拋物線的幾何性質(zhì)1

1、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) 前面我們已學(xué)過(guò)橢圓與雙曲線前面我們已學(xué)過(guò)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì),它們都是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方它們都是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的程的形式研究的,現(xiàn)在請(qǐng)大家想想現(xiàn)在請(qǐng)大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)及準(zhǔn)線是什么及準(zhǔn)線是什么?一、復(fù)習(xí)回顧：圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）二、二、 練習(xí)練習(xí)：填空（頂

2、點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）軸上） 方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線開(kāi)口方向開(kāi)口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42開(kāi)口向開(kāi)口向右右開(kāi)口向開(kāi)口向左左開(kāi)口向開(kāi)口向上上開(kāi)口向開(kāi)口向下下yox)0,2(pFP(x,y)一、一、拋物線拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，y也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。延伸。1、范圍范圍由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0

3、 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x ( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對(duì)稱對(duì)稱( ,)xy 由于點(diǎn)由于點(diǎn) 也滿也滿足足 ，故拋物線，故拋物線(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對(duì)稱對(duì)稱.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、對(duì)稱性、對(duì)稱性yox)0,2(pFP(x,y)定義：拋物線和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為拋物線定義：拋物線和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為拋物線的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)當(dāng)y=0時(shí)時(shí),x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。注注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。兩個(gè)頂點(diǎn)不同。、頂點(diǎn)、頂點(diǎn)

4、（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對(duì)稱軸對(duì)稱軸lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)雖然它可以無(wú)限延伸限延伸,但它沒(méi)有漸近線但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸拋物線只有一條對(duì)

5、稱軸,沒(méi)有沒(méi)有對(duì)稱中心對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.yox)0,2(pFP(x,y)補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度通徑的長(zhǎng)度：2PP越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做

6、拋物線的線段叫做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。例例：已知拋物線關(guān)于：已知拋物線關(guān)于x x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M M（，），求（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形。因?yàn)閽佄锞€關(guān)于因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M M（，）

7、（，），2 2解：解：所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx（三）、（三）、例題講解：例題講解：2 224yx作圖：作圖：(1)列表列表（在第一象限內(nèi)列表）（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點(diǎn)描點(diǎn)：022.83.54(3)連線連線：11xyO課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：求適合下列條件的拋物線的方程：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F F為（為（0 0，5 5）; ;（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x x軸對(duì)

8、稱軸對(duì)稱, ,并且并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就變燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射

9、后，反射光線都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。的理論依據(jù)。例例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口圓的直徑為口圓的直徑為60cm,燈深燈深40cm，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。FyxO解：如圖所示，在探照燈的軸截解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，x軸軸垂直于燈口直徑。垂直于燈口直

10、徑。AB 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：由已知條件可得點(diǎn)由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為2252yx45(,0)824l例例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離時(shí)，拱頂離水面水面2米，水面寬米，水面寬4米米. 水下降水下降1米后，水面寬多少？米后，水面寬多少？xoy若在水面上有一寬為若在水面上有一寬為2米米,高高為為1.6米米的船只，能否安全通過(guò)拱橋？的船只，能否安全通過(guò)拱橋？思考題思考題2BA（2,2

11、）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距離為到水面的距離為1.5米米不能安全通過(guò)不能安全通過(guò)y=3代入得代入得26水面寬例題例題3例例4,已知直線已知直線x-y=2與拋物線與拋物線 交于交于A、B兩兩 點(diǎn)，那么線段點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。24yx(4,2)(三）、課堂練習(xí)：三）、課堂練習(xí)： 1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸為x軸，焦點(diǎn)在直線軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是么拋物線通徑長(zhǎng)是 . 2、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線物線 上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為 。24yx1648 35.點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，1)，若，若P是拋物線是拋物線 上的一動(dòng)上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則是拋物線的焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為的最小值為( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 24yx4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上上.(2)焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸x上且截直線上且截直線2x-y+1=0所得的弦長(zhǎng)為所得的弦長(zhǎng)為15.6、已知、已知Q(4