微分法在幾何上的應用

1、第六節(jié) 微分法在幾何上的應用要求：會求空間曲線的切線及法平面方程，會求空間曲面的且平面及法線方程。重點：空間曲線的切線及法平面方程，曲面切平面及法線方程的求法。難點：空間曲線的方程組形式給出的情況，求其切線及法平面方程。作業(yè)：習題86（）一空間曲線的切線與法平面1空間曲線由參數(shù)方程給出設空間曲線的參數(shù)方程為，且三個函數(shù)均可導 當時，對應曲線上的點，當時，對應曲線上的點，曲線的割線的方程為 當沿曲線趨于時，割線的極限位置就是曲線在點處的切線，其切線方程如何？ 令(這時)，上式取極限，即得曲線在點處切線方程為 說明（1）不能同時為零，如果個別為零，按空間解析幾何中有關直線對稱式方程的說明理解；（2

2、）切線的方向向量稱曲線切向量切向量的方向余弦為 ， 曲線的法平面通過點而與切線垂直的平面稱為曲線在點處的法平面，方程為例1求螺旋線，對應于處的切線和法平面方程解 曲線上對應于的點，即 ，切向量，因此切線方程為 ，法平面方程為 切向量的方向余弦為 可見曲線的切線與軸的夾角(母線的夾角)為定值2空間曲線的方程由，給出取為參數(shù)，它就可表示為參數(shù)方程的形式， 若在處可導，曲線在點處的切向量 ，切線方程 法平面方程 例2求曲線，在點處的切線及法平面方程解 因為 ， ，所以切向量 ，切線方程 ，法平面方程 3空間曲線的方程由給出設是曲線上的一點，又設對各變量的偏導數(shù)連續(xù)，且，此時方程組在點的某鄰域內(nèi)唯一確

3、定一組函數(shù)，求曲線在點處的切線方程及法平面方程只要求出，得切向量，為此方程， 兩邊對求全導數(shù)得 因為所以可解得 ， ，于是切向量 例3求曲線在點處的切線及法平面方程 解 下面我們依照推導公式的方法來解，將所給方程兩邊對求導，得 解方程組，得 ，于是 ，從而 因此，所求切線方程 ，即法平面方程為 ， 即 練習：求曲線在對應于的點處的切線及法平面方程二曲面的切平面與法線1曲面方程由隱式方程給出設曲面方程為，點為曲面上的一點，又設函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù)且不同時為零討論曲面在點處的切平面，那么曲面在點處切平面指什么？為此首先考慮這樣一個事實：在曲面上過點的任何曲線在的切線位于同一平面上，下面證明這個事實

4、在曲面上過點任意引一條曲線，其參數(shù)方程為，且不全為零，由于曲線位于曲面上，滿足，又因為在點處有連續(xù)偏導數(shù)，且存在，上式的復合函數(shù)在的全導數(shù)存在，于是即 引入向量.上式表明，曲線在點處的切線向量與一個確定向量垂直因為曲線是曲面上過點的任一條曲線，它們在的切線都與同一個向量垂直，所以曲面上過點的一切曲線在點的切線都在同一個平面上，這個平面稱為曲面在點的切平面，切平面方程為，曲面在點的切平面的法向量簡稱為曲面的法向量過點且垂直于切平面的直線稱為曲面在點的法線，其方程為 例4求曲面在點處的切平面方程及法線方程 解 令，則 ，即有，在點處切平面方程為 ， 即 法線方程為 ，即2曲面方程由顯式方程給出求曲

5、面在點處切平面及法線方程令，可見，則曲面在點處法向量為，于是切平面方程為 ，法線方程為 說明 （1）函數(shù)在點的全微分為，因此切平面方程表示全微分的幾何意義，即曲面在點處切平面上點的豎坐標的增量（正象一元函數(shù)表切線的縱坐標增量） i ，（2）若曲面的切平面的法向量的方向角為，并假定向量的方向是向上的(即使得它與軸的正向所成的角是銳角)，則法向量的方向余弦如何求？ 若曲面方程為，則 ，若曲面方程為，則 ，增量例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面及法線方程解 因為，所以 ，即有 ，于是過點的切平面方程為 ， 即法線方程為 例6.求橢球面上平行于平面的切平面方程解 因為切平面的法向量為，而平面法向量為 又因為，所以，將代入方程中，得 從中解出于是， 所求點為 及，切平面方程為 ，或 ，即 .例7.設曲面方程，求曲面上任一點處切平面方程，并證明曲面的所有切平面與坐標面形成的四面體的體積為定值. 解 設，則，所以在點的切平面方程為 即 將其化為截距式 截距