直線一級倒立擺的牛頓—歐拉方法建模

1、系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統(tǒng)的輸入 輸出關系；機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入 狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖所示。

2、X Xm mI I圖圖1 1 直直線線一一級級倒倒立立擺擺系系統(tǒng)統(tǒng)b bF FM Ml 我們不妨做以下假設：M小車質量m擺桿質量b小車摩擦系數l擺桿轉動軸心到桿質心的長度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置a擺桿與垂直向上方向的夾角X Xm mI I圖圖1 1 直直線線一一級級倒倒立立擺擺系系統(tǒng)統(tǒng)b bF FM Ml 下面是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車和擺桿相互作用力的水平和垂直的分量。注意：圖示方向為矢量正方向。注意：圖示方向為矢量正方向。F FM MP PN NX XXb圖圖2 2 小小車車隔隔離離受受力力圖圖圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP

3、 Pl I 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：F FM MP PN NX XXb圖圖2 2 小小車車隔隔離離受受力力圖圖NxbFxM 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM )sin(22lxdtdmN圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP Pl Isincos2 mlmlxmN) 1 . 1 (sincos)(2FmlmlxbxmM 擺桿水平方向的受力進行分析，可以得到下面等式： 即：代入上式中，得到系統(tǒng)的第一個運動方程： 分析擺桿垂直方向所受的合力，可以得到以下方程：)cos(22ldtdmmgPcossin2 mlmlmgP INlP

4、lcossin)2 . 1 (cossin)(2xmlmglmlI 圖圖3 3 擺擺桿桿隔隔離離受受力力圖圖N Nm mg gP Pl I即：力矩平衡方程如下： 合并這兩個方程，約去P和N，得到系統(tǒng)的第二個運動方程： 假設 很小，即 ，則可以進行近似處理：0,sin, 1cos0用 來代表被控對象的輸入力 ，線性化后兩個運動方程如下：F) 3 . 1 ()()(2umlxbxmMxmlmglmlI 對方程組(1.3)進行拉普拉斯變換，得到)4 . 1 ()()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI整理消去X(s)后得到傳遞函數：(假設

5、初始條件為0)sqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs23242)()()()(其中：)()(22mlmlImMq系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：DuCXyBuAXXuMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()( 方程組(1.3)對 ， 解代數方程，得到解如下： x 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010 uxxxy0001000001實際系統(tǒng)的模型參數如下：M小車質量m擺桿質量b小車