生活中的優(yōu)化問題舉例

1、3.4 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例生活中的優(yōu)化問題舉例 生活中經(jīng)常遇到求生活中經(jīng)常遇到求利潤最大利潤最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等問題，這些問題等問題，這些問題通常稱為通常稱為優(yōu)化問題優(yōu)化問題，通過前面的學(xué)習(xí)，通過前面的學(xué)習(xí)，知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。一些生活中的優(yōu)化問題。問題問題1:海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)dmx128128)2128)(4()( xxxs 學(xué)校或班級舉行活動，通常需要張貼海報(bào)學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你

2、設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上下邊各上下邊各空空2dm,左右空左右空1dm,如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最?。磕苁顾闹芸瞻酌娣e最小？解：設(shè)版心的高為解：設(shè)版心的高為xdm,則寬為則寬為此時四周空白面積為此時四周空白面積為0, 85122 xxx 學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為要求版心面積為128dm2,上下邊各空

3、上下邊各空2dm,左右空左右空1dm,如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最?。啃。?128dmx128)2128)(4()( xxxs解：設(shè)版心的高為解：設(shè)版心的高為xcm,則寬為則寬為此時四周空白面積為：此時四周空白面積為：0,85122 xxx求導(dǎo)數(shù)，有求導(dǎo)數(shù)，有,5122)( 2xxS , 05122)( 2 xxs令令解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）816128128 x于是寬為于是寬為; 0)( ,)16, 0( xsx時時當(dāng)當(dāng); 0)( ,),16( xsx時時當(dāng)當(dāng)因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)s(x)的極小值點(diǎn)，也的極小

4、值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。是最小值點(diǎn)。 所以，當(dāng)版心高為所以，當(dāng)版心高為16dm,寬寬為為8dm時，能使四周空白面積最小。時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為答：當(dāng)版心高為16dm,寬為寬為8dm時，海報(bào)時，海報(bào)四周空白面積最小。四周空白面積最小。練習(xí)練習(xí)1、一條長為、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別的鐵絲截成兩段，分別 彎成兩個正方形，要使兩個正方形彎成兩個正方形，要使兩個正方形 的面積和最小，兩段鐵絲的長度分的面積和最小，兩段鐵絲的長度分 別是多少？別是多少？則兩個正方形面積和為2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：設(shè)兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,其中0 x2時，時，

5、f(r)0,它表示它表示f(r)單調(diào)遞單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)當(dāng)r2時，時，f(r)0,它表示它表示f(r)單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低。半徑越大，利潤越低。（1）半徑為）半徑為2時，利潤最小。這時時，利潤最小。這時f(2)0;當(dāng)當(dāng)x(40,60)時時,V(x)0.函數(shù)函數(shù)V (x)在在x=40處取得極大值處取得極大值,這個這個極大值就是函數(shù)極大值就是函數(shù)V (x)的最大值的最大值.32)(16000)24060(40)40(cmV答答 當(dāng)箱箱底邊長為當(dāng)箱箱底邊長為40cm時時,箱子容積最大箱子容積最大, 最大值為最大值為16000cm3 2、

6、若函數(shù)、若函數(shù) f ( x )在定義域內(nèi)在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn)只有一個極值點(diǎn)x0 ，則不需與端點(diǎn)比較，則不需與端點(diǎn)比較， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.說明說明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；確定出定義域；所得結(jié)果符合問題的實(shí)際意義所得結(jié)果符合問題的實(shí)際意義練習(xí)練習(xí)3:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它如何確定它的高與底半徑的高與底半徑,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底面

7、半徑為底面半徑為R.則表面積為則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),.2RVh則2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh從而即即h=2R.可以判斷可以判斷S(R)只有一個極值點(diǎn)只有一個極值點(diǎn),且是最小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn).答答 罐高與底的直徑相等時罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省所用材料最省. 問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?解解:存儲量存儲量=磁道數(shù)磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)每磁道的比特?cái)?shù).設(shè)存儲區(qū)的半徑介于設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與與R之間之間,由于磁道之間的寬由于磁道之間的寬度必須大于度必須大于m,且最外面

8、的磁道不存儲任何信息且最外面的磁道不存儲任何信息,所以磁道數(shù)最多可達(dá)所以磁道數(shù)最多可達(dá)(R-r)/m。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為了獲得最大的存由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為了獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到特?cái)?shù)可達(dá)到 ,nr 2nrmrRrf 2)( 所以，磁道總存儲量為：所以，磁道總存儲量為：)(2rRrmn (1) 它是一個關(guān)于它是一個關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越小，磁盤的存儲量越大。越大。解：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù))(22)(rRrmnnrmrRrf(2) 為求f(r)的最大值，先計(jì)算0)( rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)