直線一級倒立擺的牛頓—歐拉方法建模

1、系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵(lì)研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入 輸出關(guān)系；機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入 狀態(tài)關(guān)系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖所示。

2、X Xm mI I圖圖1 1 直直線線一一級級倒倒立立擺擺系系統(tǒng)統(tǒng)b bF FM Ml 我們不妨做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置a擺桿與垂直向上方向的夾角X Xm mI I圖圖1 1 直直線線一一級級倒倒立立擺擺系系統(tǒng)統(tǒng)b bF FM Ml 下面是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車和擺桿相互作用力的水平和垂直的分量。注意：圖示方向?yàn)槭噶空较?。注意：圖示方向?yàn)槭噶空较?。F FM MP PN NX XXb圖圖2 2 小小車車隔隔離離受受力力圖圖圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP

3、 Pl I 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：F FM MP PN NX XXb圖圖2 2 小小車車隔隔離離受受力力圖圖NxbFxM 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM )sin(22lxdtdmN圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP Pl Isincos2 mlmlxmN) 1 . 1 (sincos)(2FmlmlxbxmM 擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析，可以得到下面等式： 即：代入上式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 分析擺桿垂直方向所受的合力，可以得到以下方程：)cos(22ldtdmmgPcossin2 mlmlmgP INlP

4、lcossin)2 . 1 (cossin)(2xmlmglmlI 圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP Pl I即：力矩平衡方程如下： 合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： 假設(shè) 很小，即 ，則可以進(jìn)行近似處理：0,sin, 1cos0用 來代表被控對象的輸入力 ，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：F) 3 . 1 ()()(2umlxbxmMxmlmglmlI 對方程組(1.3)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到)4 . 1 ()()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI整理消去X(s)后得到傳遞函數(shù)：(假設(shè)

5、初始條件為0)sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()(其中：)()(22mlmlImMq系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：DuCXyBuAXXuMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()( 方程組(1.3)對 ， 解代數(shù)方程，得到解如下： x 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010 uxxxy0001000001實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車