數(shù)學(xué)建模第四套

1、徐州工程學(xué)院個(gè)性化教育數(shù)學(xué)建模（大作業(yè)）試卷班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 得分 1、某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分成三個(gè)年齡組：第一組，05歲；第二組，610歲；第三組，1115歲。動(dòng)物從第二年齡組開始繁衍后代，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二組和第三組的繁殖率分別為4和3，第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為1/2和1/4。假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各100頭，問(wèn)15年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？解：由于年齡分為五歲一段，所以時(shí)間周期取5年。設(shè)表示第個(gè)時(shí)間周期，第組年齡階段動(dòng)物的數(shù)量。因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期第二年齡組和第三年齡組的動(dòng)物數(shù)量是由上一周期上一年齡組存活下

2、來(lái)的動(dòng)物的數(shù)量決定的，所以有又因?yàn)槟骋粫r(shí)間周期，第一年齡組的動(dòng)物數(shù)量是由上一時(shí)間周期各個(gè)年齡組出生的動(dòng)物數(shù)量決定的，所以有由此得到遞推關(guān)系式： 用矩陣表示為： 即，其中 則有 計(jì)算過(guò)程代碼如下：>> x0=100;100;100;>> L=0,4,3;1/2,0,0;0,1/4,0;>> x1=L*x0;>> x2=L*x1;>> x3=L*x2x3 =1.0e+03 * 1.4375 0.1375 0.0875結(jié)果分析：由于動(dòng)物的數(shù)量不可能出現(xiàn)小數(shù)，所以根據(jù)實(shí)際，15年后農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)動(dòng)物的數(shù)量如下表年齡段（歲）056101115數(shù)量（個(gè)

3、）143713787表1 15年后農(nóng)場(chǎng)動(dòng)物數(shù)量分布表2、深洞的估算： 假如你站在洞口且身上僅帶著一只具有跑秒功能的計(jì)算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估計(jì)洞的深度，假定你撿到一塊質(zhì)量是1KG的 石頭，并準(zhǔn)確的測(cè)定出聽到回聲的時(shí)間T=5S，就下面給定情況，分析這一問(wèn)題，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并估計(jì)洞深。（1）不計(jì)空氣阻力；（2）受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數(shù)k1=0.05；（3）受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數(shù)k2=0.0025。解：（1）根據(jù)題意建立動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式其中為洞深，為萬(wàn)有引力常量，為下落時(shí)間，為聲音傳播時(shí)間

4、，為聲速。根據(jù)題意得 所以得到模型 求解得 所以在（1）的條件下，求出的洞深為 （2）根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式得到其中為下落的速度。對(duì)上式進(jìn)行定積分運(yùn)算，根據(jù)題意初始下落速度，所以得到速度與時(shí)間的關(guān)系式如下：進(jìn)而得到位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)系式為：將上式與方程聯(lián)立，得到模型如下：代入數(shù)據(jù)后求解得（3）根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式得令，則可以得到速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)系式如下：進(jìn)而得到位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)系式為：將上式與方程聯(lián)立，得到模型如下： 通過(guò)軟件計(jì)算，求出的值：>> solve('x=63*(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7(0.316*5-0.316*x

5、/340)+1)-log(2*2.7(0.316*5-0.316*x/340)') ans =101.86825754949506384343423952243所以洞深 3、某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)，一個(gè)是煤礦、一個(gè)是發(fā)電廠和一條地方鐵路。開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi)。生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)、0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi)。創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需要支付0.55元的煤費(fèi)及0.10元的電費(fèi)。在某個(gè)周期內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的訂貨，發(fā)電廠接到外地定額25000元的訂貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求。問(wèn)三個(gè)企業(yè)在這一周期內(nèi)總

6、產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求？解：根據(jù)題意得下表支出生產(chǎn)1元煤礦發(fā)電廠鐵路煤礦（元）00.650.55發(fā)電廠（元）0.250.050.1鐵路（元）0.250.050表2 某地區(qū)產(chǎn)業(yè)收入支出表設(shè)為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，為電廠本周的總產(chǎn)值，為鐵路本周內(nèi)的總產(chǎn)值，則即所以得到矩陣稱為直接消耗矩陣，稱為產(chǎn)出向量，稱為需求向量，則：設(shè)其中矩陣的元素表示煤礦、電廠、鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系，矩陣的元素分別表示煤礦、電廠、鐵路得到的總投入。由矩陣，和，可得投入產(chǎn)出分析表3煤礦發(fā)電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦發(fā)電廠鐵路總投入表3 投入產(chǎn)出分析表按解方程組可得產(chǎn)出矩陣，進(jìn)而可計(jì)算矩陣和。其結(jié)果見下表4：煤礦發(fā)電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦036505.9615581.515000010208