公平分配問題-數(shù)學(xué)建模

1、公平分配問題摘要公平分配問題是生活中常遇到的問題。對于企業(yè)、公司、學(xué)校、政府部門多能解決的實(shí)際問題。公平分配的原那么就是讓每個(gè)人多能得到同等的對待。而考慮到時(shí)記得多重因素下，傳統(tǒng)的平均分配的方法往往不能較好的解決其中的公平問題，很多時(shí)候根本沒有公平的分配方法。我們需要另尋其他方法。我們將以Q值法進(jìn)行逐一分析與檢驗(yàn)，使得得出一個(gè)最正確的合理方案。即：使得各自的分配最公平。關(guān)鍵詞：公平分配 最正確方案 最公平班級(jí)： ： 學(xué)號(hào)： 問題重述三人合作承包了1000件物品的搬運(yùn)工作，總收入為20元(假設(shè)最小單位為元) 。工作完成后，甲搬運(yùn)了 515 件，乙搬運(yùn)了 315件，丙搬運(yùn)了170件。分別應(yīng)得收入1

2、0.3, 6.3, 3.4 元。因?yàn)樽钚挝粸樵? 因此三人各自拿了應(yīng)得的整數(shù)局部后, 剩下1元?dú)w應(yīng)得數(shù)中小數(shù)最大的一位丙。即分別收入10元，6元，4元。由于三人表現(xiàn)較好，提前完成了搬運(yùn)工作。貨主作為獎(jiǎng)勵(lì)，搬運(yùn)費(fèi)支付了21元錢。于是甲提議重新分配收入。21 元按完成工作量各自應(yīng)得 10.815, 6.615, 3.57元。取整數(shù)后，按小數(shù)大小分配剩余，分別得分配收入11元，7元，3元。答復(fù)以下問題：1上分配方案是否公平？為什么？2建立數(shù)學(xué)模型確定分配方案符號(hào)說明A、B 某人 A搬運(yùn)的貨物數(shù)量 B搬運(yùn)的貨物數(shù)量 搬運(yùn)數(shù)量的貨物的報(bào)酬 搬運(yùn)數(shù)量的貨物的報(bào)酬P(guān) 衡量不公平程度(,) 相對于A的不公平

3、值(,) 相對B的不公平值 k對應(yīng)的人的報(bào)酬的Q值 甲對應(yīng)的Q值的大小 乙對應(yīng)的Q值的大小 丙對應(yīng)的Q值得大小根本假設(shè)假設(shè)兩個(gè)人分配，分配方法就會(huì)趨于簡單更便于我們對問題的處理。故假設(shè)兩個(gè)人分配的的分配問題，先從兩個(gè)人入手，對一般問題的討論。有一般推廣，并運(yùn)用于多對象問題的討論。模型設(shè)計(jì)先討論兩個(gè)人公平分配報(bào)酬問題的情況，如以下列圖。A、 B分配報(bào)酬情況某人搬運(yùn)貨物報(bào)酬每件的報(bào)酬AB要滿足公平，應(yīng)該有但這一般不成立。注意到等是不成立時(shí)，有假設(shè)，那么對A不公平；假設(shè)，那么對B不公平；因此，可以考慮用算式p=來作為衡量分配不公平程度，不過此公式有缺乏之處絕對數(shù)的特點(diǎn)，如果個(gè)人的搬運(yùn)件數(shù)和報(bào)酬為=1

4、0, =120，=100，算得p=2；另兩人的搬運(yùn)件數(shù)和報(bào)酬為=10, =1020，=1000，算得p=2.雖然在兩種情況下都有p=2，但顯然第二種情況比第一種情況公平。下面采用先對標(biāo)準(zhǔn)對公式給予改進(jìn)，定義勞動(dòng)報(bào)酬的相對不公平標(biāo)準(zhǔn)公式如下.假設(shè)，定義(,)=為對A的相對不公平值。假設(shè)，定義(,)=為對B的相比照公平值。 由定義知，對某人的不公平值越小，該人在報(bào)酬分配中越有利，因此，可以用不公平只盡量笑得分配方案來減分配中得不公平。 下面討論通過使用不公平值的大小來確定分配方案。 設(shè)A的搬運(yùn)件數(shù)為，所得報(bào)酬為，B的搬運(yùn)件數(shù)為，所得報(bào)酬為。再增加一元報(bào)酬，分別分配給A、B，有如下不公平值(+1,)

5、=-1(,+1)=-1用不公平值的公式來決定報(bào)酬的分配。對于新的報(bào)酬分配，假設(shè)有(+1,) (,+1)那么增加的報(bào)酬應(yīng)給A，此時(shí)對不等式(+1,) (,+1)進(jìn)行簡化，可以得出不等式引入公式=于是知道增加的報(bào)酬分配可以由得最大值決定，它可以推廣到多個(gè)人的一般情況。用的最大值決定報(bào)酬分配的方法稱為Q值法。對于個(gè)人m個(gè)人的報(bào)酬分配Q值法可以描述：（1） 先計(jì)算每個(gè)人的Q值，即k=1,2，m；（2） 求出其中最大的Q值假設(shè)有多個(gè)最大值任選其中一個(gè)即可；（3） 將報(bào)酬分配給最大值對應(yīng)的i對應(yīng)的人。模型求解先按應(yīng)分配的整數(shù)局局部配，余下的局部按Q值分配。本問題的整數(shù)額共分配了19元整，具體為；甲 10.3 =10乙 6.3 =6丙 3.4 =3對第20元的分配，計(jì)算Q值為=2411.1 =2362.5=2408.3因?yàn)樽畲?，所以?0元應(yīng)給甲。對第21元的分配，計(jì)算Q值為=2021.3=2362.5=2408.3因?yàn)樽畲?，所以?1元應(yīng)給丙。最后的搬運(yùn)會(huì)支付為；甲11元 乙6元 丙4元。模型分析假設(shè)一開始用Q值法分配，以主次增加一元，也可以得到同同樣的結(jié)果。模型構(gòu)建中我們可以以最簡單的開始構(gòu)建，從簡單到復(fù)雜的過程。對設(shè)計(jì)較多對象的問題，先通