概率統(tǒng)計試題及答案參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 一、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，共15分。）1一射手向目標(biāo)射擊3 次，表示第次射擊中擊中目標(biāo)這一事件，則3次射擊中至多2次擊中目標(biāo)的事件為( )：2. 袋中有10個乒乓球，其中7個黃的，3個白的，不放回地依次從袋中隨機(jī)取一球。則第一次和第二次都取到黃球的概率是( )； ； ； ； 3. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為且 ，則有( )； 4設(shè)，為的一個樣本， 下列各項(xiàng)為的無偏估計，其中最有效估計量為（ ）。 5. 設(shè)是來自總體的一個樣本，對于已知和未知時的期望的假設(shè)檢驗(yàn)，應(yīng)分別采用的方法為（ ）。 A U檢驗(yàn)法和T檢驗(yàn)法 B T檢驗(yàn)法和U檢驗(yàn)法

2、C U檢驗(yàn)法和檢驗(yàn)法 D T檢驗(yàn)法和F檢驗(yàn)法二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分。）1. 若X服從自由為n的t分布，則X2服從自由度為 ， 的F分布。2在長度為的時間間隔內(nèi)到達(dá)某港口的輪船數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，而與時間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時間以小時計）某天12時至15時至少有一艘輪船到達(dá)該港口的概率為 。3設(shè)相互獨(dú)立，且同服從于參數(shù)為的指數(shù)分布，則的分布函數(shù)為： 4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且，則= 5從服從正態(tài)分布的的總體中抽取容量為9的樣本，樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，則總體均值的置信水平為95%的置信區(qū)間為 三、計算下列各題（14小題每題8分，5、6小題每題10分，共52分）1. 設(shè)

3、事件A發(fā)生的概率為p ，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生多少次的概率最大？2. 據(jù)統(tǒng)計男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？3. 由100個相互獨(dú)立起作用的部件組成的一個系統(tǒng)在運(yùn)行過程中，每個部件能正常工作的概率為90% 為了使整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行，至少必須有85%的部件正常工作，求整個系統(tǒng)能正常運(yùn)行的概率4. 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求隨機(jī)變量的概率密度5. 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，其中由軸軸及直線所圍成， 求的邊緣概率密度， 計算。6. 某工廠生產(chǎn)的設(shè)備的壽命(以年計)的概率密度為

4、工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換若出售一臺設(shè)備可贏利150元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望四、（10分）總體的概率密度為，是來自總體的樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量.五、（8分） 若某地區(qū)一天出生的嬰兒人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，以表示其中男嬰的個數(shù)，每一新生嬰兒為男性的概率是，求：（1） 已知某一天出生的嬰兒人數(shù)為，其中有個是男嬰的概率（2） 與的聯(lián)合概率分布（3） 的概率分布律附：；。 武漢理工大學(xué)教務(wù)處一1C； 2.A； 3.D； 4.B； 5.A。二 11,n； 2； 3 ； 4 5。三1. 設(shè)A發(fā)生次概率最大，因A發(fā)

5、生次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，,故,解得 8分；2.設(shè)，已知 ，則有 8分；3. 令. 則有,相互獨(dú)立. 3分；于是 . 8分；4. 當(dāng)時， ； 3分；當(dāng)時，；當(dāng)時，。 5分；于是， 8分；5. 的聯(lián)合概率密度為 (1) ， 5分； 。 10分；6. 設(shè)贏利為，則有 4分； . 10分；四. 矩估計法： ，令 ，得 。 5分極大似然估計法：，令 ，則有 ，于是 。 10分五. （1）； 3分； （2） ； 3分； （3） . 2分.武漢理工大學(xué)考試試題紙 （ A 卷）一、 單項(xiàng)選擇題(每小題3分，滿分15分)（1）設(shè)A、B是兩個互相對立的事件，且，則下列結(jié)論正確的是(A) (B) (C)

6、(D) . 【 】（2）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，是X的分布函數(shù)，則在其定義域內(nèi)一定是 （A）非階梯形間斷函數(shù) （B）可導(dǎo)函數(shù)（C）階梯函數(shù) （D）連續(xù)但不一定可導(dǎo)的函數(shù). 【 】（3）設(shè)，且X與Y相互獨(dú)立，則下列結(jié)論正確的是（A） (B) (C) (D) . 【 】（4）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則等于（A） 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44. 【 】（5）設(shè)總體，是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本. 又設(shè)樣本的均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S，則統(tǒng)計量 服從的分布是(A) (B) (C) (D) . 【 】二、填空題（每小題3分，滿分15分）（1）袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，

7、兩人依次從袋中各取一球，取后不放回. 則第二個人取到黃球的概率是 .（2）若隨機(jī)變量，且，則= .（3）設(shè)射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.4，今射手向目標(biāo)射擊了10次，若表示射手擊中 目標(biāo)的次數(shù)，則 .（4）設(shè)隨機(jī)變量X的方差是2，則由切比雪夫不等式可得 .（5）設(shè)是取自總體的樣本，并且是參 數(shù)的無偏估計量，則常數(shù) C = . 三、計算題（滿分10分） 已知，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度. 四、計算題（滿分10分）設(shè)事件A、B滿足條件，. 定義隨機(jī)變量X、Y 如下： 求二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律. 五、計算與解答題（滿分10分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為： （1）求常數(shù)A ；

8、（2）計算協(xié)方差； （3）說明X與Y的相關(guān)性. 六、計算題(滿分10分) 設(shè)電路供電網(wǎng)內(nèi)有10000盞燈，夜間每一盞燈開著的概率為0.7，假設(shè)各燈的開關(guān)是相互獨(dú)立的，利用中心極限定理計算同時開著的燈數(shù)在6900與7100之間的概率. 七、計算題（滿分10分） 設(shè)總體X的概率密度為： 是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量. 八、計算題（滿分10分） 從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求樣本均值位于區(qū)間 (1.4，5.4) 內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？ 九、計算題（滿分10分）設(shè)某種電子元件的使用壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10個元件進(jìn)行檢測，

9、得到樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差. 求總體均值的置信概率為99的置信區(qū)間. 附表： ， ，武漢理工大學(xué)教務(wù)處| 課程名稱概率論與數(shù)理統(tǒng)計（ 卷）| 一. 選擇題（每小題3分，共15分） 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A裝 二. 填空題（每小題3分，共15分）| 1.0.4 2. 0.2 3.18.4 4. 5.| 三. （10分） 4分 8分 10分| 四. （10分）的可能取值（0，0），（0，1）（1，0）（1，1）2分 4分 6分 8分 10分 五. （10分）（1）由，得1 2分（2） 6分 9分 （3） 與不相關(guān) 10分六.（10分）設(shè)同時開著的燈數(shù)為， 2分 （近似） 5分 10分七

10、.（10分） 3分 解，得的矩估計量為 5分 7分 令 得的極大似然估計量為 10分八.（10分） 3分 7分解 得 至少取35 10分九.（10分） 4分 8分所求為（1485.61，1514.39） 1武漢理工大學(xué)考試試題紙（A卷）（閉卷）1填空題（15分）（1）設(shè)隨機(jī)事件,互不相容，且，則（2）設(shè)隨機(jī)變量服從（-2，）上的均勻分布，則隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為.（3）設(shè)隨機(jī)變量和的期望分別為和2，方差分別為1和4，由切比雪夫不等式， （4）設(shè)某種清漆干燥時間（單位：小時），取容量為n的樣本,其樣本均值和方差分別為，則的置信度為1-的單側(cè)置信上限為：.（5）設(shè)為取自總體的樣本，參數(shù)均未知，則

11、對于假設(shè)作檢驗(yàn)時，使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計量 （用與等表示）. 2（10分）設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)1/4，又知第一、二、三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別有2%、4%、5%的次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。3. （10分）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，以表示對的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，試確定常數(shù)，并求概率。4. （15分）設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的概率分布為求：（1）隨機(jī)變量X的密度函數(shù)；（2）概率。5. （10分）已知隨機(jī)變量、分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求：（1）數(shù)

12、學(xué)期望，方差；（2）與的相關(guān)系數(shù)。6. （10分）證明：（馬爾科夫定理）如果隨機(jī)變量序列，滿足則對任給，有.7. （15分）設(shè)，是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，為樣本二階中心矩，為樣本方差，問下列統(tǒng)計量：（1），（2），（3）各服從什么分布？8（15分）設(shè)總體服從區(qū)間0，上的均勻分布，0未知，是來自的樣本,（1）求的矩估計和極大似然估計；（2）上述兩個估計量是否為無偏估計量，若不是請修正為無偏估計量；（3）試問（2）中的兩個無偏估計量哪一個更有效？1（15分）（1）4/7；（2）;（3） (4)上限為; （5） 2（10分）解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第

13、家工廠生產(chǎn)的”（）。 則，且，兩兩互不相容，（1） 由全概率公式得 （2）由貝葉斯公式得 = 3. （10分）解：由歸一性所以=2。即 所以，從而 =4. （15分）解：（1）時，=0； 時，=故隨機(jī)變量的密度函數(shù)= （2）5. （10分）解：（1）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得 （2） 從而有與的相關(guān)系數(shù) 6. （10分）證明： ，由切貝雪夫不等式，得，根據(jù)題設(shè)條件，當(dāng)時, ，但概率小于等于1，故馬爾科夫定理成立.7. （15分）解：（1）由于，又有，因此；（2）由于，又有，因此；（3）由得：，由分布的定義得：.8（15分）解：（1），令，得的矩估計量；似然函數(shù)為：其為的單調(diào)遞減函

14、數(shù)，因此的極大似然估計為。（2） 因?yàn)?，所以為的無偏估計量。又因?yàn)榈母怕拭芏群瘮?shù)為：所以因此為的有偏估計量，而為的無偏估計量。（3） ，于是比更有效。武漢理工大學(xué)考試試題紙（ A卷）課程名稱 概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)班級題號一二三四五六七八九十總分題分 備注: 學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為 則( )A 0B 0.25C 0.5 D 12. ，則是 。A、是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，但既非離散也非連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)B、不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)C、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) D、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

15、3 設(shè)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)，則常數(shù)A=（ ）A、 B、 C、 D、4 X服從參數(shù)的指數(shù)分布，則P=（ ）A、 B、 C、 D、F()F()5 設(shè)總體，為來自總體樣本， ,在顯著性水平下,假設(shè)，> (為已知數(shù))，則當(dāng)（ ），拒絕.A、 B、C、 D、二、填空題(本大題共5空，每空3分，共15分)1、設(shè)兩兩獨(dú)立的三個隨機(jī)事件A，B，C滿足ABC=，且P（A）=P（B）=P（C）=x，則當(dāng)x= 時， 2、設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，且，則P（B）= .3、設(shè)隨機(jī)變量即指數(shù)分布，則的密度函數(shù)為 ， 4、設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度為則當(dāng)時，關(guān)于的邊緣概率

16、密度 . 5、設(shè)為隨機(jī)變量，且，則 以下每題12分三 已知一批產(chǎn)品中有90是合格品，檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，一個合格品被誤判為次品的概率為0.02，一個次品被誤判為合格品的概率是0.05.求：(1)任意抽查一件產(chǎn)品，它被判為合格品的概率；(2)一個經(jīng)檢查被判為合格的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率.四 設(shè)試求(1)分布函數(shù) (2)五 在長為的線段上任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望。六 設(shè)總體,是從此總體中抽取的一個樣本,指出下面估計量, ,是的無偏估計,并指出哪一個更有效.七 設(shè)總體在區(qū)間服從均勻分布。未知，為來自于總體的樣本，求 的矩估計量。八 （10分）加法器在做加法運(yùn)算時根據(jù)四舍五入原則先對每個加數(shù)取整后

17、再運(yùn)算。多少個數(shù)相加時，可使誤差總和的絕對值不超過10的概率大于0.95?( )武漢理工大學(xué)教務(wù)處一 (本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、B 2、A 3、C 4、A 5、D 二 (本大題共5小題，每小題3分，共15分)1、 2、 3、 , 4、 5、1三 表示合格品事件，產(chǎn)品檢驗(yàn)合格事件 (1) (2)四 五 ，=六 , , 故都是的無偏估計 4分, , 4分 因?yàn)?lt;, 故更有效. 2分七 注：答案不唯一，方法和答案正確，參照此給分 八 =2作業(yè)2（修改200810）4. 擲一枚非均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)為止所需投擲的次數(shù),求的概率分布.解 對

18、于,前次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面的概率是,前次出現(xiàn)反面,第次出現(xiàn)正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一個小班有8位學(xué)生,其中有5人能正確回答老師的一個問題.老師隨意地逐個請學(xué)生回答,直到得到正確的回答為止,求在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學(xué)生個數(shù)的概率分布. 第1個能正確回答的概率是, 第1個不能正確回答,第2個能正確回答的概率是, 前2個不能正確回答,第3個能正確回答的概率是, 前3個不能正確回答,第4個能正確回答的概率是, 前4個都不能正確回答的概率是. 設(shè)在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學(xué)生個數(shù)為,則有分布01235/815/565/561/566. 設(shè)某人有100位朋友都

19、會向他發(fā)送電子郵件,在一天中每位朋友向他發(fā)出電子郵件的概率都是0.04,問一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少?試用二項(xiàng)分布公式和泊松近似律分別計算.解 設(shè)一天中某人收到位朋友的電子郵件,則,一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是. 1) 用二項(xiàng)分布公式計算. 2) 用泊松近似律計算.8. 設(shè)服從泊松分布,分布律為.問當(dāng)取何值時最大？解 設(shè),則,數(shù)列是一個遞減的數(shù)列. 若,則最大. 若,則當(dāng)且時,最大.由此得 1) 若,則最大. 2) 若,則. 由上面的1)和2)知,無論或,都有.12. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.求的分布函數(shù),并作出與的圖形.解 .11. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.

20、求常數(shù)和的分布函數(shù),并求概率.解 , . .15. 設(shè)隨機(jī)變量的密度為.求常數(shù).解 .由上式得.15. 離散型隨機(jī)向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求邊緣分布.又問隨機(jī)變量是否獨(dú)立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因?yàn)?所以,不獨(dú)立.18 設(shè)隨機(jī)向量服從矩形上的均勻分布,求條件概率.解 , , .22. 隨機(jī)向量有聯(lián)合密度,其中.求系數(shù)和落在圓內(nèi)的概率.解 因而.而 .27. 設(shè),分別找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 設(shè),則. . .代入的值查得,.28. 某商品的

21、每包重量.若要求,則需要把控制在什么范圍內(nèi).解 設(shè),則. .28. 設(shè)服從自由度為的分布,即有密度.求的密度.解1 當(dāng)時,.當(dāng)時, .因而.解2 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .29. 由統(tǒng)計物理學(xué)知道分子運(yùn)動的速率遵從麥克斯威爾(Maxwell)分布,即密度為.其中參數(shù).求分子的動能的密度.解1 當(dāng)時,.當(dāng)時, .因而.解2 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .30. 設(shè)服從上的均勻分布,.求的分布.解 有密度.有分布函數(shù) .31. 質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地落在中心在原點(diǎn),半徑為的圓周上,并且對弧長是均勻地分布的.求落點(diǎn)的橫坐標(biāo)的概率密度.解 設(shè)落點(diǎn)極坐標(biāo)是,則服從

22、上的均勻分布,有密度.設(shè)落點(diǎn)橫坐標(biāo)是,則,的分布函數(shù)為.當(dāng)時,.當(dāng)時,.當(dāng)時.因而落點(diǎn)的橫坐標(biāo)有概率密度.34. 設(shè)隨機(jī)變量服從在上的均勻分布,求的分布.解 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .36. 設(shè)和獨(dú)立,密度分別為和,求的密度.解 .37. 設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為串聯(lián),并聯(lián)和備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作),如圖7.1所示.和的壽命為和,分別有密度和,其中且.請就這三種聯(lián)接方式分別寫出系統(tǒng)的壽命的密度.解 ,獨(dú)立,分別服從參數(shù)為和的指數(shù)分布,因此分別有分布函數(shù)和. 1) 聯(lián)接的方式為串聯(lián)時, , . 2) 聯(lián)接的方式為并聯(lián)時, , .

23、 3) 聯(lián)接的方式為備用時, . 因此, 當(dāng)時, , 當(dāng)時, .38. 相互獨(dú)立,.證明.(提示:稱為函數(shù),由微積分的知識知)解 (見命題A.2.1)43. 設(shè)獨(dú)立,都服從參數(shù)為的威布爾分布,即都有密度.證明仍服從威布爾分布.證 有分布函數(shù) , .設(shè),則有分布函數(shù) . , 接下來的證明過程可以有兩種。其一： 與有相同的形式，從而仍服從威布爾分布.其二： 因而有密度函數(shù),從而仍服從威布爾分布.一、 填空題（每題2分，共20分）1、記三事件為A，B，C. 則用A，B，C及其運(yùn)算關(guān)系可將事件，“A，B，C中只有一個發(fā)生”表示為 .2、匣中有2個白球，3個紅球。 現(xiàn)一個接一個地從中隨機(jī)地取出所有的球。

24、那么，白球比紅球早出現(xiàn)的概率是 2/5 。3、已知P(A)=0.3，P（B）0.5，當(dāng)A，B相互獨(dú)立時，。4、一袋中有9個紅球1個白球，現(xiàn)有10名同學(xué)依次從袋中摸出一球（不放回），則第6位同學(xué)摸出白球的概率為 1/10 。5、若隨機(jī)變量在區(qū)間 上服從均勻分布，則對以及任意的正數(shù)，必有概率 6、設(shè)服從正態(tài)分布，則 N ( 3-2 , 42 ) .7、設(shè)8、袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以表示取出3只球中的最大號碼。則的數(shù)學(xué)期望 4.5 。9、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為XY12310.120.100.2820.1800.12300.150.05則條件概率 2/5 .10、設(shè)來自正態(tài)總體, ,當(dāng)常數(shù)= 1/4 時，服從分布。二、計算題（每小題10分，共70分）1、三臺