微分概念及其運(yùn)算

1、2 微分概念及其運(yùn)算 設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，即下面的極限存在： 因此 ，其中（），于是 ，（函數(shù)的增量=（的線性函數(shù)）+）物理意義：如果把視為時(shí)間時(shí)所走過的路程， 時(shí)間內(nèi)所走過的路程=以勻速運(yùn)動(dòng)所走過的路程+因?yàn)榧铀俣鹊淖饔枚a(chǎn)生的附加路程 定義4.2 設(shè)在有定義，如果對給定的，有 ，()其中與無關(guān)，則稱在點(diǎn)可微，并稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分，記為 或 在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)可微由前面的討論得微分具有兩大重要特征：1) 微分是自變量的增量的線性函數(shù)；2) 微分與函數(shù)增量之差，是比高階的無窮小量.因此，稱微分為增量的線性主要部分。事實(shí)上當(dāng)時(shí)1即與是等價(jià)無窮小量。注1 系數(shù)是依賴于的，它是的函數(shù)，注2 微分dy既與有關(guān)，又與

2、有關(guān)，而和是兩個(gè)互相獨(dú)立的變量，但它對的依賴是線性的 例1 自由落體運(yùn)動(dòng)中， 即可表為的線性函數(shù)和的高階無窮小量之和，由微分定義知，在t點(diǎn)可微，且微分 它等于以勻速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間內(nèi)走過的路程例2 圓面積， 一可表示為的線性函數(shù)與的高階無窮小之和，故函數(shù)在可微，且微分從幾何上看，微分可以這樣理解：是圓周長，當(dāng)半徑變大即圓面積膨脹時(shí)，設(shè)想圓周長保持不變，半徑增大所引起的圓面積變化就是。這就是圓面積的微分，它與成正比，與圓面積真正的變化之差是較高階的無窮小，當(dāng)然圓不可能保持周長不變而膨脹，這只是一種設(shè)想而已，但當(dāng)很小時(shí)，兩者之差就更小了。例3 設(shè)正方形的邊長為，則面積為 即可表為的線性函數(shù)和的高階無窮

3、小量之和，故在點(diǎn)可微，且微分 可微與可導(dǎo)的關(guān)系： 定理4.5 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是：函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)這時(shí)微分中的系數(shù)證明 充分性前面已證。必要性設(shè)在點(diǎn)可微，由定義知 因此 故在點(diǎn)可導(dǎo)，且對一元函數(shù)而言，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，且有關(guān)系式 規(guī)定：自變量的微分等于自變量的改變量，這樣微分公式又可寫成 于是有，在定義導(dǎo)數(shù)（微商）時(shí)，符號是作為一個(gè)整體，而現(xiàn)在微商可以看作是微分之商也就是說，微商的確是微分之商 微分的幾何意義： 微分是曲線在處的切線對應(yīng)的改變量用微分近似地代替改變量，從幾何上看就是用切線的改變量近似地代替函數(shù)的改變量（以直代曲）由導(dǎo)數(shù)公式可得到基本初等函數(shù)的微分公式 ； ； 等等同樣借助于微商的運(yùn)算法則，立即可得下面的微分運(yùn)算法則(1) 四則運(yùn)算法則 (2) 復(fù)合函數(shù)的微分設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為 把與相比較，雖然是自變量，是中間變量，但兩者形式上是一樣的，這一性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性。一階微分形式不變性說明，可以在微分等式中代入變量例如，則 代入變量得 這種“代入”運(yùn)算，在微商公式中就不可以做例如在中代入變量，得，顯然結(jié)果是錯(cuò)誤的例 設(shè) ，利用微分運(yùn)算法則求函數(shù)的微分。解 利用微分近似計(jì)算 用