器 功率放大器 電動機 測速電機減速器mi1控制系統(tǒng)微分方程的建立2第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型消去中間變量 ，整理后可得到控制系統(tǒng)的分方程為 ccggggmMKuKdtduKdtdT 123123/mmmtmtTiTK K K K KiK K K K KtmmgKKKKKiKKKKK321321/tmmgKKKKKiKKKKK321321/tmccKKKKKiKK321/ 控制系統(tǒng)微分方程的建立2第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型列寫系統(tǒng)微分方程的步驟：1) 分析系統(tǒng)的工作原理， 確定輸入

3、量與輸出量；2) 從輸入端開始，依次列出各元件的運動方程； （要考慮到相鄰元件間的相互影響，即所謂負(fù)載效應(yīng)問題）；控制系統(tǒng)微分方程的建立2第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3) 消去中間變量，求輸入量與輸出量之間關(guān)系的運動 方程；4) 將所得系統(tǒng)輸入量與輸出量函數(shù)關(guān)系的運動方程 式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即：將與輸出量有關(guān)的項放在 方程式左邊；將與輸入量有關(guān)的項放在方程式右 邊；將多階導(dǎo)數(shù)項按降冪排列；將各系數(shù)盡量化成 具有一定物理意義的系數(shù)?？刂葡到y(tǒng)微分方程的建立2列寫系統(tǒng)微分方程的步驟：第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型拉氏變換法求解線性定常微分方程的一般步驟：1)

4、考慮初始條件，對微分方程的每一項進(jìn)行拉氏變換，將 微分方程變成以s為變量的代數(shù)方程；2) 整理代數(shù)方程，求出待求輸出量函數(shù)的拉氏變換式；3) 通過直接查拉氏變換表，或經(jīng)過處理(展開成部分分式 之和)，變成適合于查表的形式后再查拉氏變換表，求 得待求輸出量函數(shù)的時域表達(dá)式，即為線性定常微分方 程的解。 線性常微分方程的求解3第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：無源網(wǎng)絡(luò)RLC 的微分方程為： tutudttduRCdttudLCrccc22對方程兩端進(jìn)行Laplace變換例2-6 若在無源網(wǎng)絡(luò) 中，已知， ， ，且電容的初始電壓 ， 初始電流 ，電源電壓 。求 電路突然接通電源時

5、電容電壓 的變化規(guī)律。 tucRLCHL1FC11RVuc1 . 0) 0 ( Ai1 . 00 Vtur1線性常微分方程的求解3 22cccrd utdutututdtdt第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 00222ccccususUsdttudL 0 =0.1ccccdutLsUsusUsdt 001100 =0.1ccttdutui tidtCC整理后得 12 . 01 . 0122ssssssUsUrc線性常微分方程的求解3 22cccrd utdutututdtdt第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 為階躍函數(shù)時，即 ；拉氏變換為 ，對輸出的拉氏變換

6、式進(jìn)行拉氏反變換： tur ttur1 ssUr/1 2210.10.21s1csUsssss 線性常微分方程的求解3 11221122210.10.211110.10.218 90.9*111ccsutLUsLsss sssssLLssssssss 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性常微分方程的求解3 12122122220.50.518 90.9*111 2+7 180.9*1 23 211 2710.9*201 23 21 23 271 0.9cos 0.866sin 0.86610 3cttsutLssssLsssLsssetet 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控

7、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 嚴(yán)格地說，實際物理系統(tǒng)都存在非線性，從模型的準(zhǔn)確性的角度考慮，應(yīng)該用非線性方程來描述系統(tǒng)。這又增加了模型的復(fù)雜性，因此，建模中的一個重要問題是模型的線性化。 這門課只討論線性定常（時不變）模型。非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。 在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似線性化方法。非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

8、線性化的方法有： 1)、忽略弱非線性環(huán)節(jié)（如果元件的非線性因素較弱，或者工作在線性范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，可以忽略其非線性。）非線性微分方程的線性化4例如，電位器，彈簧第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性化的方法有： 2)、小偏差線性化（微偏法，切線法，增量線性化法） 小偏差線性化基于一種假設(shè)，就是在控制系統(tǒng)的整個調(diào)節(jié)過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設(shè)是符合許多控制系統(tǒng)實際工作情況的，各元件主要工作在平衡點附近。非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化4非線性系統(tǒng)的工作點0 xy飽和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0

9、)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 小偏差線性化的數(shù)學(xué)處理: 對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項，可以得到等效的線性環(huán)節(jié)。適用于具有連續(xù)變化的非線性特性。非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1) 設(shè)連續(xù)變化非線性函數(shù)為 ，如圖所示，取某平衡狀態(tài) A 為工作點，對應(yīng)有 ，當(dāng) 時，有 。設(shè)該函數(shù)在點 處連續(xù)可微，則將其在該點附近用泰勒級數(shù)展開： xfy )(00 xfy xxx0yyy0),(00yx 小偏差線性化的數(shù)學(xué)處理: 非線性微分方程的線性化40 x0 xdxdf0yA)(xfy yx0第二章第二章 控制系

10、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型002200021()|()|().2!x xx xdyd yyf xxxxxdxdx若 很小，則 即 上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0| 小偏差線性化的數(shù)學(xué)處理: yKx非線性微分方程的線性化40 x0 xdxdf0yA)(xfy yx0第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (2）對于具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設(shè)輸入 量為x1(t)和x2(t) ，輸出量為 y(t) ，系統(tǒng)正常工作點為y0 f (x10, x20) 。在工作點附近展開泰勒

11、(Taylor)級數(shù)得： 10201102201222222110110220220221122(,)()()1()2()()()2!ffyf xxxxxxxxfffxxxxxxxxxx xx 非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型忽略二階以上各項，可寫成 )()(),(202210112010 xxxfxxxfxxfy非線性微分方程的線性化41122yK xKx 實際的工作情況在工作點附近，變量的變化必須是小 范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變 量變化范圍有關(guān)。第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3)平均斜率法非線性微分方程的線性

12、化4如果某非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示。此時不能用小偏差線性化法，可用平均斜率法得線性化方程為 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死區(qū))電機不可導(dǎo)的非線性 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、 庫侖干摩擦、飽和特性等），它應(yīng)當(dāng)是可以用泰勒級 數(shù)展開的(在該點連續(xù))； 注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理。非線性微分方程的線性化40繼電特性0飽和特性嚴(yán)重的非線性 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型非線性微分方程的線性化4例2-7 擺振蕩模型amgLT

13、sin00sin(0)adaTTmgLadamgLaamgLa0=0在30度的變化范圍內(nèi)，擺的線性模型誤差小于2%扭矩：振蕩擺 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-8 對圖示倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行線性化OyxsinlxcoslllmgupMx設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為M 和m ，擺桿長為l ，且重心位于幾何中點處，小車距參考坐標(biāo)的位置為x ，擺桿與鉛垂線的夾角為 ，擺桿重心的水平位置為 ，垂直位置為 。sinlxcosl非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型OyxHVVmguHMx倒立擺系統(tǒng)隔離體受力圖非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)

14、的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動cossindd22HlVltJ式中J 為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量， 為垂直力關(guān)于其重心的力矩， 為水平力關(guān)于其重心的力矩。 sinVlcosHl擺桿重心的水平運動Hlxtm)sin(dd22擺桿重心的垂直運動mgVltm)cos(dd22小車的水平運動HutxM22dd非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型因為在這些方程中包含 和 ，所以它們是非線性方程。若假設(shè)角度 很小，則有和 。可得下列線性化方程：sincossin1coscossindd22HlVltJHlxtm)sin(dd22mgVltm)cos(dd22HutxM22ddHlVlJ Hlxm)( mgV 0HuxM 非線性微分方程的線性化4第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型