數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽的隊(duì)員選拔與組隊(duì)問(wèn)題

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽的隊(duì)員選拔與組隊(duì)問(wèn)題【摘要】本文根據(jù)競(jìng)賽隊(duì)員的選拔和組隊(duì)問(wèn)題的基本要求，制定合理假設(shè)并求解。依據(jù)各種能力的權(quán)重，建立能力加權(quán)值圖表，由能力加權(quán)值排名進(jìn)行參賽隊(duì)員的選拔。在確定最佳組隊(duì)的問(wèn)題上，首先以綜合加權(quán)能力為依據(jù)選擇，再根據(jù)相對(duì)優(yōu)勢(shì)制定調(diào)整方案。為參賽隊(duì)員組隊(duì)的方案參照了最佳組隊(duì)的方法并進(jìn)行了推廣，使所有隊(duì)伍之間能力相差降低。最后，建立與最大值及差值相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)，將隊(duì)員組隊(duì)，并將模型進(jìn)行推廣和改進(jìn)。關(guān)鍵詞：加權(quán) 相對(duì)優(yōu)勢(shì) 差值一、 問(wèn)題描述問(wèn)題描述：在參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)中，各院校都會(huì)遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊(duì)員和科學(xué)合理的組隊(duì)問(wèn)題。今假設(shè)有20名隊(duì)員準(zhǔn)備參賽，根據(jù)隊(duì)員的能力

2、和水平要選出18名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成6個(gè)隊(duì)，選拔和評(píng)價(jià)隊(duì)員主要考慮的條件依次為有關(guān)的學(xué)科成績(jī)（平均成績(jī)）、智力水平（反映思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力等）、動(dòng)手能力（計(jì)算機(jī)的使用及其他方面的實(shí)際操作能力）、寫作能力、外語(yǔ)水平、協(xié)作能力（組織、協(xié)調(diào)）和其它特長(zhǎng)，每個(gè)隊(duì)員的基本條件量化后如下表（略）：（1）在20名隊(duì)員中選擇18名優(yōu)秀的隊(duì)員參加競(jìng)賽；（2）確定一個(gè)最佳的組隊(duì)使得競(jìng)賽技術(shù)水平最高；（3）給出由18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案，使整體競(jìng)賽技術(shù)水平最高；并給出每個(gè)隊(duì)的競(jìng)技水平。二、問(wèn)題分析：隊(duì)員選擇上，關(guān)于隊(duì)員的選取，要從20名隊(duì)員中淘汰兩人?？刹扇∨琶缓笕コ髢擅姆椒ā８鶕?jù)原表格的數(shù)據(jù)

3、，隊(duì)員的評(píng)估指標(biāo)分為了7項(xiàng)。這7項(xiàng)指標(biāo)的平均值、波動(dòng)程度都不同。因此，每種能力的權(quán)重不一致，因此采用表示差距的方差和原始指標(biāo)的積來(lái)表示該隊(duì)員在這項(xiàng)能力上的加權(quán)指標(biāo)。組隊(duì)原則上：為了組成一個(gè)最強(qiáng)的組隊(duì)方案，首先從綜合加權(quán)能力的排名入手，再讓每位隊(duì)員的劣勢(shì)得以補(bǔ)充。綜合所有的18名隊(duì)員進(jìn)行分組，可以根據(jù)以下原則進(jìn)行分組強(qiáng)弱隊(duì)員結(jié)合，綜合實(shí)力較差的隊(duì)員要有加權(quán)能力較強(qiáng)的隊(duì)員給予補(bǔ)充；強(qiáng)弱能力結(jié)合，某一項(xiàng)能力較差的隊(duì)員要有在該項(xiàng)能力較強(qiáng)的隊(duì)員給予補(bǔ)充；不可以存在弱項(xiàng)，表現(xiàn)在模型里即為，各指標(biāo)的最大值均非負(fù)。三、基本假定（一）所有指標(biāo)均能夠正常反映一個(gè)隊(duì)員在該項(xiàng)目上的能力；（二）選取參賽隊(duì)員時(shí)，淘汰的標(biāo)

4、準(zhǔn)為選擇20名隊(duì)員中實(shí)力差的兩名；（三）選擇最優(yōu)的組隊(duì)方案時(shí)，優(yōu)先考慮已選出的18名隊(duì)員中綜合實(shí)力較強(qiáng)的3名，根據(jù)弱項(xiàng)進(jìn)行調(diào)節(jié)；（四）為已選擇出的18名隊(duì)員制定組隊(duì)方案時(shí)，不能讓某些隊(duì)伍實(shí)力過(guò)強(qiáng)，應(yīng)保持總體水平的均衡；（五）選擇隊(duì)伍的過(guò)程中，不能讓所有隊(duì)員均在某一方面占有弱項(xiàng)；（六）綜合實(shí)力強(qiáng)的隊(duì)員對(duì)綜合實(shí)力弱的隊(duì)員進(jìn)行補(bǔ)充；（七）一個(gè)隊(duì)在某一方面的能力體現(xiàn)為在這方面最強(qiáng)的隊(duì)員的能力。四、符號(hào)說(shuō)明學(xué)科成績(jī)、智力水平、動(dòng)手、寫作、外語(yǔ)、協(xié)作能力和其他特長(zhǎng)分別編號(hào)為將各名隊(duì)員編號(hào)為初表格中的始值定義為，該項(xiàng)能力在隊(duì)員中的標(biāo)準(zhǔn)差為其中第名隊(duì)員的第項(xiàng)能力為第名隊(duì)員的加權(quán)能力為第名隊(duì)員的第加權(quán)能力為第項(xiàng)

5、能力的平均加權(quán)值為第名隊(duì)員的加權(quán)能力與平均能力的差值為表示各元素中的最大值表示各元素的標(biāo)準(zhǔn)差五、模型建立與求解五（一）.建立加權(quán)指標(biāo)模型并排序五（一）.1 求解權(quán)重系數(shù)對(duì)表格分析可知，各個(gè)隊(duì)員的7種能力均呈現(xiàn)一定的波動(dòng)，各種能力的對(duì)比中，有的能力在各位隊(duì)員里差別很大，而有的差別很小。計(jì)算可知，各種能力在隊(duì)員中的標(biāo)準(zhǔn)差如下：表一各項(xiàng)能力的權(quán)重系數(shù)能力指標(biāo)（）學(xué)科成績(jī)（1）學(xué)科成績(jī)（1）動(dòng)手能力（3）寫作能力（4）外語(yǔ)水平（5）協(xié)作能力（6）其它特長(zhǎng)（7）2.9081782.1784172.438344.4485392.3301291.0630157.908856可見(jiàn)，“協(xié)作能力”在各個(gè)隊(duì)員中的差

6、別很小，說(shuō)明，協(xié)作能力在一個(gè)隊(duì)員的綜合能力的重要性中占用很??；而“其他特長(zhǎng)”、“寫作能力”在隊(duì)員中的差別很大，說(shuō)明這些能力在一個(gè)隊(duì)員的綜合能力中占用很大。因此加權(quán)的綜合能力定義為各個(gè)能力與其標(biāo)準(zhǔn)差之積的平均值。即：使用表格表示為：表二各項(xiàng)能力的加權(quán)值學(xué)科加權(quán)智力加權(quán)動(dòng)手加權(quán)寫作加權(quán)外語(yǔ)加權(quán)協(xié)作加權(quán)特長(zhǎng)加權(quán)總加權(quán)分1A25.01 19.60 19.99 35.59 18.41 10.10 47.45 7.57 2B23.85 19.17 19.75 28.92 17.94 9.67 15.82 5.80 3C23.26 18.73 20.72 37.81 21.44 10.20 63.27 8.

7、40 4D25.01 19.38 20.24 42.71 22.60 10.31 63.27 8.74 5E25.59 18.30 20.72 34.25 20.04 9.78 71.18 8.59 6F26.75 20.04 19.99 35.14 20.97 9.57 47.45 7.73 7G26.75 20.91 21.94 32.03 21.20 9.78 71.18 8.76 8H20.36 17.42 23.89 27.58 20.27 10.31 47.45 7.19 9I22.39 17.86 20.48 28.92 22.37 9.89 39.54 6.94 10J24.1

8、4 17.64 20.97 30.69 19.81 9.99 31.64 6.65 11K26.17 17.86 19.50 34.70 20.97 10.10 39.54 7.25 12I27.92 19.82 19.75 44.04 20.27 10.31 47.45 8.14 13M27.63 20.91 20.24 36.03 20.97 9.89 55.36 8.21 14N25.01 18.08 19.99 36.03 20.97 9.57 39.54 7.27 15O26.46 18.95 21.45 37.37 20.50 9.99 39.54 7.49 16P27.04 18

9、.30 20.97 39.15 20.04 10.10 47.45 7.86 17Q24.43 17.42 22.92 40.93 19.57 9.67 55.36 8.18 18R25.30 18.08 22.43 40.48 20.27 9.78 63.27 8.58 19S22.39 17.64 23.40 33.81 20.97 10.20 71.18 8.58 20T26.17 19.17 23.16 35.14 17.94 9.57 47.45 7.67 2 對(duì)所有隊(duì)員的綜合能力進(jìn)行由強(qiáng)到弱的排序可得（G，D，E，R，S，C，M，Q，L，P，F(xiàn)，T，A，O，N，K，H，I，J，B）

10、根據(jù)選拔要求，去除兩名隊(duì)員：J，B。讓剩余的18名選手參加比賽。（二）.1對(duì)剩余隊(duì)員重新編排號(hào)碼表三隊(duì)員隊(duì)員隊(duì)員A1H7O13C2I8P14D3K9Q15E4L10R16F5M11S17G6N12T182.建立差值模型剩余的18名隊(duì)員中，根據(jù)各個(gè)隊(duì)員的相對(duì)優(yōu)勢(shì)進(jìn)行組合鑒于以分?jǐn)?shù)確定每位隊(duì)員的特長(zhǎng)存在偏差，模型采用相對(duì)優(yōu)勢(shì)作為選取隊(duì)員特長(zhǎng)的依據(jù)。相對(duì)優(yōu)勢(shì)，即每位隊(duì)員的各個(gè)能力指標(biāo)中，該指標(biāo)與平均水平的差值除以該項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)程度（即標(biāo)準(zhǔn)差），即可得到剔除各個(gè)指標(biāo)波動(dòng)幅度下的隊(duì)員優(yōu)勢(shì)。可得差值表，以確定各隊(duì)員的相對(duì)優(yōu)勢(shì)表三各隊(duì)員相對(duì)優(yōu)勢(shì)的差值表現(xiàn)學(xué)科差值智力差值動(dòng)手差值寫作差值外語(yǔ)差值協(xié)作差值特長(zhǎng)差

11、值1A-0.070.38-0.51-0.13-1.040.14-0.962C-0.68-0.04-0.20.420.440.251.693D-0.070.27-0.411.651.010.351.694E0.14-0.24-0.2-0.47-0.24-0.173.025F0.550.58-0.51-0.240.21-0.37-0.966G0.5510.31-1.020.32-0.173.027H-1.7-0.661.13-2.13-0.130.35-0.968I-0.98-0.45-0.31-1.80.89-0.06-2.289K0.34-0.45-0.72-0.350.210.14-2.28

12、10L0.950.48-0.621.98-0.130.35-0.9611M0.851-0.41-0.020.21-0.060.3712N-0.07-0.35-0.51-0.020.21-0.37-2.2813O0.440.070.10.31-0.020.04-2.2814P0.65-0.24-0.10.76-0.240.14-0.9615Q-0.27-0.660.721.2-0.47-0.270.3716R0.04-0.350.521.09-0.13-0.171.6917S-0.98-0.550.93-0.580.210.253.0218T0.340.170.82-0.24-1.27-0.37

13、-0.962選取最強(qiáng)的三個(gè)隊(duì)員根據(jù)要求，確定一個(gè)最佳的組隊(duì)使競(jìng)賽水平最高從18名隊(duì)員中選擇三隊(duì)員進(jìn)行個(gè)組隊(duì)，有種方法，但實(shí)際要求最佳的組隊(duì)方案，即尋求綜合實(shí)力最強(qiáng)且各種能力相匹配的方案。（1）單一考慮綜合加權(quán)能力下的組隊(duì)方案：設(shè)三名隊(duì)員的新編號(hào)為根據(jù)加權(quán)能力的排名表，可知綜合能力最強(qiáng)的三名隊(duì)員分別為G，D，E。（2）根據(jù)三名隊(duì)員的各項(xiàng)能力進(jìn)行調(diào)整。依據(jù)強(qiáng)弱結(jié)合的原則，三名隊(duì)員在各項(xiàng)能力中必須有人占有強(qiáng)項(xiàng)，有弱項(xiàng)的方面可以由其他兩名隊(duì)友補(bǔ)充。使用差值數(shù)表判別，三個(gè)成員中，各項(xiàng)能力的差值不能全是負(fù)值，之和亦不應(yīng)為負(fù)值；因此，選擇最佳的一個(gè)組隊(duì)方案為，G，D，E共同組隊(duì)。表四（G，D，E）共同組隊(duì)下

14、的差值隊(duì)員（）學(xué)科差值智力差值動(dòng)手差值寫作差值外語(yǔ)差值協(xié)作差值特長(zhǎng)差值G（6）0.551.000.31-1.020.32-0.173.02D（3）-0.070.27-0.411.651.010.351.69E（4）0.14-0.24-0.20-0.47-0.24-0.173.02差值之和0.621.03-0.30.161.090.017.73（3）根據(jù)各項(xiàng)能力進(jìn)行調(diào)整根據(jù)各個(gè)差值之和可得：G，D，E組合成一隊(duì)的之時(shí)，動(dòng)手能力方面相對(duì)弱，其他特長(zhǎng)方面優(yōu)勢(shì)過(guò)高，需調(diào)整。（4）調(diào)整方法：先在G，D，E中選擇一個(gè)能力相對(duì)較弱的以替換。由分析，E在各項(xiàng)差值中有4項(xiàng)占據(jù)最低，應(yīng)在最優(yōu)方案中替換E。在其他綜

15、合加權(quán)能力較強(qiáng)的隊(duì)員中選擇一個(gè)，與G、D結(jié)合，使差值之和最高。R、S、C分別與G、D結(jié)合后的差值表，分別定義為調(diào)整方案、方案，（G，D，R）共同組隊(duì)表五（G，D，R）共同組隊(duì)下的差值隊(duì)員（）學(xué)科差值智力差值動(dòng)手差值寫作差值外語(yǔ)差值協(xié)作差值特長(zhǎng)差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 R （16）0.04 -0.35 0.52 1.09 -0.13 -0.17 1.69 差值之和0.51 0.92 0.42 1.72 1.20 0.02 6.40 此方案的差值總和=11.

16、19；、方案，（G，D，S）共同組隊(duì)表六（G，D，S）共同組隊(duì)下的差值隊(duì)員（）學(xué)科差值智力差值動(dòng)手差值寫作差值外語(yǔ)差值協(xié)作差值特長(zhǎng)差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 S（17）-0.98 -0.55 0.93 -0.58 0.21 0.25 3.02 差值之和-0.51 0.72 0.83 0.05 1.54 0.43 7.73 此方案的差值總和=10.79；、方案，（G，D，C）共同組隊(duì)表七（G，D，C）共同組隊(duì)下的差值隊(duì)員（）學(xué)科差值智力差值動(dòng)手差值寫作差值外

17、語(yǔ)差值協(xié)作差值特長(zhǎng)差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 C（2）-0.68 -0.04 -0.20 0.42 0.44 0.25 1.69 差值之和-0.20 1.23 -0.30 1.05 1.77 0.43 6.40 方案的差值總和=10.385.分析原方案及各個(gè)調(diào)整方案：、原方案，G，D，E組合成一隊(duì)，其中，動(dòng)手能力：；、調(diào)整方案，G，D，R組合成一隊(duì)，其中，；、調(diào)整方案，G，D，S組合成一隊(duì)，其中，學(xué)科成績(jī)：；、調(diào)整方案，G，D，C組合成一隊(duì)其中，學(xué)科成績(jī)：

18、，動(dòng)手能力：因此，選擇調(diào)整方案，即G，D，R組合成一隊(duì)。不僅總差值最高，而且在任一項(xiàng)能力上均未表現(xiàn)出弱勢(shì)。（三）.全部18名隊(duì)員綜合考慮下的組隊(duì)方案：1、綜合考慮18名隊(duì)員時(shí)，不能以單一隊(duì)伍的實(shí)力來(lái)制定組合方案，應(yīng)盡量使各個(gè)隊(duì)伍的能力平均。在18個(gè)隊(duì)員中分成6隊(duì)，共有種方法，為簡(jiǎn)便，采取分組再分隊(duì)的方法。2.首先，將隊(duì)員按照綜合能力排名分成三組：優(yōu)、中、劣。每組六名成員，每隊(duì)的三名隊(duì)員均分別從這三組中選擇成員3.構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，單組各實(shí)力最大值之和目標(biāo)函數(shù)確定為該隊(duì)的三名隊(duì)員在各項(xiàng)能力的最大值之和：同時(shí)應(yīng)滿足各組均有至少一個(gè)成員在某能力上具有優(yōu)勢(shì)：為保證每隊(duì)的平均能力和原始的總隊(duì)員能力相當(dāng)，建立平均能力的偏差函數(shù)：根據(jù)強(qiáng)弱隊(duì)員結(jié)合、強(qiáng)弱能力結(jié)合的原則，選擇方案。經(jīng)過(guò)從優(yōu)、中、劣三組中進(jìn)行選擇，組隊(duì)方案為（D，P，K）（E，F(xiàn)，A），（R，L，N），（G，Q，I），（S，T，O），（C，M，H）各分為一組如（D，P，K）組，D，P，K的編號(hào)分別為3,14,9。因此同理，將（E，F(xiàn)，A），（R，L，