數(shù)列極限的運算性質(zhì)

1、極限的運算教學(xué)目標(biāo)1熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限2理解和掌握三個常用極限及其使用條件培養(yǎng)學(xué)生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解決數(shù)列極限問題的能力3正確認(rèn)識極限思想和方法是從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的一種辯證唯物主義的思想教學(xué)重點與難點使用極限四則運算法則及3個常用極限時的條件教學(xué)過程（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問題，主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個常用極限：=0，C=C，qn=0（|q|<1）來解決。例1：求下列極限： 師：（1）中的式子如何轉(zhuǎn)化才能求出極限生：可以分子、分母同除以n3，就能夠求出極限

2、師：（2）中含有冪型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？師：分子、分母同時除以3n-1結(jié)果如何？生：結(jié)果應(yīng)該一樣師：分子、分母同時除以2n或2n-1，能否求出極限？（二）先求和再求極限例2  求下列極限：由學(xué)生自己先做，教師巡視判斷正誤生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、乘、除的情況此題當(dāng)n，和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法1是錯的師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式，求出分子的和，滿足了極限四則運算法則的條件，從而求出了極限第（2）題應(yīng)該怎樣做？生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和=12師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題中去，要特別

3、注意極限四則運算法則的適用條件例3求下列極限：師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點，想出對策生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形生：（2）題是分?jǐn)?shù)和的形式，可以用“裂項法”變形例4設(shè)首項為1，公比為q（q0）的等比數(shù)列的前n項和為Sn，師：等比數(shù)列的前n項和Sn怎樣表示？師：看來此題要分情況討論了師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：師：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復(fù)雜問題條理化同（三）公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項和的極限師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式

4、：例5計算：題目不難，可由學(xué)生自己做師：（1）中的數(shù)列有什么特點？師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對值小于1；（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值生：只要得到一個含有a的方程就可以求出來了師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？生：先求極限師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？|q|1，正好能得到一個含有m的不等式，解不等式就能求出m的范圍解得0m4師：請同學(xué)歸納一下本課中求極限有哪些類型？生：主要有三種類型：（1）利用極限運算法則和三個常用極限，求數(shù)列的極限；（2）先求

5、數(shù)列的前n項和，再求數(shù)列的極限；（3）求公比絕對值小于1的無窮等比數(shù)列的極限師：求數(shù)列極限應(yīng)注意的問題是什么？生甲：要注意公式使用的條件生乙：要注意有限項和與無限項和的區(qū)別與聯(lián)系上述問答，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生回答的情況，及時進行引導(dǎo)和必要的補充（五）布置作業(yè)1填空題：2選擇題：則x的取值范圍是    的值是    A2          B-2         &

6、#160;            C1                   D-1作業(yè)答案或提示（7）a2選擇題：（2）由于所給兩個極限存在，所以an與bn的極限必存在，得方程以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用課堂教學(xué)設(shè)計說明1掌握常用方法，深化學(xué)生思維數(shù)學(xué)中對解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進行邏

7、輯推理，尋找最常見的解題思路，當(dāng)問題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留在會用是不夠的，應(yīng)該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，然后把這種思維方式加以運用例1的設(shè)計就是以此為目的的2展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維第二課時 數(shù)列極限的運算性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、掌握數(shù)列極限的運算性質(zhì)；會利用這些性質(zhì)計算數(shù)列的極限 2、掌握重要的極限計算公式：lim(1+1/n)n=e教學(xué)過程：一、 數(shù)列極限的運算性質(zhì)如果liman=A，limbn=B，那么（1）lim(an+bn)= liman+ limbn =A+B（2）lim(an-bn)= liman- li

8、mbn =A-B（3）lim(an·bn)= liman· limbn =A·B（4）lim(an/bn)= liman/ limbn =A/B（B¹0，bn¹0）注意：運用這些性質(zhì)時，每個數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項及其極限都不為零。數(shù)列的和的極限的運算性質(zhì)可推廣為：如果有限個數(shù)列都有極限，那么這有限個數(shù)列對應(yīng)各項的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個數(shù)列的極限的和。類似地，對數(shù)列的積的極限的運算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個數(shù)列的和與積的運算，不能推廣為無限個數(shù)列的和與積。二、 求數(shù)列

9、極限1、 lim（5+1/n）=5 2、lim(n2-4)/n2=lim(1-4/n2)=13、 lim(2+3/n)2=4 4、lim(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)=105、lim(3n2-2n-5)/(2n2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n2)=3/2分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應(yīng)用商的極限運算性質(zhì)進行計算。為了能應(yīng)用極限的運算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進行變形。在變形時分子、分母同時除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項。4、 一個重要的數(shù)列極限我們曾經(jīng)學(xué)過自然對數(shù)的底e»

10、;2.718，它是一個無理數(shù)，它是數(shù)列(1+1/n)n的極限。lim(1+1/n)n =e （證明將在高等數(shù)學(xué)中研究）求下列數(shù)列的極限lim(1+1/n) 2n+1 =lim(1+1/n)n ·(1+1/n)n ·(1+1/n)=e·e·1=e2lim(1+3/n)n =lim(1+1/(n/3)n/3 3=e3分析：在底數(shù)的兩項中，一項為1，另一項為3/n，其中分子不是1，與關(guān)于e的重要極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標(biāo)是將分子中的3變?yōu)?，而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時除以3，但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3

11、與指數(shù)上的n以及取極限時n®¥不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/3·3，又因為n®¥與n/3®¥是等價的。lim(1+1/(n+1)n=lim(1+1/(n+1)(n+1)-1=lim(1+1/(n+1)n+1/lim(1+1/(n+1)=e練習(xí)：計算下列數(shù)列的極限lim(3-1/2n)=3 lim(1/n2+1/n-2)(3/n-5/2)=5 lim(-3n2-1)/(4n2+1)=-3/4lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2 lim(1+3/2n) 2=1 lim(1+1/3n)2 (2-1/(n+1) 3=1·8=8lim(1+1/n)3n+