微分中值定理及其應(yīng)用12516

1、微分中值定理及其應(yīng)用張慶娜（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南安陽455002）摘要：介紹了使用微分中值定理一些常見方法,討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級數(shù)的斂散性和求極限等方面的應(yīng)用,最后通過例題體現(xiàn)微分中值定理在具體問題中的應(yīng)用定理3.2（羅爾中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理3.4（柯西中值定理） 若函數(shù),滿足如下條件：

2、（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3）,不同時為零； （4）；則在開區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn),使得.注 上面各定理的條件是充分的,但不是必要的.4 微分中值定理的應(yīng)用4.1 證明有關(guān)等式在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的等式時,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明.還有,就是我們在證明一些與中值定理有關(guān)的題目時,構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.在證明題中巧妙選用和構(gòu)造輔助函數(shù),進(jìn)行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關(guān)結(jié)論.5是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),若對任意,有,其中是常數(shù),則是常值函數(shù).證明 對任意,的改變量為,由條件有,即,兩邊關(guān)于取極限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函數(shù).思路總結(jié) 要想證明一個函

3、數(shù)在某區(qū)間上恒為常數(shù)一般只需證明該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在同一區(qū)間上恒為零即可.2設(shè),證明：存在,使得.證明 由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), .符合羅爾中值定理的條件,故存在,使例4.1.3 若在上有三階導(dǎo)數(shù),且,設(shè),試證在內(nèi)至少存在一個,使.證明 由題設(shè)可知,在上存在,又,由羅爾中值定理,使,又可知在上滿足羅爾中值定理,于是,使得,又對存在,使 .例4.1.5 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),試證：使.證明 由于,由于在上滿足柯西中值定理 ,所以使 ,由上面二式可得使得：.例4.1.6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.試證：對任意給定的正數(shù)在內(nèi)不同的,使.證明 由于所以.又由于在上連續(xù)且.由介值性定理,使得,在上分別用

4、拉格朗日中值定理有即即于是由上面兩式有將兩式相加得 即.小結(jié) 大體上說,證明在某區(qū)間內(nèi)存在滿足某種等式的方法是：用兩次拉格朗日中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次羅爾中值定理.兩次柯西中值定理.用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理.4.2 證明不等式在證明不等式時,可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點(diǎn),靈活運(yùn)用相關(guān)微分中值定理,進(jìn)行系統(tǒng)的分析,從而得以巧妙解決.3 設(shè) 在上連續(xù)；在內(nèi)存在；在內(nèi)存在點(diǎn),使得求證在內(nèi)存在,使.證明 由題設(shè)知存在,使在處取得最大值,且由知,也是極大值點(diǎn),所以.由泰勒公式：.所以.例4.2.2 設(shè),證明.證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立.下證 當(dāng)時,有作輔助函數(shù),

5、則在上滿足拉格朗日中值定理,則使由于,所以由有,即.小結(jié) 一般證明方法有兩種利用泰勒定理把函數(shù)在特殊點(diǎn)展開,結(jié)論即可得證.利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據(jù)待證不等式構(gòu)造一個合適的函數(shù),使不等式的一邊是這個函數(shù)在區(qū)間上的增量；第二步 驗證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運(yùn)用定理,使得等式的另一邊轉(zhuǎn)化為；第三步 把適當(dāng)放大或縮小.4.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題例4.3.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)在連續(xù),而當(dāng)時,求 .解 設(shè),則由拉格朗日中值定理有.已知,又在連續(xù),即,所以.例4.3.2 若在內(nèi)可導(dǎo),且,求.分析 由式,引進(jìn)輔助函數(shù),顯然.解 由,

6、知,當(dāng)時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當(dāng)時有和,于是,使即.小結(jié)方法1 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)及極限的迫斂性求的最終結(jié)果.方法2 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結(jié)合具體題意求的最終結(jié)果.4.4 證明零點(diǎn)存在性在證明方程根的存在性時,出現(xiàn)滿足中值定理的相關(guān)條件時,可以考慮運(yùn)用微分中值定理加以解決.從某種意義來說,微分中值定理為證明方程根的存在性提供了一種方法.例4.4.1 設(shè)且滿足,證明方程在內(nèi)至少有一個實(shí)根.證明 引進(jìn)輔助函數(shù),顯然,又是多項式函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),滿足羅爾中值定理的條件,故存在使而故方程在內(nèi)至少有一個實(shí)根.注

7、 本題構(gòu)造的依據(jù)是使得導(dǎo)數(shù)恰好是所證方程的左邊.例4.4.2 證明：方程有唯一正根.證明 （存在性）令,顯然是連續(xù)函數(shù),取區(qū)間則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理,知存在使即方程有正根.（唯一性）下面用反證法證明正根的唯一性,設(shè)處外還有一個不妨設(shè)使則在上滿足羅爾中值定理條件,于是存在使這與上面的矛盾.所以,方程有唯一的正根.例4.4.3 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明使并由此說明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.證明 作輔助函數(shù)由于,由羅爾中值定理知使, 若令,則由式有, 由式可得此即柯西中值定理.若令,由式有, 由可得此即為拉格朗日中值定理.此類型題的一般解題方法小結(jié)證明根的

8、存在性有以下兩種方法（1）構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使；對使用洛爾定理即可證得結(jié)論存在,使得；（2）對連續(xù)函數(shù)使用介值定理；證明根的唯一性一般用反證法,結(jié)合題意得出矛盾,進(jìn)而結(jié)論得證.4.5 函數(shù)的單調(diào)性6 證明：若函數(shù)在可導(dǎo),單調(diào)增加,且,則函數(shù)在也單調(diào)增加.證明 對任意,且,則在與均滿足拉格朗日中值定理條件,于是分別存在,使,由于單調(diào)增加,且,所以,從而,即函數(shù)在也單調(diào)增加.證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)一般有兩種方法：（1）利用函數(shù)單調(diào)的定義來證明；（2）利用導(dǎo)函數(shù)來證明.若在該區(qū)間上恒有則為單增函數(shù)；若在該區(qū)間上恒有則為單減函數(shù).4.6 導(dǎo)數(shù)的中值估計7 設(shè)在上二次可微,則至少存在一點(diǎn),使得.證明 因為函數(shù)

9、在與上可導(dǎo),所以由中值定理有 （1） （2）,并整理得, （3）又,且在上二次可微,則分別在與內(nèi)至少存在與,使 （4） （5）,并整理得 （6）將（6）式代入（3）式得令,則即,.解題方法小結(jié)選擇適當(dāng)?shù)膮^(qū)間分別利用拉格朗日中值定理并進(jìn)行適當(dāng)處理,再結(jié)合具體題目采用適當(dāng)?shù)氖侄巫罱K證得所求結(jié)論.4.7 證明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)例4.7.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),有,證明：在內(nèi)一致連續(xù).證明 由函數(shù)極限的局部有界性知,存在和,使于是,且不妨設(shè)由柯西中值定理,有即故,當(dāng),且時,由上面兩式得到于是知在上一致連續(xù),由于在上連續(xù),所以在上一致連續(xù),由定理知在內(nèi)一致連續(xù).證明函數(shù)在區(qū)間上的一致連續(xù)解題小結(jié)：

10、利用一致連續(xù)的定義并結(jié)合有關(guān)一致連續(xù)的定理即可證得結(jié)論成立.4.8 用來判定級數(shù)的斂散性例4.8.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證絕對收斂.證明 由且在可導(dǎo),知故在點(diǎn)處的一階泰勒公式為：,因,故.取有由于收斂,由比較判別知絕對收斂.定理8 已知為定義在上的減函數(shù),為定義在上的連續(xù)函數(shù),且,.當(dāng)極限存在時,正項級數(shù)收斂,設(shè)其和為,則；當(dāng)極限時,正項級數(shù)發(fā)散.證明 下面只證定理的前半部分.因為函數(shù)在區(qū)間上滿足中值定理的條件（其中）,所以在內(nèi)至少存在使得成立,又為減函數(shù),故有.將上述個不等式相加得.令,則,（1）因極限存在,為減函數(shù),從而數(shù)列有界,所以數(shù)列單調(diào)遞增且有上界,故極限存在,

11、即級數(shù)收斂.從而,由（1）可得.例4.8.2 判定級數(shù)是否收斂？若收斂,請估計其和.解 令,則,故當(dāng)時,此時為減函數(shù),又,由定理知級數(shù)收斂,且,所以即.判定級數(shù)的斂散性的一般解題方法方法一 一般先運(yùn)用泰勒定理并結(jié)合題意,再運(yùn)用比較判別法即可得到所要證明的結(jié)論；方法二 先驗證級數(shù)滿足相關(guān)定理的條件,即可得到相應(yīng)結(jié)論；5 總結(jié)人們對微分中值定理的認(rèn)識可以上溯到公元前古希臘時代,對微分中值定理的研究從微積分建立之始就開始了.至今有關(guān)微分中值定理問題的研究非常活躍,且已有豐富的成果,相比之下,對有關(guān)中值定理應(yīng)用的研究尚不是很全面.討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不

12、等式、等式及判定級數(shù)的斂散性和求極限等方面的應(yīng)用,最后通過例題體現(xiàn)微分中值定理在具體問題中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社第三版,2001.2孫清華,孫昊編. 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）M. 武漢:華中科技出版社, 2003.3錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹第二版M. 武漢: 湖北長江出版集團(tuán),2009.4鄧樂斌編. 數(shù)學(xué)分析的理論、方法與技巧M. 武漢:華中科技出版社,2005.5 王寶艷.微分中值定理的應(yīng)用J.雁北師范學(xué)院學(xué)報,2005,2：5961.6賈田田,劉偉偉,霍麗元.微分中值定理的應(yīng)用及其在特定條件下問題的思路分析J.工程科技Engineer

13、ing Technolofy,2009,2下：182.7羅群.微分中值定理及其應(yīng)用J.肇慶學(xué)院學(xué)報,2003,24（5）：3136.8劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用J.山西大同大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,2（27）:981.The Differential Mean-value Theorem and Its Application Zhang Qing-na(School of mathematics and statistics,Anyang Normal University, Anyang,Henan 455002)Abstract: The paper introduces some common methods of using Rolle Theorem ,Lagrange Theorem and Cauchy Theorem of Mean-value ,in which the problems of testify being ,issue of judging convergence or divergence of series and the application of testify inequality or equality and of seekin